第一章 三角形的证明--三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

《三角形的证明》--三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 一、单选题 1．如图，在∆ABC中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在∆ABC中，，是的平分线，是∆ABC的外角的平分线，是∆ABC的外角的平分线，以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在∆ABC中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 4．在∆ABC中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 5．如图，在∆ABC中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ． 7．如图，在∆ABC中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    8．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 9．如图，在∆ABC中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示） 10．如图，在∆ABC中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 三、解答题 11．如图，在∆ABC中，． (1)求的度数； (2)若平分，是的高线，求的度数． 12．在∆ABC中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 13．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 14.在∆ABC中，是边上的高． (1)如图1，若是边上的中线，，求的长． (2)如图2，若是∆ABC的角平分线，时，求的度数． 15.已知：在∆ABC中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 16.如图①，在∆ABC中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作∆ABC外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 17.（1）如图1，在∆ABC中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在∆ABC中，，是边上的高，若∆ABC的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在∆ABC中，∠ACB=∠BAC=a,，的平分线与交于点，与∆ABC的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 18.（1）在∆ABC中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1，______；如图2，______；如图3，______； （2）如图4所示，在∆ABC中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数． 参考答案 一、单选题 1．C 解：在∆ABC中，， ∴， ，的平分线，相交于点F， ，， ∴， ∴． 故选：C． 2．D 解：∵， ∴， ∵是∆ABC的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∵是∆ABC的外角的平分线，， ∴， 由于题干并未给出，所以无法得到，也就无法得到； 故选D． 3．B 解：，分别平分，， ，． ∴∠ACD=∠ABC+∠A， ． ． ， ． 故选：B． 4．D 解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 5．D 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 6． 解：∵， ∴， 三角形的内角的角平分线为， ， 平分外角， ， 在中，由三角形的外角性质，得， ， ， ； 故答案为：． 7． 解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8． 解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 9． 解：，， ， ， 而， ， ∴， 以此类推得，；， ， 故答案为：． 10． 80° 10° （1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是∆ABC的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 三、解答题 11．（1）在∆ABC中，， ． ∵∠ACB=3∠A， ． ． （2）平分， ． 是的高线， ． ． 12．（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 13．（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 14.（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是∆ABC的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 15.（1）解：∵在∆ABC中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 16.（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，    ∵CQ为∆ABC的外角的角平分线， 是∆ABC的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 17.解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出∆ABC的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在∆ABC中，∠ACB=∠BAC=a， ， 又∵BD平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 18.解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $