精品解析：北京市北京中学2024-2025学年高一上学期数学期中考前练习试题

数学期中考前练习 2024.10 班级______________ 姓名______________ 学号_______________ 一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 已知全集U=R，集合，那么 A. () B. () C. （-1，1) D. 【答案】D 【解析】 【详解】考点：补集及其运算． 分析：先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可． 解：由集合P中的不等式x2≤1，解得-1≤x≤1， 所以集合P=[-1，1]，由全集U=R， 得到CUP=（-∞，1）∪（1，+∞）． 故选D 2. 设函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 3. 二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故选：A 4. 若不等式的解集为，则的值是（ ） A. B. C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 5. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得或，即或， 则“”是“”成立的必要而不充分条件. 故选：B 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时，即时取等号，故充分性成立； 当时，也成立，不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 采用举例的方法判断A；根据的情况判断B；根据不等式的性质判断CD，由此确定出真命题. 【详解】A．取，此时，，故为假命题； B．当时，，故为假命题； C．因为，所以，所以，故为假命题； D．因为，所以，又因为，所以，故为真命题， 故选：D. 8. 已知函数，，在同一平面直角坐标系里，函数与的图像在轴右侧有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 函数与的图像在轴右侧有两个交点等价于在上有两个不同的实数解，令，可判断在上为减函数，在上为增函数，利用零点存在定理可得实数的取值范围. 【详解】令. 设，则， 因为，故，， 故即， 所以当时，为减函数，同理可证：当时，为增函数. 由，可得： 当时，为增函数；当时，为增函数. 故在上为减函数，在上为增函数. 因为函数与的图像在轴右侧有两个交点， 所以在上有两个不同的实数解，所以即，故. 又当时，， 设较大的解为， 当时，，故， 又当时， ， 故， 由零点存在定理可知，在，上各有一个零点. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，注意函数零点的个数判断需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，后者需要在一个单调区间内找两个函数值异号的点，如果找点比较麻烦，可以利用常见函数的性质放缩后再判断函数值的符号，本题属于难题. 9. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论，利用函数与方程的思想，结合函数性质及图象求解即可. 【详解】若，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点，所以没有一个零点，不合题意； 若，，画出函数的图象如下图所示： 由图知当时，函数恰有一个零点0，满足题意； 若，当时，由得，此时函数恰有一个零点， 要使函数恰有一个零点，则当时，函数无零点， 即方程无解，又当时，，所以，即， 记，则函数单调递增，且， 所以，所以； 综上，的取值范围是. 故选：D 10. 记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的单调性得，解一元二次不等式求的范围. 【详解】因为，所以，即， 所以，解得或，故所求范围是. 故答案为： 13. 已知，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以． 考点：函数奇偶性应用． 14. 函数的单调递减区间是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】复合函数求单调区间，先求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间．再把被开方式看做二次函数，对称轴左侧为减函数，求出减区间． 【详解】令，得，，或 函数的定义域为， 单调递减区间是， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 15. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 ①. 130. ②. 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 三、解答题（共6小题；共75分） 16. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）根据不等式解集为，利用判别式法求解. 【小问1详解】 解：时，原不等式为， 整理，得， 对于方程， 因为， 所以它有两个不等的实数根， 解得， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 原不等式可化为， 因为不等式解集为， 所以方程无实数根， 所以， 所以的范围是. 17. 已知函数，集合. （1）求函数的定义域； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由根式、分式的性质求函数的定义域； （2）由题设，结合已知列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，可得或，故定义域. 【小问2详解】 由，即，而， 当时，，满足题设， 当时，或，可得， 综上，. 18. 计算: （1） （2）已知，求的值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【小问1详解】 由 ； 【小问2详解】 由，则. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数： （3）解关于x的不等式 【答案】（1） （2） 由（1）知 令，则 ∵ ∴ ∴ 而 ∴，即 ∴在上是增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质可得，结合可确定函数解析式； （2）增函数定义结合题意可完成证明； （3）由奇函数性质可得，然后由函数单调性可得答案. 【小问1详解】 ∵函数是定义在上的奇函数 ∴，即，∴ 又∵，即，∴ ∴函数的解析式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵在上是奇函数 ∴等价于，即 又由（2）知在上是增函数 ∴，即 ∴不等式的解集为 20. 已知函数， （1）画出函数的示意图； （2）若函数，求使不等式成立的的取值范围； （3）讨论函数（）的零点的个数. 【答案】（1） （2）； （3） 当时，的零点个数为0， 当时，的零点个数为1， 当或时，的零点个数为2， 当或2时，的零点个数为3， 当时，的零点个数为4. 【解析】 【分析】（1）由指数函数、二次函数的性质的分析的性质，画出其大致图象； （2）应用分类讨论，结合分段函数的性质解不等式求参数范围； （3）数形结合，分类讨论研究的零点个数. 【小问1详解】 由在上单调递减，值域为， 由在上单调递减，在上单调递增， 在上值域为，在上值域为，且时， 所以在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 综上，的大致图象如下： 【小问2详解】 由，则， 所以或， 所以不等式成立的的取值范围为； 【小问3详解】 令， 结合（1）函数图象及（2）结论， 当时，的零点个数为0， 当时，的零点个数为1， 当或时，的零点个数为2， 当或2时，的零点个数为3， 当时，的零点个数为4. 21. 若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. （1）分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； （2）若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 【答案】（1）因为在上是单调递增的函数，在上是单调递减的函数， 则在上是单调递增的函数，可得， 任意，当时，， 所以函数在区间上不具有性质. 因为在区间上单调递减， 由可得，则，所以， 所以，对，， 即函数在区间上具有性质，且的取值范围是. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合调性与最值分析判断； （2）令，由题意可得对，都有.方法1：利用参变分类结合恒成立问题分析求解；方法2：先取特值，求得，进而根据二次函数分析求解；方法3：分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在上具有性质， 即对，都有， 且， 令， 可得对，都有， 方法1：，都有， 设，，可得，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递增. 则，.可得， 所以的取值范围为. 方法2：对，都有， 可得，解得， 若，函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为. 方法3：函数的对称轴为， 以对称轴与区间的关系分，，三种情况. （i）当时，，解得； （ⅱ）当时，，不合题意，舍去； （ⅲ）当时，，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学期中考前练习 2024.10 班级______________ 姓名______________ 学号_______________ 一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 已知全集U=R，集合，那么 A. () B. () C. （-1，1) D. 2. 设函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 3. 二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式的解集为，则的值是（ ） A. B. C. 10 D. 14 5. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知函数，，在同一平面直角坐标系里，函数与的图像在轴右侧有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 12. 若，则实数的取值范围是______. 13. 已知，若，则_________． 14. 函数的单调递减区间是__________． 15. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 三、解答题（共6小题；共75分） 16. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的范围. 17. 已知函数，集合. （1）求函数的定义域； （2）若，求实数的取值范围. 18. 计算: （1） （2）已知，求的值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数： （3）解关于x的不等式 20. 已知函数， （1）画出函数的示意图； （2）若函数，求使不等式成立的的取值范围； （3）讨论函数（）的零点的个数. 21. 若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. （1）分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； （2）若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $