精品解析：四川巴中市平昌县2025--2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025--2026学年上学期九年级期末考试数学试卷 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列根式中，可以与进行合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式； 只有同类二次根式才能合并，即被开方数相同或能化简为相同被开方数． 【详解】解：，， 可以与进行合并的是， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不符合题意； B、缘木求鱼是不可能事件，故此选项不符合题意； C、水涨船高是必然事件，故此选项符合题意； D、拔苗助长是不可能事件，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 某河堤横断面如图所示，斜坡的坡度是，水平距离米，则河堤高为（ ） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵斜坡的坡度是， ∴， ∵水平距离米， ∴米， 故选：B． 6. 如图，已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理； 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：，即，B，C不正确；A正确； 根据平行线分线段成比例可得：，D不正确； 故选：A． 7. 如果，下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，代入各选项求解判断即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴，，， 当时，， ∴四个选项中，只有A选项中的式子不一定成立， 故选：A． 8. 《墨子》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，四边形的四个顶点在以为圆心的圆上，则该圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换、正方形的性质，由题意得正方形与正方形的相似比为，则正方形与正方形的面积比为，可得正方形的面积为16，则可得正方形的边长为4，进而可得四边形的外接圆的直径为，从而可得答案． 【详解】解：∵ ∴正方形与正方形的相似比为， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为16， ∴正方形的边长为4． ∴四边形的外接圆的直径为， ∴四边形的外接圆的周长为． 故选：D． 9. 如图，在中，于点，若是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，直角三角形两锐角互余，等边对等角，设，则，进而可得；根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ） A. 只有甲答案对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当时，则，此时；②当时，则， ，此时；③当时，过点作于点，则，，此时；综上所述即可得出答案． 【详解】解：依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1， ∵为等腰直角三角形， ． 在，． ②当时，如图2， ∵为等腰直角三角形， ． ， ． 在中，． ③当时，过点作于点，如图3， ∵为等腰直角三角形， ． ， ． 在中，． 综上所述，或或． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 12. 函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不能为零，二次根式的被开方数非负，求解自变量x的取值范围． 【详解】解：对于函数，要使函数有意义， 需满足以下条件：分式的分母，二次根式的被开方数， 解得， 因此，自变量x的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 14. 如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理； 连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∴当时，和取最小值， ∵在中，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图1，点将一线段分为两条线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．黄金分割在生活中运用非常广泛，例如：借助正方形习字格书写汉字“数”，可将正方形按照黄金分割的比例来分割（四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）如图2．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的周长为__________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的性质，二次根式的运算； 如图，根据黄金分割的意义求出，，然后计算出，再根据正方形的周长公式得出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知：，，， ∴，， ∴， ∴四个黄金分割点组成的小正方形的周长为， 故答案为：． 三、解答题（共95分） 16. （1）计算：； （2）解方程： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程； （1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行化简，再计算即可； （2）①移项后利用因式分解法求解即可； ②展开后利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①， ∴， ∴， ∴或， 解得：； ② ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 17. 如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边对等角，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义和等边对等角可证明，再由， 可证明； （2）根据相似三角形的性质推出，证明四边形是菱形，推出得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的混合运算，进行二次根式混合运算，再根据二次根式有意义的条件求出的值计算即可． 【详解】解：由题得，，即，， ； ∵， ， ， ； 当时，原式． 19. 南江黄羊通过网络直播和电商平台销售到全国各地，某商户在抖音平台上直播带货，销售南江黄羊，成本价为35元／斤．直播后，按每斤55元销售，第一天卖出了300斤． （1）若第三天的销售利润为8640元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； （2）某主播为了吸粉，于是进行促销活动，即进行降价销售，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10斤．求当售价定为多少时，日销售利润为5250元？ 【答案】（1）第二天、第三天日销售利润的平均增长率为 （2）当售价定为50元时，日销售利润为5250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为x，根据每天的利润（售价成本价）销售量求出第一天的利润，再根据第三天的利润建立方程求解即可； （2）设当售价定为元时，日销售利润为5250元，根据每天的利润（售价成本价）销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为x， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去） 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当售价定为元时，日销售利润为5250元， 根据题意得： 整理得 解得， ，不符合题意，舍去， 答：当售价定为50元时，日销售利润为5250元． 20. 某校七年级拟开展冬季运动会，其中有一项为球类运动，为了解同学们更喜欢哪一类球类运动，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，足球项目的扇形圆心角为__________度，__________． （2）估计该校七年级800名学生中，选择羽毛球的人数； （3）若用电脑随机选择以上四类球类运动，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学中恰有一人选择乒乓球的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 36，20 （2）选择羽毛球的人数为160人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中喜欢篮球的人数除以喜欢篮球的百分比可得调查的人数，用调查的人数分别减去喜欢足球、篮球和羽毛球的人数可得喜欢乒乓球的人数，即可补全条形统计图；用喜欢足球的人数除以调查总人数再乘以可得足球项目的扇形圆心角的度数；用喜欢羽毛球的人数除以调查的人数可得的值； （2）根据用样本估计总体，用400乘以喜欢羽毛球占调查总人数百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级甲、乙两名同学中恰有一人选择乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， ∴喜欢乒乓球的人数：（人）， ； ， ∴， 故答案为：36；20； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级800名学生中，选择羽毛球的有160人； 【小问3详解】 解：分别用字母A，B，C，D表示喜欢的足球、篮球、乒乓球、羽毛球，列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学中有一人选择乒乓球的结果有6种， ∴该校七年级甲、乙两名同学中恰有一人选择乒乓球的概率为． 21. 某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． （1）求点C到墙面的距离； （2）求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 【答案】（1）点C到墙面的距离为米 （2）匾额悬挂的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点C作于点H，在中，解直角三角形求出即可； （2）延长交于点G，先求出，，设，解直角三角形表示出，然后根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点H， 在中，米，， ∴（米）， 答：点C到墙面的距离为米． 【小问2详解】 延长交于点G． ， ，， 在Rt中，， 中，米， ∴米， 设，在Rt中，， ， ∴， ， ∴， 解得： 答：匾额悬挂的高度为米． 22. 配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． （1）若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． （2）若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】（1）7或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； 【小问2详解】 解：∵， 则， ． ， ， 则； 当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 23. 如图1所示，在平面直角坐标系中直线与坐标轴分别交于A，C两点，一动点从点出发向终点以每秒1厘米的速度移动，同时点从点向轴负半轴以每秒2厘米的速度移动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）如图1，作射线，求当为何值时，平分？ （2）如图2，若与相似，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，角平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，由勾股定理求出，过点作于，得，由三角形面积关系可得结论； （2）分和利用相似三角形的性质列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵与坐标轴分别交于A，C两点， ∴令，则，令，则，解得， ∴， ， ， 过点作于， 平分， ， ， 又， ， 由题知，， ， ； 【小问2详解】 解：当时， ∴， 解得， 当时． ， 解得， 综上：或． 24. （1）如图1，在中，平分交BC于点． ①证明： ②试探究是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是的两个外角，平分，交AB的延长线于点，交CB的延长线于点．记的面积为的面积为的面积为．若的面积为．若，求的值． 【答案】（1）平分 又 ，理由如下 平分 ∵ （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①证出，结合，从而证明； ②由平行线分线段定理得到比例关系，再利用平行和角平分线即可得到是定值； （2）根据比例关系，再利用相似三角形的判定与性质即可得到的值． 【详解】解：（1）略 （2）的面积为的面积为 的面积为．的面积为 设 平分 过点作交于， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年上学期九年级期末考试数学试卷 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列根式中，可以与进行合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 5. 某河堤横断面如图所示，斜坡的坡度是，水平距离米，则河堤高为（ ） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 《墨子》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，四边形的四个顶点在以为圆心的圆上，则该圆的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点，若是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ） A. 只有甲答案对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 25的平方根是_____． 12. 函数中自变量的取值范围是__________． 13. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为__________． 14. 如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图1，点将一线段分为两条线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．黄金分割在生活中运用非常广泛，例如：借助正方形习字格书写汉字“数”，可将正方形按照黄金分割的比例来分割（四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）如图2．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的周长为__________．（结果保留根号） 三、解答题（共95分） 16. （1）计算：； （2）解方程： ①； ②． 17. 如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 南江黄羊通过网络直播和电商平台销售到全国各地，某商户在抖音平台上直播带货，销售南江黄羊，成本价为35元／斤．直播后，按每斤55元销售，第一天卖出了300斤． （1）若第三天的销售利润为8640元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； （2）某主播为了吸粉，于是进行促销活动，即进行降价销售，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10斤．求当售价定为多少时，日销售利润为5250元？ 20. 某校七年级拟开展冬季运动会，其中有一项为球类运动，为了解同学们更喜欢哪一类球类运动，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，足球项目的扇形圆心角为__________度，__________． （2）估计该校七年级800名学生中，选择羽毛球的人数； （3）若用电脑随机选择以上四类球类运动，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学中恰有一人选择乒乓球的概率． 21. 某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． （1）求点C到墙面的距离； （2）求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 22. 配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． （1）若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． （2）若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 23. 如图1所示，在平面直角坐标系中直线与坐标轴分别交于A，C两点，一动点从点出发向终点以每秒1厘米的速度移动，同时点从点向轴负半轴以每秒2厘米的速度移动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）如图1，作射线，求当为何值时，平分？ （2）如图2，若与相似，求的值． 24. （1）如图1，在中，平分交BC于点． ①证明： ②试探究是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是的两个外角，平分，交AB的延长线于点，交CB的延长线于点．记的面积为的面积为的面积为．若的面积为．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $