26.1反比例函数（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义系统梳理反比例函数的核心知识点，从定义（含判断方法）、图象（描点法步骤）、性质（象限分布与增减性），到k的几何意义（矩形和三角形面积）、坐标特征（xy=k）、待定系数法求解析式及与一次函数交点问题，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于知识与能力并重，通过定义辨析培养抽象能力（数学眼光），综合题（如平行四边形与反比例函数结合）提升推理能力（数学思维），规范解题步骤训练模型意识（数学语言）。课中助力分层教学，课后解析帮助学生自主查漏补缺，巩固知识盲点。

26.1反比例函数（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 3．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 4．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 6．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 7．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 【题型演练】 一、单选题 1．下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2． 反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3．若点，，都在反比例函数（为常数，）的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．下列四个点，在反比例函数y＝图象上的是（　　） A．（2，-3） B．（2，3） C．（-1，6） D．（-，3) 5．若反比例函数的图象经过点，则关于的分式方程的解为（　　） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D， 反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的横坐标为（　　）． A． B． C． D． 8．如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为反比例函数y＝ （x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为（　　）． A．12 B．13 C．24 D．26 二、填空题 9．若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是　 　． 10．已知点 ， 在反比例函数 的图象上，则 　 　 （填“>”、“<”或“=”）． 11．如图，点A在双曲线 上，且AB⊥x轴于B，若△ABO的面积为3，则k的值为　 　． 12．函数y＝ 与y＝k2 x（k1、k2均是不为0的常数，）的图像交于A、B两点，若点A的坐标是（2，3），则点B的坐标是　 　． 13．如图，点P在函数的图象上运动，O为坐标原点，点A为的中点，以点P为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点P的坐标为　 　． 14．已知直线 与双曲线 的交于 两点，点C在线段AB上，过点C作 轴，垂足为D，并交双曲线y= 于点E.若当 取最大值时，有CE= ，则k的值为　 　. 三、解答题 15．如果函数 是反比例函数，且当时y随x的增大而增大，求函数的解析式． 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示. （1）求一次函数的解析式； （2）当时，直接写出不等式的解集. 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 18．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： （1）反比例函数上的解析式； （2）的面积． 19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 20．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 21．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）求与的值； （2）①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； （3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 22．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵k=-3＜0， ∴函数图象位于第二、四象限， 故答案为：D 【分析】根据反比例函数的图象结合题意即可求解。 3．【答案】C 4．【答案】B 【解析】【解答】反比例函数y＝中k=6， A、∵2×（-3)=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵2×3=6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； C、∵（-1)×6=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵（-)×3=-≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选B． 【分析】直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数y=（k≠0)中，k=xy为定值． 5．【答案】B 【解析】【解答】解： ∵反比例函数经过点 ∴ ∴原分式方程为 两边同乘最简公分母（x-1），得1-（x-1）=0 解得x=2. 经检验，x=2是分式方程的解. 故答案为：B. 【分析】先将点A的坐标代入反比例函数，求出k的值；再将k的值代入关于x的分式方程，然后解这个分式方程即可，解分式方程的最后一定要记得检验. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：①当k＞0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上； ②k＜0时，双曲线在二、四象限，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上； B符合题意； 故答案为：B 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。 7．【答案】D 8．【答案】C 【解析】【解答】根据题意，设P点的坐标为（x， ），且x＞0，则 △AOD的面积为： ； △DOC的面积为： ； △BOC的面积为： ； △AOB的面积为： 所以可知四边形ABCD的面积为： ≥12+2×2 =24. 故C符合题意. 故答案为：C 【分析】根据P在反比例函数的图象上，可设P点的坐标为，分别用x表示出△AOD的面积、△DOC的面积、△BOC的面积、△AOB的面积，从而得出四边形ABCD的面积的表达式，从而求出其最小值. 9．【答案】1． 10．【答案】＞ 【解析】【解答】∵反比例函数y= 中，k＞0， ∴此函数的图象在一三象限， ∵A（2，y1），B（﹣3，y2）， ∴点A在第一象限，点B在第三象限， ∴y1＞0，y2＜0， ∴y1＞y2， 故答案为>. 【分析】先求出此函数的图象在一三象限，再求出点A在第一象限，点B在第三象限，最后比较大小求解即可。 11．【答案】﹣6 【解析】【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝ |k|＝3，即k＝±6． 又∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝ |k|． 12．【答案】(－2， －3) 【解析】【解答】∵函数y＝ 与y＝k2 x（k1、k2均是不为0的常数，）的图像交于A、B两点，点A的坐标是（2，3）， ∴k1=2×3=6，2k2=3，解得k2= ， ∴两个函数的解析式分别为： 和 ， 由 解得 ， ∵当 时， ；当 时， ；且点A的坐标为（2，3）， ∴点B的坐标为（-2，-3）. 故答案为：（-2，-3）. 【分析】将A点的坐标分别代入一次函数的解析式及反比例函数的解析式，即可求出k1，k2的值，从而求出两函数的解析式，再解两解析式所组成的方程组即可求出B点的坐标， 13．【答案】或 【解析】【解答】解：分类讨论：①当与x轴相切时，如图， 设切点为M， ∴轴． ∵点A为的中点， ∴． ∵， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去负值）， 经检验是原方程的解， ∴； ②当与y轴相切时，如图， 设切点为N， ∴轴． ∵点A为的中点， ∴． ∵， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去负值）， 经检验是原方程的解， ∴． 综上可知，点P的坐标为或． 【分析】分类讨论：①当与x轴相切时，②当与y轴相切时，再分别画出图象并求解即可。 14．【答案】3 【解析】【解答】解： 直线 与双曲线 的交于 ， 两点， ， ， 代入 得 ， 解得： ，即直线 为 ， 点 在线段 上， 设 ，其中 ， 轴， ， 交双曲线 于点 ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 最大值为 ， 把 代入得： ， ， . 故答案为：3. 【分析】将点A、B的坐标代入y=中可得A（1，k），B（3，），然后代入y=ax+b中可得a、b，据此得到直线AB的解析式，设C（x，-x+k），则D（x，0），E（x，），然后表示出CE、DE，进而得到，结合二次函数的性质可得其最大值以及对应的x的值，将CE代入可得DE的值，进而得到点E的坐标，然后代入反比例函数解析式中就可求出k的值. 15．【答案】 16．【答案】（1） （2） 17．【答案】（1）， （2） 18．【答案】（1） （2）的面积是2 19．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 20．【答案】解：（1）把A（﹣4，2）代入y=得m=﹣4×2=﹣8， ∴反比例函数的解析式为y=﹣； 把B（n，﹣4）代入y=﹣得﹣4n=﹣8，解得n=2， ∴B点坐标为（2，﹣4）， 把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）分别代入y=kx+b得，解方程组得， ∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）﹣4＜x＜0或x＞2． 【解析】【分析】（1）先把A（﹣4，2）代入y=求出m=﹣8，从而确定反比例函数的解析式为y=﹣；再把B（n，﹣4）代入y=﹣求出n=2，确定B点坐标为（2，﹣4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）观察图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值． 21．【答案】（1）， （2）①；②或 （3）或 （4）时最小值为 22．【答案】（1）， （2）8 （3）或或或 学科网（北京）股份有限公司 $