精品解析：河南焦作市2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年（上）期末学情诊断 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填写在答题卷指定位置． 1. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “桃之夭夭，灼灼其华．”每年3月，神农山的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 5. 如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 49 7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_________． 12. ，则的值为___________． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 14. 如图，在中，为延长线上一点，过点作于点，交于点，，为的中点，则的长为___________． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若是直线上一动点，是直线上一动点，，，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）因式分解： 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作出关于轴对称的； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使（不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，与相交于点，，，求证： 20. 某景区商店计划购进两款猕猴玩偶，经了解，款猕猴玩偶的进价比款猕猴玩偶贵20元，且用1800元购买款猕猴玩偶与用1200元购买款猕猴玩偶的数量相等． （1）两款猕猴玩偶的进价分别是多少元？ （2）该商店购进两款玩偶共80件，款玩偶的售价为每件50元，款玩偶的售价为每件75元，全部售出后，共获利润1025元，求购进两款玩偶各多少件？ 21. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点． （2）以为腰在右侧作等腰直角三角形，使，连接，若，求的面积． 22. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． （1）特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 23. 如图，在中，，． （1）观察猜想：如图1，作边上的中线，得出以下结论： ①的形状是___________； ②与之间的数量关系为___________． （2）探索发现：如图2，是的中线，是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由． （3）拓展应用：如图3，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接交于点，若，则的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）期末学情诊断 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填写在答题卷指定位置． 1. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判断，根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式． 根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：A． 3. “桃之夭夭，灼灼其华．”每年3月，神农山的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：B． 4. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 5. 如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据三角形看清楚部分的特点，结合三角形全等的判定定理解答即可． 【详解】解：根据三角形看清楚部分的特点是角，边，角， 结合所学三角形全等的判定定理有， 故选：D． 6. 已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点坐标特征，负整数指数幂． 根据关于x轴对称的点坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列方程求解a和b，再计算表达式值． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，由等量关系列出方程是关键；根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱；设总株数为x，则每株椽的价钱为文，剩下的株的运费为文；根据等量关系列方程即可． 【详解】解：设这批椽有株，则每株椽的价钱为文，若少拿一株，剩下的株的运费为文； 根据题意，得：； 故选：D． 8. 如图，，，于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、含角的直角三角形的性质． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 9. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据分式的解求参数，掌握解分式方程的方法，分式有意义的条件，不等式的性质是解题的关键． 解分式方程得到，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 两边同乘（），得， ∴， ∵解为非负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：D． 10. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件．根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. ，则的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． 利用同底数幂的除法法则，将 转化为 ，再代入已知数值计算 【详解】解：∵ ，， 根据同底数幂的除法法则，， ∴ ． 故答案为：8． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由作图可知垂直平分，即，根据等边对等角及三角形内角和定理求出，同理可得，即可求出的度数． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，为延长线上一点，过点作于点，交于点，，为的中点，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 过点作，先证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得为的中点，再证明，得到，即可得解； 【详解】过点作于点G， ， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案是：． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若是直线上一动点，是直线上一动点，，，则的最小值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识． 连接，过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时，据此即可求出答案． 【详解】解：连接，过点A作于点H， ∵，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线分别交于点，点， ∴， ∴， 当且仅当A、F、G三点共线时，， ∵点是直线上的一动点， ∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时， 即的最小值为12． 故答案为：12． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算和因式分解，熟练掌握因式分解的技巧方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式进行求解即可； （2）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法和完全平方公式法进行分解即可得． 【详解】解：（1） ． ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键； 先利用分式的性质和运算法则进行化简，再求出，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式， ， ， ∵， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作出关于轴对称的； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）的面积为5 （3） 如图所示，点P即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了网格作图—垂直平分线，网格法求三角形面积、轴对称的性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、中位线的判定和性质和垂直平分线的判定和性质，掌握格点作图中垂直平分线的作法是解决本题的关键． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）取格点D和E，连接，交于点F，取格点G，连接，取格点H和I，连接，交于点J，连接直线，交y轴于点P，此时点P即为所求；先证明四边形是矩形，则点F为对角线的中点，再求出的长度，进而可得为等腰直角三角形，然后证明四边形为矩形，则点J为对角线的中点，进而可得为的中位线，进而可得为的垂直平分线，则交于y轴的点P，可使． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得， ； 【小问3详解】 略 19. 如图，与相交于点，，，求证： 【答案】 证明：在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，进而可证 【详解】略 20. 某景区商店计划购进两款猕猴玩偶，经了解，款猕猴玩偶的进价比款猕猴玩偶贵20元，且用1800元购买款猕猴玩偶与用1200元购买款猕猴玩偶的数量相等． （1）两款猕猴玩偶的进价分别是多少元？ （2）该商店购进两款玩偶共80件，款玩偶的售价为每件50元，款玩偶的售价为每件75元，全部售出后，共获利润1025元，求购进两款玩偶各多少件？ 【答案】（1）款猕猴玩偶的进价为40元，则款猕猴玩偶的进价为60元 （2）款玩偶购进35件，款玩偶购进45件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出数量关系，列方程和方程组； （1）设款猕猴玩偶的进价为元，则款猕猴玩偶的进价为元，根据用1800元购买款猕猴玩偶与用1200元购买款猕猴玩偶的数量相等，即可列出分式方程求解； （2）设款玩偶购进件，款玩偶购进件，根据购进两款玩偶共80件；全部售出后，共获利润1025元，列出方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：设款猕猴玩偶的进价为元，则款猕猴玩偶的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：款猕猴玩偶的进价为40元，则款猕猴玩偶的进价为60元． 【小问2详解】 解：设款玩偶购进件，款玩偶购进件， 由题意得：， 解得：， 答：款玩偶购进35件，款玩偶购进45件． 21. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点． （2）以为腰在右侧作等腰直角三角形，使，连接，若，求的面积． 【答案】（1） 如图，点D即为所求， （2）的面积为25 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图—角平分线，等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点F、G，分别以点F、G为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，则点D即为所求； （2）作交的延长线于点，根据题意证明，得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于点， ，，是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ， ． 22. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． （1）特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是，不是 （2）“和谐数”能被8整除． 理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）5000 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【小问1详解】 解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 阴影面积为5000． 23. 如图，在中，，． （1）观察猜想：如图1，作边上的中线，得出以下结论： ①的形状是___________； ②与之间的数量关系为___________． （2）探索发现：如图2，是的中线，是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由． （3）拓展应用：如图3，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】（1）①等边三角形；② （2） ，理由如下： 连接，如图， ，， ，， 又是的中线 ， ， 又是等边三角形 ，， ， ， ， 又， 是的垂直平分线 ； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质直角三角形斜边中线的性质和线段垂直平分线的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）①由题意可得，根据30度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论；②根据等边三角形的性质和即可证得结论； （2）连接，根据等边三角形的性质可证得，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质和等量代换求出，连接，根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质可得和，进而可得，再利用证明可得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①，， ， 为边上的中线， ， 是等边三角形； ②是等边三角形， ． ， ； 故答案为：等边三角形，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，； ∵是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 过点P作的中线，如图， ∵是等边三角形，且点E是的中点， ∴，是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∴， 故答案为：8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $