精品解析：新疆石河子市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

新疆维吾尔自治区2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题 一、单选题 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 8. 已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题 9. 直线和圆在同一坐标系中的图形不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 4与9的等比中项为 C. 在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D. 等比数列是递增数列，则的公比 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，．若在第一象限，且在的右支上，，到轴的距离为，过作动直线与的左支交于，两点，则（ ） A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线与的交点在直线上 D. 的内切圆的圆心坐标为 三、填空题 12. 已知圆，斜率为且与圆相切的一条直线方程为__________. 13. 已知实数2，m，8成等比数列且公比，则圆锥曲线的离心率为______． 14. 已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则______． 四、解答题 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 16. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 17. 鑫隆中学公认的乒乓球高手小宁、小单、小黄要进行巅峰对决，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ①小单、小黄两位选手进行本场比赛，败者落入败者组； ②小宁与第①场比赛的胜者比赛，败者落入败者组； ③败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 已知三位选手实力不分伯仲： （1）求小黄在第一场比赛中获胜的概率； （2）求小单在败者组比赛中被淘汰的概率； （3）求小宁最终获胜（即获得第一名）的概率. 18. 如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. （1）证明：； （2）当E为的中点时，求点E到平面的距离； （3）当二面角的大小为时，求的值. 19. 已知曲线是一个双曲线：（第（1）问直接写出不需要证明.第（2）和（3）要有步骤过程） （1）写出该双曲线的对称轴方程. （2）求出双曲线C的离心率和焦点坐标. （3）求出与曲线C有相同焦点，且离心率是的椭圆方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题 一、单选题 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜截式的知识确定正确答案. 【详解】直线在轴上的截距为. 故选：A 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程变成标准形式后即得. 【详解】抛物线即，，所以焦点坐标为. 故选：A. 3. 如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 4. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【详解】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 6. 已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，得，再利用不等式即可求得结果. 【详解】因为平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 8. 已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出点的轨迹方程，确定点的轨迹是圆，再结合椭圆的性质，求出圆心到椭圆上的点的最大距离，即可得到的最大值. 【详解】设点，由题意可知. 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 设椭圆上动点，则有，即. 点到圆心的距离 . 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以. 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为. 故选：C 二、多选题 9. 直线和圆在同一坐标系中的图形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】联立直线和圆的方程，得到它们只有唯一的交点，从图中判断交点个数即可. 【详解】联立直线和圆的方程，两式相减得到，即 ，于是直线和圆只可能有一个交点，结合四个选项，只有D正确，于是不正确的为ABC. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 4与9的等比中项为 C. 在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D. 等比数列是递增数列，则的公比 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项利用等比中项定义求解；C选项由等比数列的性质可知，即可求解；D选项举反例可判断. 【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为， 则，所以是公差为的等差数列， 又，所以是公比为的等比数列， 所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确； 对于B选项，4与9的等比中项为，故B正确； 对于C选项，由等比数列的性质可知，且， 所以，的可能值为，或，或，或，或，， 则，或，或，故C正确； 对于D选项，当，时，数列是递增数列，故D错误. 故选：ABC 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，．若在第一象限，且在的右支上，，到轴的距离为，过作动直线与的左支交于，两点，则（ ） A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线与的交点在直线上 D. 的内切圆的圆心坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】由到轴的距离为，将的坐标代入的方程，因为，所以，求解即可判断A；求出双曲线的渐近线即可得出夹角即可判断B；将直线特殊化，设，，再联立两条直线求解即可，即可判断C；由已知及双曲线的定义得，内切圆的圆心在直线，由求解，即可判断D. 【详解】不妨设在第一象限，由到轴的距离为，设， 将的坐标代入的方程得，所以，因为，所以， 所以，解得，所以A正确； 所以C的渐近线方程为，倾斜角分别为，，所以B错误； 将直线特殊化：设的方程为，不妨设， 所以的方程为，的方程为， 联立解得，的交点坐标为，不在直线上，所以C错误； 由已知及双曲线的定义得，内切圆的圆心在直线，即上， 又，，， 设内切圆的半径为，则，解得， 所以的内切圆的圆心坐标为，所以D正确． 故选：AD． 三、填空题 12. 已知圆，斜率为且与圆相切的一条直线方程为__________. 【答案】（答案不唯一，） 【解析】 【分析】设出切线方程，利用点到直线距离公式求出参数即可. 【详解】圆的圆心，半径， 设切线方程为，即， 则，解得或， 所以所求切线方程为或. 故答案为：（或） 13. 已知实数2，m，8成等比数列且公比，则圆锥曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项求出，再利用双曲线的离心率公式求解. 【详解】由实数2，m，8成等比数列，得，而该数列公比，解得， 圆锥曲线，即为双曲线，其离心率. 故答案为： 14. 已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】方法1：设动点，求出直线与的方程，得到点的坐标，结合在双曲线上，即可计算得的值； 方法2：设，，．由，得到，结合在双曲线上，求得，即可求得的值. 【详解】解法1：设动点，由双曲线方程可得，， 则，， 所以直线，直线， 由此可得，， 所以． 因为动点在双曲线上， 所以，即， 则． 解法2：由双曲线方程可得，， 设，，． 由，，三点共线可得，即①， 由，，三点共线可得，即②． 将①②相乘可得③， 又④， 由③④可得， 所以． 四、解答题 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） 由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以． 所以 ； 【小问3详解】 由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 17. 鑫隆中学公认的乒乓球高手小宁、小单、小黄要进行巅峰对决，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ①小单、小黄两位选手进行本场比赛，败者落入败者组； ②小宁与第①场比赛的胜者比赛，败者落入败者组； ③败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 已知三位选手实力不分伯仲： （1）求小黄在第一场比赛中获胜的概率； （2）求小单在败者组比赛中被淘汰的概率； （3）求小宁最终获胜（即获得第一名）的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，即可求解； （2）设小单在一次比赛中获胜为事件，根据条件知所求概率为，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （3）设小宁在一次比赛中获胜为事件，根据条件知所求概率为，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由三位选手实力不分伯仲可知，小黄在第一场比赛中获胜的概率为. 【小问2详解】 设小单在一次比赛中获胜为事件，且， 小单在败者组比赛中被淘汰分为两种情况： ①第一场与小黄比赛输，第二场在败者组的比赛输，即； ②第一场与小黄比赛赢，第二场与小宁比赛输，第三场在败者组的比赛输，即； 综上所述，小单在败者组比赛中被淘汰的概率为. 【小问3详解】 设小宁在一次比赛中获胜为事件，且， 小宁最终获胜的情况可分为两种情况： ①小宁第一场比赛获胜，第二场比赛也获胜，即； ②小宁第一场比赛落败，第二场比赛获胜，第三场比赛也获胜，即. 综上所述，小宁最终获胜的概率为. 18. 如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. （1）证明：； （2）当E为的中点时，求点E到平面的距离； （3）当二面角的大小为时，求的值. 【答案】（1） 证明：在长方体中，有平面， 又平面，， 又，四边形为正方形， ，又平面， 平面，平面， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明异面直线垂直即可； （2）利用三棱锥等体积转换，根据即可以求得点到面的距离； （3）过作于，连、，则，则为二面角的平面角，即，设，则，利用解三角形及勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点到面的距离为，在中，，， 故，而， 又，，， ∴点E到面的距离为； 【小问3详解】 解：过作于，连、， 由平面，且，可得平面， 则，为二面角的平面角， 设，则，在中，， ，， 在中，， 在中，，在中， 在中， ，， 当二面角的大小为时，． 19. 已知曲线是一个双曲线：（第（1）问直接写出不需要证明.第（2）和（3）要有步骤过程） （1）写出该双曲线的对称轴方程. （2）求出双曲线C的离心率和焦点坐标. （3）求出与曲线C有相同焦点，且离心率是的椭圆方程. 【答案】（1） （2）离心率,焦点， （3） 【解析】 【分析】（1）由渐近线的对称轴求解即可； （2）由渐近线夹角得出离心率，由对称轴与双曲线的交点得出实半轴长，得出半焦距，进而在对称轴上求焦点； （3）由离心率，半焦距得出半长轴长，设椭圆上一点，由椭圆的定义列式化简即可得椭圆方程. 【小问1详解】 由于曲线的渐近线为轴，轴，对称中心为原点， 则该双曲线的对称轴为渐近线的对称轴，即. 【小问2详解】 将曲线顺时针旋转，可得到标准双曲线：， 且的渐近线为， 则，，， 曲线与一条对称轴的交点为，， 则实半轴长，则半焦距， 设上一点，满足，则， 则焦点为，. 【小问3详解】 由于椭圆的离心率是，半焦距，则半长轴， 设椭圆上一点，则， 即， 化简得， 故椭圆方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $