精品解析：山东省济南市平阴县第一中学2025-2026学年高三上学期数学一轮复习周测2

周清2 一、单选题 1. 设集合{是小于10的自然数}，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可化简B，C，然后由交集，并集定义可得答案. 【详解】,则； ，则. 则，则. 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 3. 若：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简两个条件，根据推出关系进行判断即可. 【详解】由可得，； 由关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，可得，即； ，易知，且不成立，故是的充分不必要条件， 故选：A. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C． 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误． 故选：B． 5. 已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据的奇偶性和周期性得到. 【详解】，故，， 定义在上的偶函数的最小正周期为2， 故. 故选：B 6. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 8. 定义在R上的函数满足，且为奇函数，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图象，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即， 又，所以，所以， 即，所以，所以，故A错误； 由知的图象关于对称， 又，所以的图象关于对称， 当时，，作出函数的图象：    由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数， 所以， 所以当，，即在的图象与的图象一致， 所以在单调递减，故B错误； 由，又，在单调递减， 所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数， 所以，故D正确， 故选：D 二、多选题 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若是奇函数，当时，，则时， D. 与表示同一函数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：设，将已知函数转化为二次函数，根据二次函数性质求值域即可判断，对于B，分别判断“”能否推出“”和“”能否推出“”，结合充分条件和必要条件的定义判断结论，对于C，结合奇函数性质求时的解析式，即可判断对于D，求两函数的定义域化简函数解析式，结合函数相等的条件判断结论. 【详解】对于A，令，则，. 那么可转化为，， 当时，取得最大值，. 所以函数的值域为，A正确. 对于B，当，时，满足，但，，此时， 所以由不能推出，所以“”不是“”的充分条件. 当时，即，则有或， 所以或或， 所以由不能推出，“”不是“”的必要条件， 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误.   对于C，因为是奇函数，所以， 又当时，， 所以当时，可得， ，C正确， 对于D，函数，其定义域为， 当时，；当时，. 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，D错误. 故选：AC 10. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为2，故A正确； 对于B，因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即的最小值为6，故B错误； 对于C，， 设，则，则， 因函数在上单调递增，故，其最小值不是2，故C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，故的最小值为2，故D正确． 故选：AD. 11. 已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，且时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析出的单调性与奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式得到，分类讨论，参变分离后，结合基本不等式得到，从而判断各选项即可. 【详解】由题意得为偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 因为，故， 所以， 当时，恒成立，即对满足要求， 当时，在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 综上，的取值范围为． A选项，由于，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，显然不是的子集，D错误． 故选：ABC 三、填空题 12. 已知函数，其中为正实数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，将自变量的值代入对应的解析式，由内到外即可求解. 【详解】∵函数， ∴，∴. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，所以，即 又在上单调递减， 因此. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，进行赋值即可求解. 【详解】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 17. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记 为“恰好获得1个纪念品”，列出事件包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可； （2）据题意得到 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得. 【小问1详解】 设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，且， . 记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中：； 第1次未中，第2次中，第3次未中：； 第1、2两次均未中，则第3次必得：； 所以. 【小问2详解】 记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3. ； ； . 分布列 . 18. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） （2）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】（1）模型①的小于模型②，选模型②, 当亿元时，科技改造直接收益的预测值为亿元； （2）设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 数学期望为万元 【解析】 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【小问1详解】 由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性，并求相应极值. （2）若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增，无极值， 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导数的定义域和导数，然后根据导数与的大小关系，分情况讨论单调性，进而求出极值. （2）先根据（1）的结论求出函数的最小值，再将不等式恒成立问题转化为关于的不等式，最后通过构造函数求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 对求导得 当时，，即在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，令，即， 解得（舍去，因为） 当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值， 极小值为，无极大值， 综上，当时，在上单调递增，无极值， 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在处取得极小值，也是最小值， 即， 因为关于的不等式恒成立， 所以，即， 化简得，即， 令， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知，所以，当时，， 即当时，. 又因为，所以原不等式即为，根据单调性解得，， 因此，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周清2 一、单选题 1. 设集合{是小于10的自然数}，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数满足，且为奇函数，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 二、多选题 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若是奇函数，当时，，则时， D. 与表示同一函数 10. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，且时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知函数，其中为正实数，则__________． 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 14. 设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 四、解答题 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 17. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 18. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） （2）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 19. 已知函数 （1）讨论的单调性，并求相应极值. （2）若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $