精品解析：天津市武清区杨村第四中学2025-2026学年高二上学期第二次练习数学试题

天津市武清区杨村第四中学2025-2026学年高二上学期第二次练习数学试题 （知识范围：选择性必修第一章到第四章第三节 总分：150 时长：120分钟） 一、选择题，共9小题，每小题5分，共45分 1. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ） A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可推得，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，，所以. 故选：B. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 3. 已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，结合两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，且两直线之间的距离为 . 故选：D 4. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据前项和的性质即可求解. 【详解】因为， 则． 故选：B． 5. 直线与椭圆（）的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 7. 已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项可得，再结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为成等差数列，则， 即，且， 可得，即，解得或 又因为，所以. 故选：A. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，易得，令，则，利用双曲线的性质可得，可求出、，结合勾股定理可求得结果. 【详解】如下图所示： 由，不妨设，则，， 于是，，设，则， 由双曲线的定义得， 即，解得，因此，解得， ，，由勾股定理得， 即，解得，所以该双曲线的离心率为. 故选：B 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分（说明：15题第一空2分第二空3分） 10. 4和10的等比中项是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的意义直接求解. 【详解】4和10的等比中项是. 故答案为： 11. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出长半轴长，写出标准方程. 【详解】椭圆，即的焦点坐标为， 则所求标准方程的椭圆焦点为，而短半轴长为1，则长半轴长为， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线距离的空间向量法计算即可 【详解】，， ， 所以． 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 13. 若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 14. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心的坐标，即可得到抛物线方程，联立圆和抛物线方程，求点坐标及直线的方程，利用点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 ∵圆的圆心为，∴，即， ∴抛物线方程为. 由得，解得或（舍）， ∴，∴直线的斜率为， ∴，即， ∴原点到直线的距离为. 故答案为：. 15. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据两点斜率公式以及渐近线斜率可得，即可求解，写出圆的方程以及渐近线方程，联立可得，根据向量共线可得，将代入渐近线方程中即可求解. 【详解】的渐近线方程为， 双曲线的虚轴端点为，的焦点为 因此的斜率为，故，故, 设，则圆：， 不妨设直线， 联立与可得，故， 因此， 由于，故，故， 由于在，故， 结合，解得， 故双曲线方程为， 故答案为：2， 三、解答题：共5道小题，共75分 16. 已知圆C过点，且与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C交于两点，若为直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意设圆心为，由题意直线，结合即可求解； （2）由题意为直角三角形且注意到，，即圆心C到直线的距离， （3）设出直线方程并利用圆心到直线之间的距离即可求解. 【小问1详解】 设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以， 设分别代表直线的斜率，所以有，由题意， 所以有结合并联立得 解得， 圆的半径， 圆的方程为：. 【小问2详解】 因为为直角三角形且，所以，圆心C到直线的距离， 又直线过点，所以设直线方程的方程为：（其中不同时为零）， 因为圆心到直线 的距离为，即，化简得， 所以（但）或者;所以直线方程的方程为：或者， 即直线的方程为： 或. 17. 设为等差数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式和前项和； （2）若，，成等比数列，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求出答案； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为，数列的前项和为． 【小问2详解】 因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 又，所以. 18. 如图，平面平面，，，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出平面夹角的余弦值，即可求出正弦值； （3）由点到平面的距离为计算可得. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又因为，则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知， 所以，，，，． 因为,平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以直线与平面所成角为． 【小问2详解】 设平面的法向量为，， 则，令，则，又因为 设平面与平面所成夹角为， 则，又， 所以， 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 19. 顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于M、N两点，若恰好是线段MN的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质和菱形的面积公式可得且，解之即可求解； （2）由题意，根据点到直线的距离公式和弦长公式计算即可求解； （3）利用点差法求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 如图， 由椭圆的四个顶点构成了一个边长为且面积为的菱形， 知菱形的面积为，且， 解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图， 由（1）知，，则椭圆的右焦点为， 则直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为； 由，得， 设，则， 所以， 得. 【小问3详解】 如图， 设，则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 所以直线的方程为，即. 20. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积. 【答案】（1） （2）由题意，设直线的方程为， 由方程组消去得. 显然， 设， 则. 为线段的中点， ， ，故为定值. （3）斜率为， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦中点，得出斜率即可得证； （3）由题意为线段的中点，表示出点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【小问1详解】 由题意知， 又， 解得. 椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 若四边形为平行四边形，则为线段的中点， 即 点在椭圆上， ，解得，即； 结合（2）可得，， 设点到直线的距离为，则， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区杨村第四中学2025-2026学年高二上学期第二次练习数学试题 （知识范围：选择性必修第一章到第四章第三节 总分：150 时长：120分钟） 一、选择题，共9小题，每小题5分，共45分 1. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ） A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 5. 直线与椭圆（）的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 7. 已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（ ） A. B. C. D. 2 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分（说明：15题第一空2分第二空3分） 10. 4和10的等比中项是____________. 11. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程____________. 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 13. 若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 14. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______． 15. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 三、解答题：共5道小题，共75分 16. 已知圆C过点，且与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C交于两点，若为直角三角形，求直线的方程． 17. 设为等差数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式和前项和； （2）若，，成等比数列，求的值． 18. 如图，平面平面，，，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于M、N两点，若恰好是线段MN的中点，求直线的方程. 20. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $