三角函数中的数学思想应用策略 讲义-2026届高三二轮专题复习

三角函数中的数学思想应用策略讲义 思想是行动的指南,解数学问题离不开正确思想的引领.在三角函数试题中，蕴含着许多普遍的数学思想和方法，解题时若能有效转化和应用这些数学思想和方法，会对解决三角函数问题起到正确的导向作用，对提高解题质量起着“催化剂”的功效.熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力.下面结合经典实例透视三角函数中的数学思想,以供同学们参考和借鉴. 一、分类讨论思想 分类指的是依据研究对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类.分类讨论是数学解题的重要手段和策略，若能对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性. 例1.设，且恒成立，求实数的取值范围. 【解析】由于,设,又令.则问题等价于:当时,求使恒成立的实数的取值范围，即只需满足对成立.而函数图像的对称轴方程为，根据二次函数的图像与性质分类讨论有：(1)当时,由，得； (2)当时，由,得；(3)当时，由,得.综上所述，得实数的取值范围为. 【点评】本题是一道典型的三角函数恒成立问题，通过化为二次函数，在确定其抛物线图像开口方向与定义域的前提下,根据其图像与性质，按对称轴所在的位置进行分类讨论，讨论应遵循“不重复、不遗漏”的原则.在含有待求参数的函数问题解题中，当这些参数直接影响着函数图像的位置与形状时，也影响着函数的其它性质(如最值、零点、单调性、奇偶性、周期性等),此时需要对参数进行分类讨论. 【针对训练1】已知角为第一象限角，试确定角所在的象限. 解：因为角为第一象限角，即，则.①当时，为第一象限角；②当时，为第二象限角；③当时，为第三象限角；综合①②③知：角为第一或二或三象限角. 二、函数与方程思想 函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的.方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，通过构建方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题获解.函数思想与方程思想是密切相关的，它们可以相互转化、彼此借鉴，在处理问题时相辅相成，达到和谐统一；如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以借用函数图像、性质等加以解决. 例2.已知角,且,，求的值. 【解析】令函数，易知是区间上单调递增的奇函数.依题意有,,于是得，即.又因为，从而得，即,故. 【点评】本题通过构造函数，巧妙地将方程问题转化为函数关系，进而确定的单调性和奇偶性，推导出是解题的关键，最后使问题轻松获解. 【针对训练2】已知,且,求的值. 解:由，两边平方得.又,从而知, ,且.于是可将看作一元二次方程的两个根,解得,.故得. 三、数形结合思想 数形结合思想是一种“由数辅形，以形助数”的思想方法,通过运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言揉合起来,使抽象思维和形象思维有机地结合在一起,有利于分析题中数量之间的关系,起到丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路的作用,能使问题迅速简洁地获解. 例3.求满足不等式在区间上的解集. 【解析】设函数,,并在同一直角坐标系中作出两函数在区间上的图像，如图所示.结合图形可得方程在上的解为或,则不等式在上的解为.因为两函数在上均为偶函数，由对称性得在上的解为.综上所述,得原不等式的解集为. 【点评】三角函数这一章有着丰富的数形结合的情境、载体和问题,许多题目由于采用数形结合的思维策略,能使一些看似复杂问题迎刃而解,且解法灵巧简捷,能极大地提高解题功效.本题在同一坐标系中作出两函数的图像是解题的基础,寻找满足不等式解的端点值是解题的关键,利用偶函数的对称性质是解题的技巧. 【针对训练3】已知方程在内恰有个解，求实数的取值范围. 解：令和;则原方程在内恰有个解，等价于两函数的图像在内恰有个交点.在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，结合图形分析知,当两函数图像有个交点时，可得.故实数的取值范围为. 四、化归与转化思想 化归与转化思想是中学数学最基本、最重要的思想方法，每一个数学问题的解决总离不开化归与转化，它堪称数学思想的精髓.解决数学问题的实质就是实现将陌生问题向熟悉问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等. 例4.已知定义域为的函数,既是奇函数又是单调递增函数；当时，有恒成立.求实数的取值范围. 【解析】由于既是奇函数又是单调递增函数，则原不等式化为 ,得,且.令,问题转化为对恒成立,设,则只需即可.(1)当时，由,解得；(2)当时,由,解得；(3)当时,由,解得.综上所述,得符合题意的实数的取值范围为. 【点评】本题是一道有关抽象函数的不等式问题,由于它是无法直接解出的,必须要根据函数的相关性质将其转化为初等代数不等式，进而化归为熟悉的含参数一元二次不等式恒成立问题来求解,接下来的操作就是驾轻就熟，水到渠成的事了. 【针对训练4】若，且关于的方程有解,求实数的取值范围. 解:原方程化为,令,则,从而问题可化归为先求出函数的值域,然后再求出的取值范围.因为,且,易求得的值域为,于是得,解得.故实数的取值范围为. 五、有界性思想 三角函数的有界性是指:,它是正余弦函数的一个重要性质,在求解相关数学问题时有着十分广泛的应用.正确运用三角函数的有界性,往往能帮助解题者明确解题方向,找到解题的突破口,使一些比较复杂的三角求解问题得以简化.但三角函数的有界性往往是隐含条件,需要解题者善于发现和灵活运用这一基本性质去处理关键环节,才能使问题巧妙而快捷地获得解决. 例5.已知,若,求与的值. 【解析】由,得.而,解得,又,从而得,则,即, .当时,得,则,即,. 【点评】一个等式中含有两个未知数,按常规运用解方程的方法是很难实施求解的.若注意到三角函数的有界性，从有界性入手，可使问题迎刃而解.本题运用有界性,巧妙得出是解题的突破口. 【针对训练5】求函数的值域. 解：由于对恒成立，知原函数的定义域为,并且，再由原函数式解出.因,化简得,从而解得；故原函数的值域为. 六、整体思想 整体思想就是指在研究问题时着眼从整体出发，对问题的整体结构、形式和特征进行综合分析、整体处理的一种数学思想方法.利用整体思维分析问题，往往可以找到最合理、最简捷、最有用的解题方法，使所求问题化难为易、化繁为简,能起到事半功倍之效. 例6.若函数,求的值域. 【解析】因设.又令，易证在上是递减的,可得,于是.则函数在上为增函数，从而得；故的值域为. 【点评】在解决本题这类试题时,利用整体思想把题中的某一部分(或全部)看成一个整体,找出整体与局部之间的有机联系，将陌生、复杂的问题变成熟悉、简单的问题来求解,最终突破难点找到解决问题的新途径. 【针对训练6】已知,求的值. 解:设,则,又；由此两式解得,.将两者代入中化简得，解得.故得. 学科网（北京）股份有限公司 $