第二十六章反比例函数 第11讲 反比例函数综合应用讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

第11讲 反比例函数的综合运用 知识点1反比例函数实际应用 1.分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。 2.函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 3.概括整合 （1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。 （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。 【典例】 1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这一函数的解析式； （2）当气体体积为1m3时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3） 【解析】解：（1）设， 由题意知， 所以k=96， 故； （2）当v=1m3时，； （3）当p=140kPa时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3． 3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2017年1月1日投放市场，前3个月只在本地销售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售． （1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y=，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入） （2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？ （3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的3个月），请从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？ 【解析】解：（1）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，销售量y=（万件）， ∴每月利润=×（x﹣20）=200﹣， ∵20≤x≤80， 又∵每月利润随着x的增大而减小， ∴当x=80时， y取到最大值，即每月利润最大， 把x=80代入得：每月利润=150万元 即最大利润为150万元； 答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少150万元， （2）∵每件产品的利润为（80﹣m﹣20）元，即（60﹣m）元，销售量为（10+0.2m）万件， ∴每月利润=（60﹣m）×（10+0.2m）， 整理后得：每月利润=﹣0.2m2+2m+600=﹣0.2（m﹣5）2+605， ∵每件产品的利润（60﹣m）≥0， ∴m≤60， 把m=5代入每月利润=﹣0.2（m﹣5）2+605得：每月利润为605万元， 即每月可获得的最大利润是605万元， 答：从第4个月开始，每月可获得的最大利润是605万元； （3）前三个月本地销售的利润为150×3=450万元， 后九个月正常销售的利润为605×9=5445万元， 开拓开外地市场增加的利润为450+5445﹣3×500=4395万元， 答：从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加4395万元利润． 【方法总结】 应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。 （1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位； （2）注意自变量的取值范围。 【随堂练习】 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴y2=． （2）当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30时，y2==， ∴y1＜y2 ∴第30分钟注意力更集中． （3）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴36=， ∴x2=≈27.8 ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 　 2．某农户共摘收草莓1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间成反比例关系，已知第1天以20元/千克的价格销售了45千克．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元/千克，但销售量却是第二天的2倍，求第二天的销售价格； （3）试销6天共销售草莓420千克，该农户决定将草莓的售价定为15元/千克，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【解答】解：（1）y与x的函数关系式：y=； （2）设第二天的销售价格是x元/千克，则2×=， 解得x=18，经检验x=18是原方程的解 答：第二天的销售价格为18元/千克； （3）草莓的销售价定为15元/千克时，每天的销售量： y===60（千克）， 由题意=25（天）， 所以余下的草莓预计还要销售25天． 　 3．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y=100x刻面；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数y=（x＞0）刻画（如图）． （1）求k的值； （2）当y≥75时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？ （3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路，假设某驾驶员晚上20：00喝完半斤白酒，第二天早上7：00能否驾车？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得：当x=1.5时，y=150，则满足y=（k＞0）， ∴k=xy=150×1.5=225； ②把y=75代入y=， 解得x=3； 把y=75代入y=100x得，x=0.75， ∵3﹣0.75=2.25小时， ∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的时间持续了2.25小时， 答：肝功能持续受损的时间为2.25小时； （3）不能驾车上班，理由如下： ∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时， ∴将x=11代入y=，则y=＞20， 第二天早上7：00不能驾车去上班． 知识点2反比例函数与一次函数 1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式． 【解析】解：（1）∵直线y=﹣x过点A（m，1）， ∴﹣m=1，解得m=﹣2， ∴A（﹣2，1）． ∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（﹣2，1）， ∴k=﹣2×1=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣； （2）设直线BC的解析式为y=﹣x+b， ∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为， ∴△ACO的面积=OC•2=， ∴OC=， ∴b=， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+． 2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C （1）求k的值及C点坐标； （2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积． 【答案】 【解析】解：（1）令﹣2x+4=，则2x2﹣4x+k=0， ∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C， ∴△=16﹣8k=0， 解得k=2， ∴2x2﹣4x+2=0， 解得x=1， ∴y=2， 即C（1，2）； （2）∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称， ∴A（2，0），B'（0，﹣4）， ∴直线l为y=2x﹣4， 令=2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=3，x2=﹣1， ∴E（﹣1，﹣6），D（3，2）， 又∵C（1，2）， ∴CD=3﹣1=2， ∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8． 【方法总结】 一次函数，反比例两函数比大小： 此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个x1 ,x2且x1＜0＜x2 那么把这个图像分为了4份，分别为Ⅰ:x＜x1，Ⅱ:x1 ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜x2，Ⅳ:X＞x2，树形结合，自变量相同，谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把图像分为了4部分） 【随堂练习】 1．如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=（k＜0），y=（m＞0）分别相交于点A，B，C，D，已知点A的坐标为（﹣1，4），且AB：CD=5：2，则m=___． 【解答】解：如图由题意：k=﹣4，设直线AB交x轴于F，交y轴于E． ∵反比例函数y=和直线AB组成的图形关于直线y=x对称，A（﹣1，4）， ∴B（4，﹣1）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+3， ∴E（0，3），F（3，0）， ∴AB=5，EF=3， ∵AB：CD=5：2， ∴CD=2， ∴CE=DF=， ∴C（，），D（，）， ∴m=， 故答案为． 知识点3反比例函数与几何综合应用 反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为　　． 【答案】3 【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a）， ∵点D在反比例函数y=的图象上， ∴k=xa， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=45°， ∴∠OAE=∠CAB=45°， ∴△OAE是等腰直角三角形， ∴E（0，﹣x）， ∴S△ABE=AB•OE=ax=1.5， ∴ax=3，即k=3． 故答案为：3． 2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为　 　． 【答案】（3+，﹣1+） 【解析】解：如图， 作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E， ∴∠ODC=∠BEO=90°，OB=OC，∠COD+∠BOE=90°， ∵∠COD+∠OCD=90°， ∴∠OCD=∠BOE， ∴△COD≌△OBE， ∴CD=OE=2，OD=BE，S△COD=S△OBE， ∵反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称， ∴k1+k2=0， ∴点C在双曲线y1=上， 设B（m，﹣2）（m＞0）， ∴C（2，m）， ∴k1=2m 连接BC交OA于H， 则CH=BH，OH=AH， ∴H（，）， ∴A（m+2，m﹣2）， ∴k1=（m+2）（m﹣2） ∴（m+2）（m﹣2）=2m， ∴m=1+或m=1﹣（舍）， ∴m+2=3+，m﹣2=﹣1+， ∴A（3+，﹣1+）， 故答案为：（3+，﹣1+）． 3.如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。 （1）求k的值与B点的坐标； （2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标． 【解析】解：（1）把点A（3，4）代入y=（x＞0），得 k=xy=3×4=12， 故该反比例函数解析式为：y=． ∵点C（6，0），BC⊥x轴， ∴把x=6代入反比例函数y=，得 y==6． 则B（6，2）． 综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）． （2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴点D的横坐标为3，yA﹣yD=yB﹣yC即4﹣yD=2﹣0，故yD=2． 所以D（3，2）． ②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴点D的横坐标为3，yD′﹣yA=yB﹣yC即yD﹣4=2﹣0，故yD′=6． 所以D′（3，6）． ③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC=BD″． ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴xD″﹣xB=xC﹣xA即xD″﹣6=6﹣3，故xD″=9． yD″﹣yB=yC﹣yA即yD″﹣2=0﹣4，故yD″=﹣2． 所以D″（9，﹣2）． 综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）． 4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4． （1）当m=4，n=20时． ①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式． ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． （2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 【解析】解：（1）①如图1，∵m=4， ∴反比例函数为y=， 当x=4时，y=1， ∴B（4，1）， 当y=2时， ∴2=， ∴x=2， ∴A（2，2）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+3； ②四边形ABCD是菱形， 理由如下：如图2，由①知，B（4，1）， ∵BD∥y轴， ∴D（4，5）， ∵点P是线段BD的中点， ∴P（4，3）， 当y=3时，由y=得，x=， 由y=得，x=， ∴PA=4﹣=，PC=﹣4=， ∴PA=PC， ∵PB=PD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）四边形ABCD能是正方形， 理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P， ∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0）， 当x=4时，y==， ∴B（4，）， ∴A（4﹣t，+t），C（4+t，+t）， ∴（4﹣t）（+t）=m， ∴t=4﹣， ∴C（8﹣，4）， ∴（8﹣）×4=n， ∴m+n=32， ∵点D的纵坐标为+2t=+2（4﹣）=8﹣， ∴D（4，8﹣）， ∴4（8﹣）=n， ∴m+n=32． 【方法总结】 反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键． 求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。 【随堂练习】 1．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积为． 【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2， ∴B（3，2）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， ∵点F在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴k=3， ∴该函数的解析式为y=； （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， ∴S△EFA=AF•BE=×k（3﹣k）， =k﹣k2 ∵△EFA的面积为． ∴k﹣k2=． 整理，得 k2﹣6k+8=0， 解得k1=2，k2=4， ∴当k的值为2或4时，△EFA的面积为． 综合运用: 反比例函数的综合运用 1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】 （1）求反比例函数的解析式和点D的坐标； （2）求三角形DOE的面积； （3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式． 【解析】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心， ∴点E的坐标为（2，1）， ∵代入反比例函数解析式得=1，解得k=2， ∴反比例函数解析式为y=， ∵点D在边BC上， ∴点D的纵坐标为2， ∴y=2时，=2， 解得x=1， ∴点D的坐标为（1，2）； （2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2）， ∴BD=3，OC=2． ∵点E是OB的中点， ∴S△DOE=S△OBD=××3×2=； （3）如图，设直线与x轴的交点为F， 矩形OABC的面积=4×2=8， ∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分， ∴梯形OFDC的面积为×8=3， 或×8=5， ∵点D的坐标为（1，2）， ∴若（1+OF）×2=3， 解得OF=2， 此时点F的坐标为（2，0）， 若（1+OF）×2=5， 解得OF=4， 此时点F的坐标为（4，0），与点A重合， 当D（1，2），F（2，0）时，， 解得， 此时，直线解析式为y=﹣2x+4， 当D（1，2），F（4，0）时，， 解得． 此时，直线解析式为y=﹣x+， 综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+． 2.如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，y1＞0； （3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围． 【解析】解：（1）∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4）， ∴， 解得． ∴一次函数的表达式为y1=x+2． ∵反比例函数的图象经过点D（2，4）， ∴． ∴k2=8． ∴反比例函数的表达式为． （2）由y1＞0，得x+2＞0． ∴x＞﹣2． ∴当x＞﹣2时，y1＞0． （3）x＜﹣4或0＜x＜2． 3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）表示（如图所示）． （1）求k的值． （2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示） 【解析】解：（1）当x=1.5时，y=﹣200x2+400x=﹣200×2.25+400×1.5=150， ∴k=1.5×150=225； （2）当y=72时，x=3.125小时=175.5分钟， 所以175.5分钟内其酒精含量不低于72毫克/百毫升． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 反比例函数的综合运用 知识点1反比例函数实际应用 1.分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。 2.函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 3.概括整合 （1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。 （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。 【典例】 1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这一函数的解析式； （2）当气体体积为1m3时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3） 2.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2017年1月1日投放市场，前3个月只在本地销售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售． （1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y=，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入） （2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？ （3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的3个月），请从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？ 【方法总结】 应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。 （1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位； （2）注意自变量的取值范围。 【随堂练习】 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 2．某农户共摘收草莓1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间成反比例关系，已知第1天以20元/千克的价格销售了45千克．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元/千克，但销售量却是第二天的2倍，求第二天的销售价格； （3）试销6天共销售草莓420千克，该农户决定将草莓的售价定为15元/千克，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 3．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y=100x刻面；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数y=（x＞0）刻画（如图）． （1）求k的值； （2）当y≥75时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？ （3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路，假设某驾驶员晚上20：00喝完半斤白酒，第二天早上7：00能否驾车？请说明理由． 知识点2反比例函数与一次函数 1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式． 2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C （1）求k的值及C点坐标； （2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积． 【方法总结】 一次函数，反比例两函数比大小： 此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个x1 ,x2且x1＜0＜x2 那么把这个图像分为了4份，分别为Ⅰ:x＜x1，Ⅱ:x1 ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜x2，Ⅳ:X＞x2，树形结合，自变量相同，谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把图像分为了4部分） 【随堂练习】 1．如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=（k＜0），y=（m＞0）分别相交于点A，B，C，D，已知点A的坐标为（﹣1，4），且AB：CD=5：2，则m=___． 知识点3反比例函数与几何综合应用 反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为　　． 2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为　 　． 3.如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。 （1）求k的值与B点的坐标； （2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标． 4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4． （1）当m=4，n=20时． ①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式． ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． （2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 【方法总结】 反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键． 求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。 【随堂练习】 1．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积为． 综合运用: 反比例函数的综合运用 1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】 （1）求反比例函数的解析式和点D的坐标； （2）求三角形DOE的面积； （3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式． 2.如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，y1＞0； （3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围． 3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）表示（如图所示）． （1）求k的值． （2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $