精品解析：四川省成都金苹果锦城第一中学2025-2026学年高一上学期数学周考卷7

四川省成都金苹果锦城第一中学2025-2026学年高一上学期数学周考卷7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，题卷由学生自行保管，答卷由监考老师收回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解. 【详解】的否定是，的否定是， 故“，”的否定是“，”， 故选：D 2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点，测得，，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆弧的圆心为，根据切线性质可知，进而确定半径与弧长. 【详解】 设圆弧的圆心为， 则易知， 又， 则， 即为正三角形， 所以半径， 则弧长为， 故选：B. 3. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立. 【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立. 故选：A 4. 已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断. 【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式先计算，进而得点的坐标，最后利用三角函数的定义即可求解. 【详解】依题意，， 即，由三角函数的定义得， 则． 故选：B. 6. 已知在中，，是上一点，则点到的距离乘积的最大值是 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等面积公式可知，再利用基本不等式求的最大值. 【详解】设点到的距离为，到的距离为，由于为直角三角形，所以根据等面积法有，即，所以有，则，当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用等面积建立方程，即得. 7. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用幂指对函数的单调性比较自变量的大小，然后根据的单调性和奇偶性即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，且在上单调递增， 由幂函数和指数函数的单调性可知， 由对数函数单调性可知， 所以，故，即. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则实数m可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合包含关系，讨论、求参数值. 【详解】由，当时满足题设， 若， 当，则， 当，则， 显然不可能有且， 综上，或或. 故选：ACD 10. 因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的图象关于轴对称 C. 当时， D. 方程有四个不同的实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数有意义的条件，直接求得定义域即可判定A；根据偶函数的定义即可判定选项B；根据自变量的取值范围，可求得函数的值域，继而可以判定C；把方程根的个数转化函数的交点个数，画出函数图象即可判定D. 【详解】令得，， 故函数的定义域为，故A错误； 函数的定义域关于原点对称，且， 则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 当时，， 所以，所以当时，，故C正确； 方程，可化为， 设函数，其定义域为， 且满足，则其为偶函数； 考虑到也为偶函数，所以考查且情况即可， 当且时，，， 可画出两个函数的图象 由图可知两个函数有四个交点，即方程有四个不同的实根， 故D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确； 对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误； 对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误； 对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确. 故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 已知函数与互为反函数，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案. 【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得， 故. 故答案为：9. 13. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，计算可求得的值. 【详解】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. 14. 已知函数在上有4个不同零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可得，对函数在上的零点个数进行分类讨论，可得出函数在上的零点个数，综合可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上至多两个零点，故， 且二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 对于二次函数，， 当时，即当时， 函数在上无零点， 此时，函数在上只有一个零点，不合乎题意； 当时，即当时，函数在上只有一个零点， 而函数在上只有一个零点，不合乎题意； 当时，即当时， 函数在上有两个零点， 则函数在上有两个零点，所以，，此时，不存在； 当时，即当时，函数在上只有一个零点， 则函数在上有三个零点，则，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后根据交集运算求出. （2）根据得出，然后列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 . 或，. 【小问2详解】 . 依题意得，解得：． 综上所述，． 16. 已知函数． （1）写出函数的最小正周期和函数图象的对称轴方程； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称轴方程整体代入进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可； （3）根据正弦型函数的最值进行求解即可. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 令，得函数的对称轴方程为：； 【小问2详解】 令， 因为的单调递减区间是， 且由，解得． 所以函数的单调递减区间为 【小问3详解】 因为，所以， 所以当，即时，； 当，即时，, 所以函数在区间上的最大值为2，最小值为. 17. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】（1）， （2）当的长为m时，总造价最低，为59000元 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 18. 已知函数， （1）判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），函数定义域为在R上单调递增，证明如下， 令，则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 所以在R上单调递增； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，通过作差判断函数的单调性； （2）通过换元法，将指数函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质求解的取值范围； （3）先求出在给定区间上的最大值，再根据条件得到的最大值，进而求解的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 因为，所以在上恒成立， 令，所以， 又函数在[1,7]上单调递增， 所以当时，，所以； 【小问3详解】 由（1）知，在上的最大值为，所以对任意恒成立， 即，令， ①，即时，在[1,2]上单调递增，所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以； ④，即时，在[1,2]上单调递减， 所以，所以，所以 综上可得，的取值范围为． 19. 已知 （1）判断并证明的奇偶性； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 由题意得，的定义域为， ，为奇函数. （2）或； （3）证明： 方法一：依题意可得， 因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增，所以， 因此，可得． 方法二：依题意， 因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 且， 即，由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，即， 所以， 因为， 所以，即，所以． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出； （2）方法一：设，将转化为，再根据的范围确定的范围，分析零点情况即可得到的范围； 方法二：设，将转化为，再通过参数分离得，最后把函数有一个零点问题转化成两个函数的图象交点问题即可求出； （3）方法一：先化简，根据单调性和零点存在性定理证明唯一正零点，再通过构造函数或作差比较和的大小即可. 方法二：先判断的单调性，通过零点存在性定理得，通过作差法即可判断和的大小. 【小问1详解】 为奇函数，理由略； 【小问2详解】 ，设，由得， 设，则在有且只有一个零点， ①时，不满足题意． ②解得， ③，无解， ④时，即，此时，满足题意， ⑤时，， 检验，当时，，满足题意． 当时，，不满足题意． 综上所述：的取值范围为或． 方法二：，设， 设，令． 由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增 函数在单调递增，上单调递减． 当时，， 故的图象如图所示， 由图象可知的取值范围为或． 【小问3详解】 证明略，，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都金苹果锦城第一中学2025-2026学年高一上学期数学周考卷7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，题卷由学生自行保管，答卷由监考老师收回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点，测得，，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：）（ ） A. B. C. D. 3. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知在中，，是上一点，则点到的距离乘积的最大值是 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则实数m可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 10. 因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的图象关于轴对称 C. 当时， D. 方程有四个不同的实根 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 已知函数与互为反函数，则__________. 13. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 14. 已知函数在上有4个不同零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）写出函数的最小正周期和函数图象的对称轴方程； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 17. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 18. 已知函数， （1）判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 19. 已知 （1）判断并证明的奇偶性； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $