分类讨论思想在导数中的应用讲义-2026届高三数学一轮复习

专题七、分类讨论思想在导数中的应用 类型一：导函数是二次函数或类二次函数(如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二次)形式. 1.若二次函数或类二次函数的最高次系数存在参数，则需要对参数是否为零进行讨论； 2.若二次函数最高次系数不为零时，则需要对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； 3.若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系； 4.若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系. 类型二：导函数不是二次函数或类二次函数(如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二次)形式. 1.能因式分解的先因式分解，分解之后求根，注意所求的根在所给出的定义域内有没有意义； 2.如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要比较两根的大小关系； 3.如果原函数有定义域，还需要判断极值点和定义域端点的位置关系. 例题1：已知函数，讨论函数在定义域内的单调性. 解析：函数的定义域为，，设，令，则. (1)当时，即，恒成立，则在单调递增； (2)当时，即，令，得， ①若，即，在上单调递减，在上单调递增； ②若，即，在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当，在上单调递减，在上单调递增. 例题2：设函数，求函数的单调增区间. 解析：因为， 所以， ①当时，令，解得； ②当时，令，解得； ③当时，令，解得； ④当时，令，解得； ⑤当时，令，解得； 综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为. 例题3：已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围. 解析：(1)函数的定义域为，， ①若时，，则在上单调递减； ②若时，令，得，由，得，，得， 所以在单调递减，在单调递增. (2)方法一：当时，由(1)可知，函数在上单调递减，所以最多一个零点，不合题意， 当时，当时，，则，当时，，则,要使函数有两个零点,只需要即可,,令,则，,则，则. 方法二(分离常数)：令，可得，令，则，令，，易知时，，时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，当时，，如图： 综上所述实数的取值范围是. 例题4：已知函数，判断函数极值点的个数，并说明理由. 解析：函数的定义域为，， (1)当时，，由，，则有极小值； (2)当时，令得或， ①当，即时，，所以在单调递增，无极值点； ②当，即时，当或，，此时有两个极值点； ③当，即时，当或，，此时有两个极值点； 例题5：已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值. 解析：(1)的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，，所以在上单调递增； 当时，令，得，（舍）. 当时，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)当时，， 当时，单调递增，，，则，故不存在零点； 当时，，在上单调递减， 所以，， 所以，单调递增，又，， 所以存在唯一，使得.当时，，，所以单调递减，又，，所以存在，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，， 因此，在上恒成立，故不存在零点. 当时，，所以单调递减， 因为，所以，单调递减，又，， 所以存在唯一，使得. 当时，，故不存在零点. 综上，存在两个零点，，且，，因此的最小值为3. 例题6：已知 （1）若，且在恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若不是的极值点，求实数的取值. 解析:(1)由题,当时,,所以, 设所以恒成立, 所以在上为增函数,所以,又, 所以恒成立,所以在上为增函数,所以,所以 （2）, 令,则, 设,则, 所以在上递增,且, ①当时,,所以当时,；当时,, 即当时,；当时,, 所以在上递减,在上递增,所以, 所以在上递增,所以不是的极值点,所以时,满足条件； ②当时,,又因为在上递增,所以,使得, 所以当时,,即,所以在上递增,又, 所以当时,；当时,,所以是的极小值点,不合题意, 综上,. 例题7：已知函数，，为的导函数. （1）讨论的单调性，设的最小值为，并求证： （2）若有三个零点，求的取值范围. 解析：（1）,令,所以, 令,解得,所以当时,,所以单调递减,即单调递减；当时,,所以单调递增,即单调递增； 所以的最小值,令,则, 令,解得,所以单调递增；单调递减, 所及,命题得证. （2）由（1）若的最小值, 即时,,此时在上单调递增, 因为在上单调递增,不可能有三个零点,所以,此时, 又由(1)可知,单调递减；,单调递增,其中, 且,,所以存在,使得, 存在,使得, 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增, 其中在中,有,存在,使得, 在区间上要有两个零点,必须①, 其中使得成立,即②,代入①式, 得,解得,由②得,令,, 所以在时单调递增,所以,所以. 例题8：已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明． 解析：（1）由得， 当时，，若；若 ， 故当时，在处取得的极大值；函数无极小值. （2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得. 当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点. 当时，，则仅有一个零点. 当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.综上，有两个零点时，的取值范围是. 两零点分别在区间和内，不妨设. 欲证，需证明， 又由（1）知在单调递减，故只需证明即可. ， 又，所以， 令，则， 则在上单调递减，所以，即，所以. 例题9：已知函数， （1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：， 解析：(1),因为， 当时，，函数在（0，1）内单调递减，在内单调递增； 当时，即，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，，函数在内单调递增； 当时，即，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 综上：当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. （2）当时，由（1）可得函数在内单调递减，在内单调递增， 函数在内的最小值为， 要证：不等式成立，即证：， 即证：，，即证：， 令， 则函数在内单调递减，，因为， 则，即当时，成立 则当时，成立. 例题10：已知函数. （1）求证：对任意实数，都有； （2）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（） 解析：（1）证明：由已知易得，所以 令得： ，显然，时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增， 所以 ， 令，则由得， 时，>0，函数t（）单调递增；时，<0，函数t（）单调递减 所以，即结论成立. （2）由题设化简可得，令，所以 由=0得 ①若，即时，在上，有，故函数单调递增，所以 ②若，即时， 在上，有，故函数在上单调递减， 在上，有.故函数在上单调递增， 所以，在上， ， 故欲使，只需即可， 令，由得， 所以，时，，即单调递减， 又，，故 例题11：已知函数在点处的切线与轴垂直． （1）若a＝1，求的单调区间； （2）若，成立，求的取值范围． 解析：（1），由题，解得，由a＝1，得b=1. 因为的定义域为，所以， 故当时，，为增函数，当时，，为减函数， （2）由（1）知b＝2－a， 所以. （i）若，则由（1）知，即恒成立． （ii）若，则且， 当时，，为增函数；当时，，为减函数， ，即恒成立． （iii）若，则且， 故当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 由题只需即可，即，解得， 而由，且，得． （iv）若，则，为增函数，且， 所以，，不合题意，舍去； （v）若，则，在上都为增函数，且， 所以，，不合题意，舍去； 综上所述，a的取值范围是． 例题12：已知函数，（1）求的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 解：（1），令；所以在上递减，在上递增； （2）当时，函数在区间上递增，所以； 当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以； 当即时，函数在区间上递减，所以 例题13：设函数 (I)讨论的单调性； （II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 解析：（1）的定义域为 令，判别式， 当故上单调递增． 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增． 当时，的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，．因为，所以 ，又由(1)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 ，,再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 例题14：设函数. （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围 解析：（1）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。 （2），令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0. 若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.综合得的取值范围为 例题15：已知函数，. （1）当a = 2时，求曲线y =在点( 0，f (0) )处的切线方程； （2）求函数在区间[0 , e -1]上的最小值. 解：（1）f (x)的定义域为. 因为，a = 2， 所以，.所以 函数f (x)在点处的切线方程是 . （2）由题意可得 . (1)当时，，所以在上为减函数， 所以在区间上，. (2) 当时, 令，则， ① 当，即时，对于，， 所以f (x)在上为增函数， 所以. ② 当，即时，对于，，所以f (x)在上为减函数， 所以. ③ 当即时，当x变化时，，的变化情况如下表： 0 - 0 + 极小值 所以 综上，当时，；当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $专题七、分类讨论思想在导数中的应用 类型一：导函数是二次函数或类二次函数（如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类二 次)形式. 1.若二次函数或类二次函数的最高次系数存在参数，则需要对参数是否为零进行讨论： 2若二次函数最高次系数不为零时，则需要对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判 断导数是否有根，从而确定原函数极值点的个数： 3若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根 的大小关系； 4若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系 类型二：导函数不是二次函数或类二次函数（如果导函数是分式，则通分后分子为二次或类 二次)形式. 1能因式分解的先因式分解，分解之后求根，注意所求的根在所给出的定义域内有没有意义： 2如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要比较两根的大小关系； 3如果原函数有定义域，还需要判断极值点和定义域端点的位置关系， 例题1：已知函数f(x)=x2-x+alnx,讨论函数f(x)在定义域内的单调性. 例题2：设函数f)=nx,g)=x+a1-3,求函数()=f()+g的单调增区 间. 例题3：己知函数f(x)=ae2x+(a-2)e*-x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 例题4：已知函数f(x)=(x-1)e-ax2,判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由. 例题5：已知函数f(x)=lnx+2x-ax2. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=1时，判断并说明函数gx=f(x)-Cosx的零点个数.若函数g(x)所有零点均 在区间m,n(m∈Z,n∈Z)内，求n-m的最小值. 例题6：己知f(x)=erln(x+l)-x. (1)若a=1,且f(x)≥m在(0，+o)恒成立，求实数m的取值范围： (2)当a≥二时，若x=0不是f()的极值点，求实数a的取值. 例题7：已知函数f(x=e-a(x-22,a>0,f'(x)为f(x)的导函数. (1)讨论∫'x)的单调性，设f'x)的最小值为m,并求证：m≤e (2)若f(x)有三个零点，求a的取值范围. 例题8：已知函数f()=lnx-ax2+(a-)x(aeR). 2 (1)当a≥0时，求函数(x)的极值； (2)若函数f(x)有两个零点x,x2,求a的取值范围，并证明x+x2>2. 例题9：已知函数f(x)=(a-1)nx+x+a，a∈R (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a<-1时，证明：x∈(1，+o),f(x)>-a-a2. 例题10：已知函数f(x)=xlnx+ax+1-a. (1)求证：对任意实数a,都有[f(x)]mim≤1； (2)若a=2,是否存在整数k,使得在x∈(2，+o)上，恒有f(x)>(k+1)x-2k-1成 立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.(e=2.71828…) 例题11：已知函数f(x)=alnx+(1-a)x2-bx+1在点(L,f()处的切线与y轴垂直. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若0<x<e,f(x)≤0成立，求a的取值范围. 例题12：已知函数f(x)=（x-k)e,(1)求fx)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值. 例题13：设函数f)=x-I-alnx(a∈R). )讨论f(x)的单调性； (I)若f(x)有两个极值点x和x2,记过点A(x,f(x),B(x2,f(x)的直线的斜率为k, 问：是否存在a,使得k=2-a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 例题14：设函数f(x)=x(e”-1)-axr2. ()若a弓求)的单词K侧： (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围 例题15：已知函数f(x)=ax-ln(x+1),aeR. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0，e-1]上的最小值.