精品解析：广东广州市海珠区2027届高三上学期综合练习(一) 数学试卷

广东广州市海珠区2027届高三上学期综合练习（一） 数学 本练习共19小题，满分150分.作答用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，学生务必将自己的学校、姓名、学生号、教室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将学生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在本练习上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.学生必须保持答题卡的整洁.作答结束后，将练习和答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为.在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列，其前项和为，，给定正整数，设函数，表示的导函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点； B. 在处的切线为； C. 当时，； D. 的对称中心为. 10. 在正方体中，，，分别是，的中点，下列说法正确的是（） A. 直线平面 B. 直线与所成角的正弦值为 C. 过、、三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 过、、、四点的球的表面积为 11. 数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系.现有直线系，下列说法正确的是（ ） A. 中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点不在中的任一条直线上 C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数.已知，，且的最小值为，则_________. 13. 某校高二学生参加学农实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共6个项目，分别为劈柴、施肥、蔬菜移栽、野炊、扎染、消防演习，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“施肥”项目的概率为_________；已知乙同学参加的3个项目中有“野炊”，则他还参加“扎染”项目的概率为_________. 14. 已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别是，，.已知，，成等差数列，且. （1）求； （2）若，过点作，且，求. 16. 在五面体中，四边形为等腰梯形，，，，. （1）求证：、、三线交于一点； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若比赛采用“局胜”制，，，比赛结束乙获胜，记比赛的总局数为，求； （2）若选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲获胜的概率为. 方案二：若甲乙赛满5局，甲至少赢3局比赛的概率为. 比较和的大小，并说明理由； （3）记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为.记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为.证明：. 18. 已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 19. 已知函数的定义域为，当时，.对任意，对定义域的非空子集（其中），定义集合. （1）若的定义域，且，求实数的取值范围； （2）若的定义域，当，时，求； （3）设的定义域，满足：①若，则；②当时，. （i）证明：； （ii）若时，，证明：在区间单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市海珠区2027届高三上学期综合练习（一） 数学 本练习共19小题，满分150分.作答用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，学生务必将自己的学校、姓名、学生号、教室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将学生号和座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在本练习上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.学生必须保持答题卡的整洁.作答结束后，将练习和答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以或． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和、差的余弦公式联立方程组，解出与，再由正切定义作比值消去参数求得结果． 【详解】由，得①， 由，得②， 由①②得，， 所以． 4. 在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示：因为，所以， 则. 5. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 6. 由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为.在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可求得样本中心点为，又根据除去两组样本数据后的样本中心点，可求得经验回归直线方程，进而代入数据可求得的估计值，据此可计算残差. 【详解】因为经验回归方程为，且， 所以，故这组数据的样本中心点为， 去掉，，由于， 所以剩余组数据的样本中心点仍为， 因为新样本经验回归方程为， 所以代入，求得， 所以经验回归直线的方程为：， 将代入经验回归方程，求得的估计值为， 所以样本的残差为. 7. 已知数列，其前项和为，，给定正整数，设函数，表示的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的递推关系求出数列的通项，求导得到的表达式，利用错位相减法求解. 【详解】由，当时，，即，得， 当时，，两式相减得， 所以，即， 综上，数列是以1为首项，以4为公比的等比数列，故； 又， 所以， 所以， 两式相减得， 所以. 8. 已知函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用同构法求解含参函数最值的导数问题，首先通过指数恒等式对原函数进行同构变形，引入换元，将复杂的指对混合函数转化为单一变量函数；接着分析的单调性，得出其最大值为0且仅在处取得，由此将“的最大值为0”等价转化为存在正实数使得，即方程有正解；然后构造函数，通过求导分析其单调性与最小值，结合两端极限确定函数的值域；最后根据方程有解等价于参数属于函数值域，得到的取值范围，进而求出的最小值. 【详解】函数定义域为， 因为， 所以函数改写为： 令，则. 对求导：. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此在处取得最大值，即恒成立， 当且仅当时取到最大值. 题目要求的最大值为，等价于存在使得，即方程有正实数解. 令， 求导： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在处取得极小值（最小值）： 当时， 当时， 因此的值域为. 所以方程有解等价于， 故的最小值为. 【点睛】核心技巧：面对这类指对混合结构，利用统一为指数形式，凑出相同的整体变量换元，是简化复杂函数的关键手段，能大幅降低分析难度. 最值转化逻辑：复合函数能取到外层函数的最大值，本质是内层函数的值域必须包含外层函数取最值时的自变量值，由此将函数最值问题转化为方程有解问题，是本题的核心转化思想. 通用方法：分离参数法是处理方程有解、恒成立求参问题的常用方法，将参数范围问题转化为求函数值域问题，思路清晰直接. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点； B. 在处的切线为； C. 当时，； D. 的对称中心为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，由导数判断函数的极值点可判断A选项；由导数的几何意义可得切线方程，进而可判断选项B；再由导数判断函数的单调性进而判断选项C，对D选项根据中心对称的定义判断可得. 【详解】由函数，函数的定义域为，， 选项A： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，是的极大值点，故A正确； 选项B：因为，， 由导数的几何意义，切点为，切线的斜率， 得切线方程为，即，并非，B错误； 选项C： 当时，，即. 结合A的分析知，在上单调递减，且，所以，C正确； 选项D： 因为，， 所以，因此函数关于点对称，D正确. 10. 在正方体中，，，分别是，的中点，下列说法正确的是（） A. 直线平面 B. 直线与所成角的正弦值为 C. 过、、三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 过、、、四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再计算直线的方向向量与法向量的点积，点积为0说明二者垂直；结合不在平面内，即可证得线面平行. 选项B：遵循异面直线所成角的向量计算公式，先获取两直线的方向向量，用向量点积公式求出夹角的余弦值（取绝对值），再通过同角三角函数的平方关系，计算得到所成角的正弦值. 选项C：延展平面，找到其与棱的交点，确定截面为四边形；分别计算四条边的长度并求和，与选项给出的周长对比，可判断该选项错误. 选项D：利用外接球球心的性质——到各点距离相等求解，先由对称点、和、分别确定球心所在的两个中垂面，缩小球心坐标的未知量；再根据球心到、距离相等列方程，解出球心坐标，计算半径平方后代入球的表面积公式即可验证. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则， 是AD中点，故；是中点，故. 选项A：平面的向量：，， 设平面的法向量，则， ，令，则，所以， ，，故. 又因为不在平面内，因此平面，A正确. 选项B：由坐标得，. 异面直线所成角满足：， 因此，B选项正确. 选项C：在底面内，延长直线，交的延长线于点. 由是中点，且，可得，相似比为. 因此，结合正方体棱长， 可算出，即在延长线上，且. 在侧面内，连接，交于点，则就是平面与棱的交点. 由，可得，相似比为. 已知是中点，，因此，得. 所以平面与交于. 截面为四边形，，，，， 周长为，C错误. 选项D：过的球的球心在中垂面上，且在DE中垂面上， 设球心. 由到和距离相等：解得， 半径平方. 表面积，D正确. 11. 数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系.现有直线系，下列说法正确的是（ ） A. 中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点不在中的任一条直线上 C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式得点到的距离，因此直线系就是圆的所有切线的集合.对A先取的两个不同值，得交点，再验证交点是否在的切线上可得；对B取定点判断可得；对C通过圆的切线围成的正三角形分成两类，再分别计算它们的面积可得；对D由圆的外切正多边形的性质可得. 【详解】将直线化为， 则点到直线的距离， 所以直线系方程的几何意义是：所有直线到定点的距离恒为， 因此直线系就是圆的所有切线的集合. 选项A：对直线系：， 取：得，即； 取：得，即，两直线的交点为. 再取，得，即，而点不在直线上， 因此所有切线不可能共定点，因此A错误； 选项B：取定点（圆心），它到中任意直线的距离都是， 因此不可能在任何一条的直线上，因此B正确； 选项C： 中的直线可围成两类正三角形： 一类是圆的外切正三角形：如，边长为，面积为； 另一类是三条切线分布在圆的同侧、围成的更小的正三角形，如，它的边长为，面积为，因此C错误； 选项D： 对任意，因为圆都存在外切正边形，正边形的每条边都是该圆的切线，也就是都属于直线系，因此D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数.已知，，且的最小值为，则_________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为，，且的最小值为， 所以，得， 则，结合， 解得. 13. 某校高二学生参加学农实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共6个项目，分别为劈柴、施肥、蔬菜移栽、野炊、扎染、消防演习，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“施肥”项目的概率为_________；已知乙同学参加的3个项目中有“野炊”，则他还参加“扎染”项目的概率为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】每人参加其中3个项目，甲同学参加“施肥”项目，再从剩下的5个项目选2个，所以甲同学参加“施肥”项目的概率为； 设事件为乙同学参加的3个项目中有“野炊”，事件为乙同学参加的3个项目中有“扎染”，所以，， 则已知乙同学参加的3个项目中有“野炊”，则他还参加“扎染”项目的概率为. 14. 已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 【答案】3 【解析】 【分析】由求得，进而求得的表达式，利用数列单调性定义判断的单调性，进而得解. 【详解】由，得当时，， 两式相除得， 当时，，符合上式，故， 又，所以， 所以， 令， 令，得， 因为，所以，故， 则，所以当时，，即； 当时，， 所以，即当时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别是，，.已知，，成等差数列，且. （1）求； （2）若，过点作，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列条件和正弦定理转化三边比例，再代入余弦定理直接求出cos A； （2）由平行线得到等角，在中用两角和正弦公式求出，再用正弦定理求CD. 【小问1详解】 ，，成等差数列， ，由正弦定理得，所以，， 所以由余弦定理得； 【小问2详解】 由（1）得， ，， ，， 在中，， ，由正弦定理得，， 16. 在五面体中，四边形为等腰梯形，，，，. （1）求证：、、三线交于一点； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为四边形为等腰梯形，，所以延长，交于一点 设， ，平面 平面 同理可得平面 又平面平面 、、三线交于一点 （2） 【解析】 【分析】（1）先证两腰延长交于一点，再证明该点落在两个侧面的交线上，完成三线共点证明； （2）解法一：先推导出两两垂直，建立空间直角坐标系，用直线方向向量与平面法向量夹角求线面角正弦值； 解法二：先证明两两垂直，利用相似得到线段长度，取中点M，证平面，则就是线面角，在直角三角形中直接求正弦； 解法三：先利用线面垂直得到两两垂直关系，借助棱锥体积比例求出到平面的距离，再由线面角定义算出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由，，，且，平面， ，又面，，即， 同理可得，，，，两两垂直，又是等腰梯形， 是等腰三角形，，， ，，， ，， 又，，， ， 以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，， 取，可得，， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面的夹角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：由，，，，平面， 平面，又面，，故， 同理可得，，，两两垂直， 是等腰梯形，是等腰三角形，，， ，，， ，， 又，，，， 与是等腰直角三角形， 作的中点，连接交于， 连接，则为的中点， ，，， ， ，在中可得，又因为， ，， ， ，且， ，平面， 平面， 直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角的正弦值为. 解法三：由，，，且，面， ，又面，， 同理可得，，，两两垂直， 是等腰梯形，是等腰三角形，，， ，，， ，， 又，，， ， 与是等腰直角三角形， 又，，， ， 又， ， 所以， 又因为， 设到平面的距离为， ，所以， 设直线与平面的夹角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若比赛采用“局胜”制，，，比赛结束乙获胜，记比赛的总局数为，求； （2）若选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲获胜的概率为. 方案二：若甲乙赛满5局，甲至少赢3局比赛的概率为. 比较和的大小，并说明理由； （3）记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为.记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为.证明：. 【答案】（1） （2）由题意，若采用方案一“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜， 则； 若采用方案二甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利， 设甲赢的局数为，那么服从二项分布，即， 则， 所以 （3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则， “局胜”制比赛中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为： 若第2局甲输，则后续最多局比赛，甲至少胜局， 若第2局甲胜，则后续最多局比赛，甲至少胜局， 由全概率公式得 ， 【解析】 【分析】（1）5 局 3 胜，表示第4局乙获胜、前3局乙赢2局； （2）结合二项分布的概率公式求解，再比较大小； （3）条件概率结合全概率公式，把 “首局甲输” 的剩余比赛拆成两种情况，再用二项分布概率化简得到等式. 【小问1详解】 由题意，，，即采用5局3胜制， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）解法一：当直线与轴不重合时， 设直线的方程为，， 由得， 恒成立， ，， 所以， ， ， 当直线与轴重合时，显然，所以， 综上所述． 解法二：当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 由得， 恒成立， ，， 所以， ， ， 当直线与轴垂直时，显然，所以， 综上所述． （ii） 【解析】 【分析】（1）由焦点得到，由短轴长得到，利用椭圆的性质得到，进而求出椭圆方程； （2）（i）方法一：设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理代入计算得出；方法二：分直线斜率存在和不存在两种情况，联立椭圆方程，利用韦达定理代入计算得出；（ii）方法一：由弦长公式求出，由垂直关系结合求出点，进而得出，由面积公式整理得出关于的函数，通过换元法求出面积最小值；方法二：分直线斜率存在和不存在两种情况求出，进而求出有最小值，利用面积公式求出面积最小值． 【小问1详解】 由题意得，，所以 则椭圆的标准方程是． 【小问2详解】 （i）略 （ii）解法一： ， 直线，则， ， ， 令，则， 则， 在单调递增且， 在单调递增， 当，即时有最小值； 解法二：当直线的斜率存在时， ， 令，则因此， 令则于是， 函数，显然单调递增，所以， 当直线的斜率不存在时，可得，，此时， 综上所述，当直线的斜率不存在时有最小值， 又因为当直线的斜率不存在时与重合有最小值， 此时， 所以的最小值为． 19. 已知函数的定义域为，当时，.对任意，对定义域的非空子集（其中），定义集合. （1）若的定义域，且，求实数的取值范围； （2）若的定义域，当，时，求； （3）设的定义域，满足：①若，则；②当时，. （i）证明：； （ii）若时，，证明：在区间单调递增. 【答案】（1） （2） （3）（i）反证法： 假设，则存在，使得， 条件①：若，则． ，则， 取，则，此时， ，即， 又，和条件相矛盾， （ii）将本小问的结论分解为两个子命题，通过逐一论证最终实现证明 ①第1步证明：当时，， 反证法：假设，使得，，使得， ，， ，所以， ，， 即，和矛盾， 当时，， ②第2步证明： ，， 且， 即， 在上单调递增． 【解析】 【分析】(1)利用在上单调递增的性质，结合定义域对自变量的限制，列不等式组求解m的取值范围； (2)先根据和确定区间B，再利用指数函数单调性将转化为e的恒成立不等式，求e的范围即得集合； (3)(i) 采用反证法，假设，借助时的单调性找到满足的负数值t，结合条件①的集合包含关系推出与条件②的矛盾，从而证明； (ii) 分两步完成：第一步用反证法结合条件①推出时；第二步任取，利用时函数值为正的性质，结合条件①的包含关系推导得，从而证明单调性. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又，，，； 【小问2详解】 函数的定义域为，，， 在中， ， ，即， ； 【小问3详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $