精品解析：山东省淄博市淄博实验中学、齐盛高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

淄博实验中学 齐盛2026年1月月考数学试卷（精校版） 2026.1.6 一、单选题 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，结合集合计算即可得. 【详解】由题意可得：， 可得，所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2. “，”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可. 【详解】若，，则，充分性成立； 若，则或，，必要性不成立， 所以“，”是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据代数式有意义可求函数的定义域. 【详解】由题意得，函数，满足，解得， 所以函数的定义域为， 故选:B． 4. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D，再利用函数的特殊点排除选项B即可. 【详解】，解得 函数定义域为关于原点对称. 函数在定义域上为偶函数，排除C和D. 当时，，排除B. 故选A. 【点睛】本题考查函数图象的判断，常利用函数的奇偶性、单调性以及特殊值进行判断. 5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式先计算，进而得点的坐标，最后利用三角函数的定义即可求解. 【详解】依题意，， 即，由三角函数的定义得， 则． 故选：B. 6. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数，指数函数和对数函数的单调性，结合中间值即可求解. 【详解】因为为增函数，所以． 因为为减函数，所以，则． 又为减函数，所以， 故，即． 故选：D 7. 已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性分类讨论确定最大值和最小值，然后解方程得值. 【详解】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得，即， 因为函数有且仅有两个零点， 即函数与的图象仅有两个交点， 因为， 作出函数和的图象，如图所示， 当时，联立方程组，可得， 由，解得， 当时，可得， 要使得函数有且仅有两个零点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若，则为第一象限角 B. 函数的零点所在区间为 C. 若命题为假命题，则实数的取值范围为 D. 设，且，则的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据零点存在定理、存在量词命题的否定、一元二次不等式恒成立、基本不等式的性质等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，当为第三象限角时，也满足，所以A错误； 对于B，因为， 根据零点存在定理，函数的零点所在区间为，B正确； 对于C，因为命题为假命题，所以其否定为真， 而存在量词命题的否定是全称命题，即命题为真命题， 当时，不等式变为，不等式成立； 当时，要使不等式恒成立，则. 解得，所以实数的取值范围为，C错误； 对于D，因为，且， 所以. 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值是，D正确. 故选：BD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ） A. 的最小正周期为 B. 关于对称 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象、对称轴、值域、平移性质等逐项计算判断即可. 【详解】根据图象可知，所以，A正确； 所以，解得， 因为时，，所以， 所以，因为，所以. 所以函数，将代入得. 所以关于对称，B正确； 当时，，所以. 所以在区间上的值域为，C错误； 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得. 又，所以，D正确； 故选：ABD. 11. 定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由为偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由，则函数的图象关于点对称， 则，可得. 对于A中，由，可得， 所以，所以为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以函数是以为周期的周期函数， 可得，显然，所以B错误； 对于C中，由，所以函数的图象关于直线对称， 因此函数与的交点也关于对称，则，所以C正确； 对于D中，由函数与的交点也关于对称，可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知函数满足，又当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得函数的周期为，可得，即可得解. 【详解】由，故函数的周期为， ， 有，即，故， 即，故. 故答案为：. 13. 若，则的值为__________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角余弦公式，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 故答案为： 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解. 【详解】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，函数为上的连续函数， 所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知常数，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）解不等式确定集合后，由交集定义计算； （2）由得，然后由集合包含的定义求解． 【小问1详解】 ，， 时，， ； 【小问2详解】 由得， 时，，满足题意， 的两根分别是和， 时，，由题意，解得， 时，，由题意，解得， 综上，． 16. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据正弦函数的单调性求解单调区间； （2）先根据已知条件求出和的值，再利用两角差的余弦公式来求的值. 【小问1详解】 . 由， 解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 已知，则，所以. 因为，所以. 所以. 所以 . 17. 已知函数在上满足，且当时，；当时，． （1）求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 因为当时，，当时，， 由（1）知， 所以， 当，即， 所以， 即在上单调递减，则； 当，则， 所以， 即在上单调递减，则， 综上，易知在上单调递减，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）令，代入计算，可得，分别讨论和两种情况，代入检验，分析即可得答案. （2）由（1）知，当时，可得，代入化简，可得，根据单调性的定义，可得的单调性，同理当，可得的单调性，综合即可得证. （3）由（2）可得的单调性，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【小问1详解】 令.，则， 故，可得， 令，则， 当时，则，即，与题设不符， 当时，则，符合题意， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 因为， 所以，即， 可得或， 所以不等式解集为． 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围； （3）设，当为何值时，关于的方程有实根？ 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，列式求解，即得答案； （2）分离参数，将不等式对任意的恒成立转化为,利用换元，即，可得的最小值，即可求得答案； （3）利用换元，即，将有实根转化为的根的问题，继而转化为的零点问题，分类讨论，结合二次函数的零点分布，即可求得答案. 【小问1详解】 由函数是定义域在上的偶函数， 则对于，都有，即， 即对于，都有，即， 由于不恒等于0，故，得. 【小问2详解】 结合（1）可得， 则， 令， 由在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，得， 则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立， 所以即可， 又， 由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以的最小值为，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2， 所以，当且仅当时取等号，则， 令，则， 则原问题转化为关于的方程的根的问题， 由于，令，则的图象为开口向上的抛物线在y轴右侧部分（含y轴）， ， ①当时，或，此时对称轴， 函数在有唯一零点； ②当且在有唯一零点时， ，可得：或； ③当在有两个不相等零点时，设零点为， 则，可得：. 综上：或. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了函数奇偶性、不等式恒成立以及方程的解的问题，综合性较强，解答的关键是（3）中要将方程有解问题转化为函数零点问题，然后分类讨论，结合二次函数零点的分布，即可求解. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数证明：有且只有一个零点 【答案】（1）4 （2） （3）证明：. ①当时，函数单调递增，因为. 所以，根据零点存在定理，使得. 故在上有且只有一个零点； ②当时，因为单调递增，单调递减， ，所以. 故在上不存在零点； ③当时，因为单调递增， ，因为，所以. 故在上不存在零点； 综上，有且只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期求解即可. （2）要使最小，则均为的零点，然后若或，分别求出的值然后比较即可. （3）先化简的表达式，然后分三种情况，当，时，时，根据零点存在定理以及函数的单调性判断即可. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为． 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，函数. 令，解得或. 要使最小，则均为的零点. 若，则大于的7个的零点为：. 则此时； 若，则大于的7个的零点为：. 则此时. 因为，所以的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学 齐盛2026年1月月考数学试卷（精校版） 2026.1.6 一、单选题 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. B. C. D. 2. “，”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为 A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若，则为第一象限角 B. 函数的零点所在区间为 C. 若命题为假命题，则实数的取值范围为 D. 设，且，则的最小值是 10. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ） A. 的最小正周期为 B. 关于对称 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 三、填空题 12. 已知函数满足，又当时，，则__________. 13. 若，则的值为__________. 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 四、解答题 15. 已知常数，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值． 17. 已知函数在上满足，且当时，；当时，． （1）求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）求关于的不等式的解集． 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围； （3）设，当为何值时，关于的方程有实根？ 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数证明：有且只有一个零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $