第一章 第2讲 整式的乘法（3个核心知识点+3个高频考点+3个重点题型专练） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.4 整式的乘除（讲义） 核心知识 1 单项式与单项式相乘 法则 运算步骤 举例 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 （1）系数相乘：把两个单项式的系数当作普通数字相乘. （2）同底数幂相乘：底数不变，指数相加（只对同底数的幂进行运算）. （3）单独字母照写：只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数直接写在积里. ˙敲黑板˙ （1）系数相乘时，要注意符号运算，同号得正，异号得负. （2）单独字母保留时，要带上它的指数，指数为1时可以省略不写. （3）同底数幂相乘，牢记底数不变，指数相加，千万别和幂的乘方（指数相乘）弄混. （4）系数包含分数或小数时，先统一形式再计算. （5）注意区分同类项合并和单项式相乘，前者是系数相加、字母和指数不变，后者是系数相乘、同底数幂指数相加 核心知识 2 单项式与多项式相乘 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a+b+c)=ma+mb+mc. ˙敲黑板˙ （1）牢记分配律：必须用单项式去乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项. （2）符号别出错：多项式里有负号的项，相乘时要带着符号算. （3）幂运算要准确：乘的时候遵循同底数幂相乘法则，底数不变、指数相加，别和幂的乘方混淆. （4）最后合并同类项：相乘后如果有同类项，要及时合并，让结果最简. 核心知识 3 多项式与多项式相乘 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. ˙敲黑板˙ （1） 严格用分配律展开：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，做到不重不漏. （2） 符号运算要仔细：多项式中带负号的项，相乘时要连同符号一起计算. （3） 幂运算规则别混淆：同底数幂相乘时，底数不变、指数相加，不要和幂的乘方（指数相乘）弄混. （4） 合并同类项化简：展开后如果有同类项，一定要合并，使结果化为最简形式. （5） 项数预判防漏乘：两个多项式分别有m项和n项，展开后最多有m∙ n项，可据此检查是否漏乘. 【高频考点1——单项式与单项式、单项式与多项式的计算（含符号处理、合并同类项）】 【核心考点1·例题精讲 单项式与单项式相乘】 例1、（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 例2、（25-26八年级上·全国·课后作业）小东家所在小区的物业打算修建一个长方形的活动场地，其长米，宽为a米，在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉，剩下的部分为草坪，求草坪的面积． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（25-26七年级上·上海闵行·月考）计算： （1）． （2） 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为．例如：．请你按照上述运算法则计算：． 4．（22-23七年级上·广西桂林·期中）如图四边形是长方形，求下图阴影部分的面积． 【核心考点2·例题精讲 单项式与多项式的计算】 例1、（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： （1） （2） （3） 例2、（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 例3、（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：，与是和谐数，和谐值为． （1）下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号） ①3，6       ②，2     ③2，0   ④ （2）已知是和谐数，求代数式的值． 例4、（24-25七年级下·陕西西安·月考）月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． （1）用含、的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板的总面积． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． （1）若，则_______；若，则_______． （2）已知，求代数式的值． 4．（24-25七年级下·广东茂名·月考）【阅读】已知，求的值． 分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入． 解：当时，原式． 【应用】请你用上述方法，解决下列问题： 已知，求： （1）的值； （2）的值． 【高频考点2——多项式与多项式相乘的展开及化简】 【核心考点3·例题精讲 多项式与多项式相乘】 例1、（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 例2、（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算 （1） （2） 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 4．（25-26八年级上·陕西安康·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． （1）若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， （2）若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【高频考点3——整式乘法与几何图形面积结合的实际应用】 【核心考点4·例题精讲 整式乘法与几何图形面积结合的实际应用】 例1、（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． （1）用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； （2）若米，米，求实际劳动展示区的面积． 例2、（25-26八年级上·河南周口·月考）现有甲、乙、丙三种卡片，甲是边长为m的正方形，乙是长为m、宽为n的长方形，丙是边长为n的正方形．用4张卡片拼出两个长方形，面积分别为 （1）①用含m、n的式子表示 ； ②当时， 求 的值； （2）比较 与 的大小，并说明理由． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． （1）用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； （2）小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； （3）若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 2．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． （1）请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． （2）若，，此时图3的面积是多少平方米？ 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图， 长方形可以分为四个部分，根据图中的相关标示，完成下面的问题： （1）部分的周长是_______； （2）长方形的周长用代数式可表示为_______； （3）长方形的面积用代数式可表示为_______； （4）若 求长方形的面积． 【重点题型专练1——基础计算型（直接套用法则运算）】 例1、（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： （1） （2） （3） 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算 （1） （2） 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（25-26八年级上·福建泉州·月考）计算：． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： （1） （2） （3） 【重点题型专练2——化简求值型（先化简整式，再代入数值计算）】 例1、（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中 例2、（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【核心题型·变式通关练】 1．（24-25七年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26八年级上·广东惠州·月考）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25八年级上·广东江门·期中）先化简后求值：，其中． 4．（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 【重点题型专练3——几何应用型（根据图形面积列整式并运算）】 例1、（25-26八年级上·河南新乡·期末）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 例2、（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 例3、（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． （2）小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． （3）如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片_____张． 【核心题型·变式通关练】 1．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，图1是一幅边长为的正方形风景画，画面左右两边各留有长方形空白区域作装饰．图2是一幅长为、宽为的长方形风景画，画面的四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中的标注的信息，解答下列问题： （1）图1中间画面的面积为___________，图2正中间画面的面积为___________； （2）若，当两幅画空白区域面积恰好相等时，求的值． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．    （1）小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）； （2）如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； （3）利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 4．（25-26八年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． （3）任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 5．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． （1）请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． （2）当时，请求出花灯模板的面积．单位： 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.4 整式的乘除（解析） 核心知识 1 单项式与单项式相乘 法则 运算步骤 举例 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 （1）系数相乘：把两个单项式的系数当作普通数字相乘. （2）同底数幂相乘：底数不变，指数相加（只对同底数的幂进行运算）. （3）单独字母照写：只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数直接写在积里. ˙敲黑板˙ （1）系数相乘时，要注意符号运算，同号得正，异号得负. （2）单独字母保留时，要带上它的指数，指数为1时可以省略不写. （3）同底数幂相乘，牢记底数不变，指数相加，千万别和幂的乘方（指数相乘）弄混. （4）系数包含分数或小数时，先统一形式再计算. （5）注意区分同类项合并和单项式相乘，前者是系数相加、字母和指数不变，后者是系数相乘、同底数幂指数相加 核心知识 2 单项式与多项式相乘 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a+b+c)=ma+mb+mc. ˙敲黑板˙ （1）牢记分配律：必须用单项式去乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项. （2）符号别出错：多项式里有负号的项，相乘时要带着符号算. （3）幂运算要准确：乘的时候遵循同底数幂相乘法则，底数不变、指数相加，别和幂的乘方混淆. （4）最后合并同类项：相乘后如果有同类项，要及时合并，让结果最简. 核心知识 3 多项式与多项式相乘 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. ˙敲黑板˙ （1） 严格用分配律展开：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，做到不重不漏. （2） 符号运算要仔细：多项式中带负号的项，相乘时要连同符号一起计算. （3） 幂运算规则别混淆：同底数幂相乘时，底数不变、指数相加，不要和幂的乘方（指数相乘）弄混. （4） 合并同类项化简：展开后如果有同类项，一定要合并，使结果化为最简形式. （5） 项数预判防漏乘：两个多项式分别有m项和n项，展开后最多有m∙ n项，可据此检查是否漏乘. 【高频考点1——单项式与单项式、单项式与多项式的计算（含符号处理、合并同类项）】 【核心考点1·例题精讲 单项式与单项式相乘】 例1、（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】（）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）先进行乘方运算，再进行加法运算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 例2、（25-26八年级上·全国·课后作业）小东家所在小区的物业打算修建一个长方形的活动场地，其长米，宽为a米，在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉，剩下的部分为草坪，求草坪的面积． 【答案】草坪的面积为平方米 【分析】本题考查代数式表示长方形的面积，整式的乘法，整式的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可得，其中平方米，平方米，从而得到答案． 【详解】解：长方形的活动场地，其长米，宽为a米， （平方米）， 在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉， （平方米）， （平方米）， 答：草坪的面积为平方米． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（25-26七年级上·上海闵行·月考）计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了幂的运算，单项式乘单项式，多项式乘多项式． （1）根据积的乘方计算和，再进行单项式乘法运算即可； （2）先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘积，最后将系数与幂相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为．例如：．请你按照上述运算法则计算：． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的运算．根据新运算的法则，列出代数式，进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（22-23七年级上·广西桂林·期中）如图四边形是长方形，求下图阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，减法，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出的面积、的面积、矩形的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 的面积，的面积，矩形的面积， 阴影的面积矩形的面积的面积的面积． 故答案为：． 【核心考点2·例题精讲 单项式与多项式的计算】 例1、（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例2、（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据整式的加减法则化简后，代入a的值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 例3、（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：，与是和谐数，和谐值为． （1）下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号） ①3，6       ②，2     ③2，0   ④ （2）已知是和谐数，求代数式的值． 【答案】（1）④ （2） 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减法，熟练掌握以上知识点并读懂题意是解题的关键． （1）根据题意对每组数进行判断即可； （2）根据题意，可知，那么，然后将原式整理为，然后代入即可计算出答案． 【详解】（1）解：， 与是和谐数，和谐值为； ，，， 与2不是和谐数； ，， 与0不是和谐数； ，， 与是和谐数，其和谐值为； 故选：④； （2）解：已知是和谐数， ， ， 原式 ． 例4、（24-25七年级下·陕西西安·月考）月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． （1）用含、的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板的总面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为 ； （2）解：当，时， 板的总面积为 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了整式的乘法运算． （1）根据多项式的乘法公式计算即可； （2）根据多项式的乘法公式计算即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）根据单项式的乘法公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的去处法则，把代数式化简，再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）根据单项式乘以单项式的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的法则和合并同类项的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 3．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． （1）若，则_______；若，则_______． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． （1）利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． （2）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； 故答案为：；． （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 4．（24-25七年级下·广东茂名·月考）【阅读】已知，求的值． 分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入． 解：当时，原式． 【应用】请你用上述方法，解决下列问题： 已知，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）9 （2） 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． （1） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （2）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴ ． 【高频考点2——多项式与多项式相乘的展开及化简】 【核心考点3·例题精讲 多项式与多项式相乘】 例1、（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 例2、（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先进行乘法运算，然后去括号，最后合并同类项即可解答． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则． （1）根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：           （2）               ． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 4．（25-26八年级上·陕西安康·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查了多项式的乘法． （1）根据题意可知，，分别计算，，得到，，相减求出，进而可求出； （2）由（1）知，，即，计算即可． 【详解】（1）解：∵小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为， ∴ ， 即， ∴①，， ∵小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为， ∴ ， 即， ∴②，即， ，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ ． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． （1）若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， （2）若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 【高频考点3——整式乘法与几何图形面积结合的实际应用】 【核心考点4·例题精讲 整式乘法与几何图形面积结合的实际应用】 例1、（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． （1）用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； （2）若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】（1） （2）475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 例2、（25-26八年级上·河南周口·月考）现有甲、乙、丙三种卡片，甲是边长为m的正方形，乙是长为m、宽为n的长方形，丙是边长为n的正方形．用4张卡片拼出两个长方形，面积分别为 （1）①用含m、n的式子表示 ； ②当时， 求 的值； （2）比较 与 的大小，并说明理由． 【答案】（1）①； ②4 （2）当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了列代数式和整式乘法的应用，掌握矩形的面积公式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式求解； （2）把代入分别计算，再作差即可； （3）根据作差法比较大小． 【详解】（1）解：①； ②当时, ； （2）解: ∵，但无法确定的正负, 当时, ； 当时, ； 当时, 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． （1）用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； （2）小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； （3）若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】（1） （2） （3）元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． 【详解】（1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 2．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． （1）请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． （2）若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图， 长方形可以分为四个部分，根据图中的相关标示，完成下面的问题： （1）部分的周长是_______； （2）长方形的周长用代数式可表示为_______； （3）长方形的面积用代数式可表示为_______； （4）若 求长方形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查长方形的面积计算，关键是掌握长方形的面积计算公式及整式的混合运算法则； （）先从图中确定是长为、宽为的长方形，再直接套用长方形周长公式(长宽)计算即可； （）先根据图中的分段标识，确定长方形的长为、宽为，再代入长方形周长公式，通过整式的加减运算化简得到周长的代数式； （）利用长方形面积公式长宽，通过多项式乘多项式的运算法则展开并整理，得到面积的代数式； （）把代入第()题得到的面积代数式中，按照分数的乘方、乘法和加法运算法则逐步计算，得出最终的面积值． 【详解】（1）解：由图可知，是长为、宽为的长方形， ∴的周长为； 故答案为：； （2）解：∵长方形的长为、宽为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵长方形面积公式长宽， ∴； 故答案为：； （4）解：长方形的面积： ． 【重点题型专练1——基础计算型（直接套用法则运算）】 例1、（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）0 （4） 【分析】本题考查了整式的乘法运算，负整数指数幂，幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则. （1）分别计算幂的乘方、积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项； （2）先计算负整数指数幂，并且利用逆用同底数幂的乘法运算将其变形，再逆用积的乘方计算，最后再进行有理数的混合运算； （3）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项； （4）利用多项式乘以多项式法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则． （1）根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：           （2）               ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 4．（25-26八年级上·福建泉州·月考）计算：． 【答案】 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式和多项式乘多项式法则，去括号法则是解题的关键． 利用乘法分配律去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，平方差公式和完全平方公式，幂的混合运算，熟练掌握公式并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得解； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得解； （3）利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【重点题型专练2——化简求值型（先化简整式，再代入数值计算）】 例1、（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值． 利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 例2、（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （）先化简代数式，再整体代入计算即可求解； （）把代数式转化为，再整体代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【核心题型·变式通关练】 1．（24-25七年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（25-26八年级上·广东惠州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 3．（24-25八年级上·广东江门·期中）先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及合并同类项，熟练掌握单项式乘以多项式及合并同类项是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】 ， 当时，原式． 4．（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 【重点题型专练3——几何应用型（根据图形面积列整式并运算）】 例1、（25-26八年级上·河南新乡·期末）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 【答案】（1）福建土楼占地面积：；山西大院占地面积： （2）①组同学想法正确 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴①组同学想法正确． 例2、（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， 例3、（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． （2）小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． （3）如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】（1）见解析， （2）12 （3）8 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 【核心题型·变式通关练】 1．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，图1是一幅边长为的正方形风景画，画面左右两边各留有长方形空白区域作装饰．图2是一幅长为、宽为的长方形风景画，画面的四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中的标注的信息，解答下列问题： （1）图1中间画面的面积为___________，图2正中间画面的面积为___________； （2）若，当两幅画空白区域面积恰好相等时，求的值． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出代数式和关于y的方程成为解题的关键． （1）根据图1、图2分别表示出中间画面的面积的面积即可； （2）先根据图1、图2分别两幅画空白区域面积并求值，然后根据两幅画空白区域面积相等得到关于y的方程求解即可． 【详解】（1）解：图1中间画面的面积为； 图1中间画面的面积为． 故答案为：，． （2）解：图1中空白区域的面积为：； 图2中空白区域的面积为： 由题意得，，解得：． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．    （1）小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）； （2）如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； （3）利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1） （2）A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张 （3） 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是： （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）用代数式表示纸片，纸片，纸片的面积，再根据总面积得出数量即可； （3）根据拼成的长方形的面积是可得，需要纸片需要2张，纸片需要2张，纸片需要5张，画出相应的图形，并根据长方形的周长公式计算其周长即可． 【详解】（1）解：图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，图2是6个部分的 面积和，即， 因此， 故答案为：； （2）， 纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为， 纸片需要2张，纸片需要3张，纸片需要7张； （3）由于， 因此可以拼成长为，宽为的长方形， 如图所示：    这个长方形的周长为：， 答：此长方形的周长为． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 【答案】（1）；（2）；（3）（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据展示的乘法计算方法解答即可； （2）根据展示的乘法计算方法解答即可； （3）（ⅰ）根据题意，长方形B的长为，宽为，根据周长关系列出等式，解答即可； （ⅱ）把a代入，得到长方形的宽，根据面积公式，除法运算解答即可。 本题考查了多项式的四则运算，列代数式，长方形的周长和面积，熟练掌握四则运算是解题的关键。 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：（ⅰ）根据题意，得长方形B的长为，宽为， 由长方形的周长是长方形周长的3倍， ， 解得：， （ⅱ）长方形的面积为：， 长方形已知边长的邻边长为。 4．（25-26八年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． （3）任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 【答案】（1）； （2）①；② （3），商式为，竖式见解析 【分析】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则得，则，即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可； 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：①如图所示： ； 故答案为：； ②如图所示： ， 故答案为：； （3）如图所示： ∵的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴，即， ∴此时． 5．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． （1）请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． （2）当时，请求出花灯模板的面积．单位： 【答案】（1） （2）348 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据模板的面积列式求解即可． （2）将整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时， 原式 ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $