几何考题中“特殊位置”法的巧妙应用策略讲义-2026届高三数学二轮专题复习

几何考题中“特殊位置”法的巧妙应用策略 在历年的选择题与填空题的各类考试中，经常会有涉及平面几何、立体几何与解析几何的题型；在这些题中，有一类几何题其元素之间的某一“特殊位置”符合已知条件所确定的范围，若能从这个“特殊位置”着手分析，摆脱“习惯性”的思维方式，根据需要抓住问题的本质属性和位置特征，问题便会简洁而巧妙地得到解决. 例1.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为的正方形，，，的距离为，则该多面体的体积为( ) A. B. C. D. 分析：这是一个楔几何体，不易直接求出其体积，但若考虑当时，再将其分割后或补形后并求出各部分体积，问题就会迎刃而解. 解法1(分割法) 如图1，当时，易证，因，故且；由条件易知点到的距离和点到边的距离均为，连接，则，而，；于是，故选D. 解法2(分割)如图1，当时，在AB上取，在CD上取；连接EM、EN、MN，则三棱柱为直三棱柱.易求得,,,故选D. 解法3(补形)当时，延长FE至G,使得，连接GA、GD,将原多面体补形成一个直三棱柱(如图2)，而,,则,故选D. 例2.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则等于( ) A. B. C. D. 分析：过抛物线焦点的弦显然有无数多条，但仅有一条弦垂直于抛物线的对称轴，此弦即为抛物线的通径，易证圆锥曲线的通径长为(表示圆锥曲线的离心率,表示焦点到相应准线的距离)，则抛物线的通径长为. 解：如图3，将抛物线化标准方程为，这里；当弦位于通径位置时，有，于是.故选C. 例3.如图4，已知两个半圆的直径共线，长度为的弦与直径平行，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积等于 . 分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，故可将小半圆移动至两个半圆同圆心的位置. 解：移动小半圆至两个半圆同圆心的位置(若图5).设切点为，连接由垂径定理知；又切小半圆于点，得，则有，故. 例4.在中，点是边的中点，过作直线与边所在直线分别交于点，若，，则 . 分析：如图6，由于是过点作任意直线与边所在直线分别交于点，故可考虑当直线重合时的情形. 解：考虑特殊位置：当直线重合时，即点重合，点重合时；则，，此时. (另解：因是边上的中线，则；又因三点共线，则有.由平面向量的基本定理得：,则，两式相加可解得.) 例5.设椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点，当为钝角时，则点横坐标的取值范围是 . 分析:如图7，当点在轴上时，不合题意；当点在轴上时，为钝角满足题意；因此可考虑时的情形. 解：由于点在轴上时，；点在轴上时，为钝角；可以证明当点在椭圆弧上从长轴端点移动到短轴端点时，在逐渐增大，即.下面可考虑时的情况：一方面点在以为直径的圆上，另一方面点在椭圆上;将上面两方程消去解出.故点横坐标的取值范围是. 总之，利用“特殊位置”法解这类选择题或填空题，具有得天独厚的优势，并能快而准地得出答案.根据唯物辩证法的原理：一般中包含特殊，而特殊中往往蕴含一般的规律性.这种方法体现了以简驭繁的数学思维策略，其思维方向显示了解决问题和发现方法及应用知识的基本趋向，是一种有利于对学生的观察、应变、分析和处理问题等多种能力培养的数学思想方法.其解题的关键就是要寻找到几何图形变化中元素间这一至二个特殊位置,把思维的着眼点建立在构建与问题相关的特殊几何体上或特殊位置上，从而使问题轻松地获解. 学科网（北京）股份有限公司 $