精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期高三月考考试 高三数学试卷 命题人：黄业静 审题人：侍作云 一、单选题 1. 已知集合 ，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若是与4的等比中项，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 7. 在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列计算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数图象的对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 11. 若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 12. 已知向量，，则______． 13. 若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为__________. 14. 如图，内接于球的四面体的每个面都是直角三角形，且，则球的半径______. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 16. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）离心率是，长轴长是12； （2）过点和； （3）焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为 中点． （1）求证：平面 ； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 在数列中，. （1）求的通项公式. （2）设的前n项和为，证明：. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三月考考试 高三数学试卷 命题人：黄业静 审题人：侍作云 一、单选题 1. 已知集合 ，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解集合，再求两集合的交集可得. 【详解】， ， 则. 故选:B. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质和定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义域与奇偶性判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称， 而选项B,C,D的定义域不是，故只有A选项符合条件. 故选：A 5. 若是与4的等比中项，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 6. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 7. 在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出图象，然后确定异面直线与所成角的大小，进而求出其正弦值. 【详解】如图，连接，，则∥， 所以为异面直线BD与所成角， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 所以异面直线BD与所成角的正弦值是， 故选：A 故选：A. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用幂指对函数的单调性比较自变量的大小，然后根据的单调性和奇偶性即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，且在上单调递增， 由幂函数和指数函数的单调性可知， 由对数函数单调性可知， 所以，故，即. 故选：D 二、多选题 9. 下列计算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数图象的对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 11. 若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确； 因为当时，，故D错误， 故选：AC. 二、填空题 12. 已知向量，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由向量的坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：5. 13. 若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，利用几何法求弦长即可. 【详解】由题意知，两圆的方程相减，得， 即直线的方程为，如图， 所以. 故答案为： 14. 如图，内接于球的四面体的每个面都是直角三角形，且，则球的半径______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，将四面体放在长方体中，四面体的外接球即为长方体的外接球，根据体对角线是直径，求解即可. 【详解】因为四面体的每个面都是直角三角形，且， 所以将四面体补全为一个长方体，如图 所以四面体的外接球即为长方体的外接球，所以， 所以， 故答案为： 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理对给定式子合理变形，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. （2）结合题意得到，再利用同角三角函数的基本关系得到，最后结合余弦定理与三角形的周长公式求解即可. 【小问1详解】 在中，因为， 所以由正弦定理得， 而，则，得到， 结合同角三角函数的基本关系可得. 【小问2详解】 因为，所以， 联立方程组，解得（负根舍去）， 由题意得，，由余弦定理得，解得（负根舍去）， 则的周长为. 16. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）离心率是，长轴长是12； （2）过点和； （3）焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由可解. 【小问1详解】 由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. 【小问2详解】 设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. 【小问3详解】 设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为 中点． （1）求证：平面 ； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接，交于点，则是的中点，连接， ∵ 分别是 的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接 ，由已知可得 ，然后根据线面平行的判定定理得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因 平面，底面为正方形，即 两两垂直， 故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 易得即为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在数列中，. （1）求的通项公式. （2）设的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴. 设，则， 两式相减得， 从而， 故. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，适当整理，可得数列是首项为，公比为的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解； （2）利用不等式基本性质可得，进而.将不等式右边设为，利用错位相减求和法运算化简后，即可证得结论. 【小问1详解】 解：∵，∴， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， 从而， 则. 【小问2详解】 略. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2） （3） 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，故，即， 所以， 所以，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）当时，可得，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的减区间和增区间； （2）由可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，证明出，可得出，再利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，， 由可得，由可得， 故当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由可得，令，其中， 求导得， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以，故， 因此实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $