精品解析：天津市滨海新区塘沽十三中2025-2026学年高二上学期第二次适应性测试（12月）数学试题

塘沽十三中2025-2026学年度第一学期 高二年级第二次阶段考试数学学科 一、选择题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分.） 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线的一般式化为斜截式，根据及倾斜角的范围即可求解. 【详解】由题意可知，直线可以化为， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则 根据斜率公式得，，由，可得. 故选：B. 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 54 B. 55 C. 56 D. 57 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系式，利用累加法求和. 【详解】由题意可知，， 所以，，，……，， 所以上面9个式子相加得， 所以. 故选：C 3. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 4. 已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列的公比的值，再由已知条件求出的值，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因为、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，. 故选：D. 5. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 6. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（ ） A. 6 B. 18 C. 28 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后天共走的里程数． 【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列， ， 解得， 所以，此人后三天所走的里程数为． 故选：D． 7. 已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】根据题意，设，因为，且， 所以，代入到抛物线中，得， 所以，将代入到双曲线中，得，即， 设双曲线的焦点，渐近线为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为， 故选：D. 8. 在数列中，，则等于（ ） A. 445 B. 765 C. 1080 D. 3105 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】依题意由可得为定值， 因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 即可得，所以当时，，当时，， 所以 . 故选：B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.） 9. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以：，即，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 10. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离求出圆的半径即可得解. 【详解】由题可得所求圆的半径为点到直线的距离， 则. 所以圆的标准方程为. 故答案为： 11. 数列的前项和为，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 12. 直线与轴交于点，与轴交于点，与圆交于、两点，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出点、的坐标，可得出的值，进而可得出的值，求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得的值. 【详解】易知直线与轴交于点，与轴交于点， 故，所以， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，故. 故答案为：. 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据双曲线的概念和抛物线的概念，以及题干所给条件，列出方程组，求出参数的关系，进而根据离心率的定义，求出结果. 【详解】 根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为， 显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，即， 由勾股定理可知， 又，所以，即，整理得， 所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：3. 三、解答题（本大题共2个小题，共42分.） 14. 如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点和点的直线与此椭圆交于，两点，求的长. （3）若是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接，设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标，并结合点到直线的距离公式与题意建立方程组，求解出基本量，最后求出椭圆方程即可. （2）先求出直线方程，再结合韦达定理与弦长公式求解即可. （3）首先确定直线的方程，设直线的方程为，联立椭圆方程，再利用韦达定理求坐标，进而写出直线，最后求出，应用斜率的两点式得到关系式，得到参数即可. 【小问1详解】 已知椭圆过点，代入方程得， 又由题意得， 则的方程为，化简得， 设原点到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为原点到直线的距离为，所以， 化简得，联立方程组，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由斜率公式得过点和点的直线斜率为， 则直线方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得. 【小问3详解】 由已知得，故直线的方程为， 直线的斜率为，点，则直线的方程为， 联立，得， 又点在椭圆上，故有， 则，， 故直线的方程为，即， 又点为直线与轴交点，令，解得，得到， 将直线与直线联立，得到， 解得，则， 故直线的斜率为， 则，此时． 15. 已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若在数列任意相邻两项、之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可； （2）利用错位相减法计算求和即可； （3）先求出，再利用裂项相消法及分组法计算求和即可. 【小问1详解】 由已知，得，解得，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 则 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，则， 则， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽十三中2025-2026学年度第一学期 高二年级第二次阶段考试数学学科 一、选择题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分.） 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 54 B. 55 C. 56 D. 57 3. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（ ） A. 6 B. 18 C. 28 D. 42 7. 已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在数列中，，则等于（ ） A. 445 B. 765 C. 1080 D. 3105 二、填空题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.） 9. 抛物线的准线方程是_______ 10. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为______. 11. 数列的前项和为，若，则____________. 12. 直线与轴交于点，与轴交于点，与圆交于、两点，，则______. 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为________ 三、解答题（本大题共2个小题，共42分.） 14. 如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点和点的直线与此椭圆交于，两点，求的长. （3）若是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接，设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 15. 已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若在数列任意相邻两项、之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $