湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学期末 审题人：高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（　　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. 1 C. 3 D. 7. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. ， 10. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 当时，函数的值域是 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同的根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则___________． 13. ______ 14. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）利用诱导公式将化简，并求值； （2）若，求的值． 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，室温是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为，上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，9点分时，壶中热水自然冷却到． （1）求9点起壶中水温（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数； （2）若当日小泽在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数） （参考数据：，） 18. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 19. 已知函数，． （1）证明：对，； （2）记，，证明：对，； （3）若，直线分别与函数，，的图象的交点的横坐标为判断的大小关系，并证明． 高一数学期末 审题人：高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）分钟 【18题答案】 【答案】（1），对称中心为， （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 一方面，， 另一方面，， 故对，． （2） 法一：先证，． 因为，， 且为偶函数且在上单调递减，由（1）知，， 所以，所以．（*） 再证，． 因为，， 为偶函数且在上单调递减，同样可证， 所以， （或者对于*式，用替换x，得，得）. 法二：， ，，所以． 同理，． 于是对，若， 则， 若，则， 故，． （3），证明： 令，则，于是， 因为，于是与是方程的根，其中，， 令，令，当时，， 又在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 于是．由，所以， 又因为在上单调递减可知，．从而， 又因为在上单调递增，从而，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $