精品解析：江苏扬州大学附属中学东部分校2026届高三1月考后巩固调研测试数学试卷

2026届高三1月考后巩固调研测试 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合年全运会的运动员，集合年全运会的男运动员，集合年全运会的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点在抛物线上，若点A到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（ ） A. 中位数一定不变，方差可能变大 B. 中位数可能改变，方差可能变大 C. 中位数一定不变，方差可能变小 D. 中位数可能改变，方差可能变小 6. 若函数有个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点列，分别在某锐角的两边上，且，.（表示点与不重合） 若为的面积，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 8. 设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 10. 过点 的直线与圆 交于 两点，在线段 上取一点 使得，则线段 的长可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 在处的切线方程为： C. 若函数，使得成立，则 D. 若函数有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2an，n∈N*，则a6的值为______． 13. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围是______. 14. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，且的面积为. （1）求的值； （2）求的周长. 16. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为． （1）求C的方程； （2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 18. 某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． （1）当时，求的值； （2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； （3）证明：． 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）若数列满足，前项和为，求证：； （3）若等差数列的公差，前项和为，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三1月考后巩固调研测试 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合年全运会的运动员，集合年全运会的男运动员，集合年全运会的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合间的基本关系进行判断． 【详解】依题意，得，，，， 故选：D 2. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简复数z，进而得到其共轭复数，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以，复数在复平面上对应的点为， 所以复数在复平面上对应的点位于第四象限， 故选：D. 3. 已知点在抛物线上，若点A到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的定义可求得的值，进而可得出抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为，解得， 因此，抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：C. 4. 若函数是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可得，进而可得，，即可求解. 【详解】设，则，即， 即，所以. 因为，所以，. 故选：A 5. 在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（ ） A. 中位数一定不变，方差可能变大 B. 中位数可能改变，方差可能变大 C. 中位数一定不变，方差可能变小 D. 中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 6. 若函数有个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数分析可知在上有且只有一个零点，则函数在上有个零点，由可得出，根据题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，所以，， 所以，函数在上有且只有一个零点， 所以，函数在上有个零点， 当时，则，所以，，解得， 故选：B. 7. 如图，点列，分别在某锐角的两边上，且，.（表示点与不重合） 若为的面积，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 【答案】A 【解析】 【分析】设点到对面直线的距离为，由题目中条件可知的长度为定值，先求，再计算后求解. 【详解】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半， 即，由题目中条件可知的长度为定值， 那么我们需要知道的关系式， 由于和两个垂足构成了直角梯形， 那么， 其中为两条线的夹角，即为定值， 那么， ， 作差后：，都为定值，所以为定值．A正确 8. 设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部， 将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系， 由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系， 即可得斜率的取值范围，解出即可. 【详解】设为的中点，根据重心性质可得， 因为，则， 因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部， 故有，解得， 当直线斜率不存在时，的中点在轴上， 故三点不共线，不符合题意舍， 设直线斜率为，设， 所以，， 因为在双曲线上，所以， 两式相减可得：， 即， 即有成立， 即有，因为不共线， 即，即，即， 所以的离心率的取值范围为， 因为 ， 因为，即， 所以， 所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有： （1）设出点的坐标； （2）根据中点坐标建立等式：，； （3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形； （4）将，及代入等式中即可得出关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D. 【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，则，解得， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立， 此时，解得或， 当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则， 即，所以， 则 ，故D正确. 故选：ACD 10. 过点 的直线与圆 交于 两点，在线段 上取一点 使得，则线段 的长可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设圆心为，圆与轴相切，设切点为，根据，得，设的中点为，设圆心到直线的距离，由、根据的取值范围可得答案. 【详解】设圆心为，则，圆的半径为，所以圆与轴相切， 设切点为，则，连接，则， 因为，所以， 所以， 设的中点为，连接，则， 设圆心到直线的距离，则， ，， ， 因为， 所以，因为， 所以. 故选：BCD。 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由、根据的取值范围求解. 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 在处的切线方程为： C. 若函数，使得成立，则 D. 若函数有两个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取对数运算判断；对B，将变形为，求导并利用导数的几何意义求解；对C，问题转化为有解，令，利用导数求出的最大值，得解；对D，利用分析法要证，即证，即证，即证，即证，令，，利用导数证明即可. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则， 所以，，故在处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，因为， 要存在，使得成立，即有解， 令，则，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，所以只需，即得，故C错误； 对于D，由，则，， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 若函数有两个零点，则，且， 要证，即证，又在上单调递增， 即证，即证， 只要证， 即证， 令，， 则， 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 当时，，而， 令，， 则，即在上单调递减，故， 所以，即，即， 所以对恒成立， 又，则，即成立， 即成立，问题得证，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2an，n∈N*，则a6的值为______． 【答案】32 【解析】 【详解】∵，又，∴，即是以2为公比的等比数列，． 13. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得，解不等式即可； 【详解】解：因为 所以 又因为函数在定义域上不单调，则，解得或， 即 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 14. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值． 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是， 则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，， 又平面，所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， ，，∴， ， 令，则， ， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，且的面积为. （1）求的值； （2）求的周长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由 和可得sinA和cosA，再由二倍角公式即得cos2A；（2）由面积公式，可得的值，再由和正弦定理可知b和c的值，用余弦定理可计算出a，即得的周长． 【详解】解：（1）因为，所以，. 因为，所以，， 则. （2）由题意可得，的面积为，即. 因为，所以，所以，. 由余弦定理可得. 故的周长为. 【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型． 16. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为． （1）求C的方程； （2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，结合，列出方程求得的值，即可求解. （2）解法一：设直线，联立方程组，利用韦达定理得到，得出的垂直平分线的方程，求得，化简，利用换元法和二次函数的性质，即可求解； 解法二：设，联立方程组，利用根与系数的关系得到，进而得到，化简，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为椭圆的焦点为，可得， 又因为为短轴顶点时，的周长， 又由，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：因为椭圆的焦点为，设直线， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 则， 于是线段AB的垂直平分线的方程为， 令，可得， 由 ， 令，则， 因为，所以，可得， 因此． 解法二：因为椭圆的焦点为，设直线， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 则， 可得线段AB的垂直平分线的方程为， 令，得， 由 ． 令，则， 因为，可得，可得， 因此． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）线段上存在点，是中点 【解析】 【分析】（1）作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解. （2）结合（1），再由向量夹角余弦值公式即可求解. （3）“线段上存在点，使得平面”，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，，待定系数即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，，平面平面，所以平面， 作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，，解得， 到平面的距离为 【小问2详解】 由（1）知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 “线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，． 由（2）知平面的法向量为， 所以．解得． 所以线段上存在点，即中点，使得平面． 18. 某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为． （1）当时，求的值； （2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3） 记事件第号店选派店长，则，， 所以， 先证明， 由题意可知，满足， 假设当时，原不等式成立，即， 则当时，， 即，这说明，当，原不等式成立，故； 接下来证明， 显然，满足题意， 假设当时，原不等式成立，即， 则当时，， 即，这说明，当，原不等式成立，故. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，记事件从号店中选派名店长去号店，利用全概率公式可得出的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）根据全概率公式可得出的递推公式，结合数学归纳法可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工， 当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店， 记事件从号店中选派名店长去号店， 则，，， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 记事件轮岗后，号分店店长的人数为， 则， 则， 记事件在第号分店选中店长， 则 当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长， 所以， 当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长， 所以. 所以，随机变量的分布列如下表所示： 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）若数列满足，前项和为，求证：； （3）若等差数列的公差，前项和为，，求. 【答案】（1）证明: ， 故， ， ， ，，， 即，， . （2）证明： ， ， ，， ，， . （3） 【解析】 【分析】（1）代入函数化简后，用三角公式得，结合推得范围. （2）将裂项并求和，利用余弦范围放缩后，通过半角公式转化为正切形式的不等式. （3）拆分求和式为等差数列和加余弦和，用数列性质分组余弦和后，构造单调函数求得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 为等差数列， ， 同理可得，，，， ， 令， ， ，， ，在上单调递增，则方程有且仅有一个解， ∵， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $