精品解析：山东省菏泽市单县第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高二上学期第一次段考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点，，则直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而可求得该直线的倾斜角. 【详解】由题意得直线的斜率. 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 2. 已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　) A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ,所以点M在圆上，选B. 3. 已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系． 【详解】因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题． 4. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D． 考点：1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系. 5. 圆上存在两点关于直线对称，则实数的值为（ ） A. 6 B. －4 C. 8 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，由此可求出的值. 【详解】圆上存在两点关于直线对称， 直线过圆心， 从而，即. 故选A. 【点睛】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答. 6. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)， 圆半径|AM|=， 圆心M (−1,0)到直线x+y−1=0的距离： |， ∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长： . 故选B. 点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大． 2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系. 7. 若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　) A. －5 B. 5－ C. 30－10 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】由x2＋y2－2x＋4y－20＝0得，设圆心，则x2＋y2的最小值是,选C. 点睛：与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 8. 过点的直线与圆C：交于A，B两点，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆的内部，要使过点的直线交圆后所得的圆心角最小，则直线交圆所得的劣弧最短，也就是弦长最短，此时直线与过圆心及点的连线垂直，根据斜率之积等于求出直线的斜率，由点斜式可得所求的直线方程． 【详解】如图，把点代入圆的方程左边得：， 所以点在圆的内部，要使过的直线交圆后得到的最小， 也就是过的直线交圆，所截得的弦长最短， 即当时弦长最短，最小，设此时直线的斜率为， ， 由，得：，所以，． 的方程为：，即． 故选：C. 【点睛】本题考查圆的标准方程、直线和圆的位置关系，求解时注意过内一点作直线与交于、两点，则弦的长最短弦对的劣弧最短弦对的圆心角最小圆心到直线的距离最大弦的中点为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为4 B. 点（2，-2）在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的倾斜角为 【答案】AD 【解析】 【分析】求轴截距时，令，代入直线方程得 ，故截距为4， 将点 代入方程，得，不满足方程，直线斜率为-1，方向向量应满足，不满足， 斜率，结合倾斜角范围，得， 【详解】令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故A正确； 因为，所以点不在直线上，故B错误； 若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故错误； 由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故D正确， 故选：AD. 10. 已知方程，下列叙述正确的是（ ） A. 方程表示的是圆 B. 当时，方程表示过原点的圆 C. 方程表示的圆关于直线对称 D. 方程表示的圆的圆心在x轴上 【答案】BCD 【解析】 【分析】配方得，进而得时表示圆，且圆心为，再依次分析各选项即可. 【详解】解：方程，配方得， 若方程表示一个圆，则，从而，故A错，B正确； 方程表示圆时，圆心为，在直线上，故C，D正确． 故选：BCD 11. 已知圆，点是圆内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么（ ） A. B. C. 或重合 D. 与相交 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率的关系可确定两直线位置关系,利用点在圆内可确定两直线不重合. 【详解】由点是圆内一点可得, 因为过点P的圆的最短弦所在的直线为,所以有 因为,所以的斜率 故直线的方程为,即 又直线的方程为,所以的斜率, 所以且 故 故选: . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且与轴相切，则圆的标准方程可以为____________．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】利用标准方程确定圆心和半径即可 【详解】设圆的标准方程为， 因圆的圆心在轴上，且与轴相切，则， 则圆的方程为，故任取实数即可，现取， 故答案为：(答案不唯一). 13. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得. 考点：直线与圆的位置关系，解三角形． 【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径. 14. 过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可. 【详解】解：将代入圆方程左边得， 左边=右边，即在圆上， 直线的斜率为， 切线的斜率为，即直线的方程为， 整理得， 直线与直线平行，，即， 直线方程为，即， 直线与的距离为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于，两点，，求的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的标准方程； （2）根据直线与圆相交，结合弦长计算参数的值； 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 由题意可得解得 所以圆心，半径为，故圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆的半径，由弦长公式可得 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 16. 已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直接法求解动点的轨迹方程； （2）根据直线与圆相交，结合弦长公式计算弦长； 【小问1详解】 由题意得点，，设点， 则，平方得， 化简得. 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 依题意，点，故直线，即. 联立化简得. 设点，，则，，所以， 故. 17. 已知圆的方程. （1）若点在圆的内部，求的取值范围； （2）时，设为圆上的一个动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程可得,再根据点在圆的内部，可得，由此求得的范围， （2）表示圆上的点到点的距离的平方，继而可得，求出最小值. 【小问1详解】 解：圆的方程即， 所以， 再根据点在圆的内部，可得， 求得. 【小问2详解】 当时，圆的方程即， 而表示圆上的点到点的距离的平方， 由于， 故的最小值为. 18. 已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求： （1）动点的轨迹方程； （2）过圆的圆心作动点的轨迹的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，又，代入即可求解； （2）当斜率不存在时显然不符合题意，当斜率存在时可设切线，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可求解 【小问1详解】 设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得， 即， 所以动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 因为圆的圆心为， 当斜率不存在时，过点的直线为与圆不相切； 当斜率存在时，设所求切线方程为即， 则题意可知， 解得， 所以所求切线方程为： 综上可知：过圆的圆心作动点的轨迹的切线方程为 19. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点． （1）求圆和圆的方程； （2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【详解】（1）由于与的两边均相切，故到及的距离均为的半径， 则在的平分线上，同理，也在的平分线上， 即三点共线，且为的平分线， ∵的坐标为，∴到轴的距离为1，即的半径为1， 则的方程为， 设的半径为，其与轴的切点为，连接、， 由可知，， 即． 则，则圆的方程为； （2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度， 此弦的方程是，即：， 圆心到该直线的距离，则弦长=． 考点：直线和圆的方程的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期第一次段考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点，，则直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 150° 2. 已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　) A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断 3. 已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 4. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为 A. B. C. D. 5. 圆上存在两点关于直线对称，则实数的值为（ ） A. 6 B. －4 C. 8 D. 无法确定 6. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 7. 若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　) A. －5 B. 5－ C. 30－10 D. 无法确定 8. 过点的直线与圆C：交于A，B两点，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为4 B. 点（2，-2）在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的倾斜角为 10. 已知方程，下列叙述正确的是（ ） A. 方程表示的是圆 B. 当时，方程表示过原点的圆 C. 方程表示的圆关于直线对称 D. 方程表示的圆的圆心在x轴上 11. 已知圆，点是圆内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么（ ） A. B. C. 或重合 D. 与相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且与轴相切，则圆的标准方程可以为____________．（写出满足条件的一个答案即可） 13. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________． 14. 过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于，两点，，求的值. 16. 已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 17. 已知圆的方程. （1）若点在圆的内部，求的取值范围； （2）时，设为圆上的一个动点，求的最小值. 18. 已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求： （1）动点的轨迹方程； （2）过圆的圆心作动点的轨迹的切线方程. 19. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点． （1）求圆和圆的方程； （2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $