第一章 第1讲 幂的运算（5个核心知识点+4个高频考点+5个重点题型专练）【同步核心训】2025-2026学年七年级数学下册

本讲义聚焦整式乘除中幂的运算核心知识，系统梳理同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法及零指数幂、负整数指数幂法则，结合科学记数法，构建从基础法则到逆用、从特殊指数到实际应用的递进学习支架。 资料通过“敲黑板”提示易错点，如逆用公式、底数为多项式的处理，搭配例题与同步练习，培养抽象能力和运算能力。实际应用题如光年计算发展应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固查漏。

第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.1-1.3 幂的有关运算（解析） 核心知识 1 同底数幂的乘法 法则 字母表示 举例 同底数幂 乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即（，都是正整数） ˙敲黑板˙ ①同底数幂的乘法法则可以逆用，即（，都是正整数）； ②当幂指数是1时，不要误以为没有指数，如，而不是； ③要注意同底数幂的乘法与整式的加法不可混淆，如是同底数幂乘法，.而是整式的加法，计算时，只能合并同类项，其中和不是同类项，不能合并. ④底数是多项式，且互为相反数时： 方法一：（注意：变奇次幂提负号）； 方法二：（注意：变偶次幂直接变）. 核心知识 2 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 即（、都是正整数）. ˙敲黑板˙ ①幂的乘方中底数可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式； ②幂的乘方可以逆用，即（，都是正整数）. 核心知识 3 积的乘方 法则 字母表示 举例 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （n为正整数） ˙敲黑板˙ ①积的乘方可逆用，即（n为正整数）； ②积的乘方逆运算：，可以理解为同指数幂相乘，指数不变，底数相乘. ③积的乘方有关的简便计算： 例 核心知识 4-1 同底数幂除法 法则 字母表示 举例 同底数幂除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 （，m，n为正整数） ˙敲黑板˙ 同底数幂的除法可逆用，即(，m，n为正整数，并且m>n). 核心知识 4-2 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 即，(0) ˙敲黑板˙ ①(0)，这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成0个a相乘. ② 核心知识 4-3 负整数指数幂 任何不等于零的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数 即（0，n为正整数） ˙敲黑板˙ ①一般地，当p是正整数时，（a≠0) ②负整数指数幂的计算：负指数变正指数，取倒数. ③在有关幂的运算中，最终结果要求化成正整数指数幂的形式. 核心知识 5 科学记数法 一般地，小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数. ˙敲黑板˙在a×10n中，指数的相反数n等于小数点移动的位数. 例： 【高频考点1——幂的运算法则的直接应用与混合运算】 【核心考点1·例题精讲 同底数幂的乘法】 例1、（25-26八年级上·吉林长春·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，直接计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 结果为 ． 故选：D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）若，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用同底数幂相乘的法则，将指数相加，再代入已知条件计算． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， ∵ ， ∴． 故答案为：81． 2．（23-24七年级上·上海·期中）计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，需先将底数化为相同形式后再计算． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别计算各部分的符号和指数，再应用同底数幂相乘法则． 【详解】解：∵， ∴原式， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值 ． 【答案】13 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将等式两边化为同底数幂后比较指数求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 故答案为：13． 【核心考点2·例题精讲 幂的乘方】 例1、（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则的值为（ ） A． B．1 C．8 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 例2、（25-26八年级上·河南驻马店·月考）若正整数满足，则下面关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·广西钦州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 5 25 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘这一法则是解题的关键． 根据指数运算规则，由已知条件 推导出 ，进而求解 和 ． 【详解】解：∵ ， ∴， 且 ． 故答案为 ：，． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知 （，且），那么x、y应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，根据同底数幂相乘和幂的乘方运算法则，将左边化简后与右边比较指数，得到方程求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 4．（25-26八年级上·江西南昌·月考）m，n为正整数，若成立，则（ ） A．m必为奇数 B．n必为奇数 C．m，n必同为奇数 D．m，n必同为偶数 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方， 运用指数法则化简，并利用奇数次幂的性质判断条件． 化简等式左边，比较系数得出m的奇偶性条件，n无限制，即可解答． 【详解】解：∵==， 且给定等式为， ∴， 假设，则， ∴m为奇数． 因此，m必为奇数，n可为任意正整数． 故选A． 5．（24-25八年级上·吉林长春·月考）当，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方． 将化为，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得， ∴ ． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方； （1）根据幂的乘方法则进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方法则进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【核心考点3·例题精讲 积的乘方】 例1、（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据积的乘方的性质是指一个乘积的幂等于各因子的幂的乘积，即进行判断即可． 【详解】解：选项A表示同底数幂的乘法性质，故不符合题意； 选项B中是错误的等式，不符合题意； 选项C直接表示积的乘方的性质，符合题意； 选项D表示幂的乘方性质，不符合题意， 故答案为：C． 例2、（25-26八年级上·甘肃天水·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，先运用幂的乘方法则计算 ，再运用同底数幂相乘法则计算与 的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 5．（2026九年级上·重庆·专题练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：A 【核心考点4·例题精讲 同底数幂除法】 例1、（25-26八年级上·河南南阳·月考）若，□，则“□”内应填的运算符号为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法运算法则．利用同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：若，， 则“□”内应填的运算符号为， 故选：C． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·上海·月考）的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法及负指数幂，熟练掌握同底数幂的除法及负指数幂是解题的关键；利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（25-26八年级上·陕西延安·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则．利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·月考）如果，且，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负指数幂的概念，熟练掌握同底数幂的除法法则及负指数幂的概念是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的除法法则计算，再根据负指数幂的概念化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【核心考点5·例题精讲 幂的混合运算】 例1、 ． 【答案】 【详解】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 解： 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法和同底数幂除法运算法则进行进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【高频考点2——幂的运算法则的逆用】 【核心考点7·例题精讲 同底数幂的逆用】 例1、（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：原式， ∵，， ∴． 故答案为：6． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25九年级上·四川广元·期末）计算 （其中为正整数） 【答案】 【分析】令 ，将分子和分母化简，然后约分得到结果． 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握运算公式是解题关键． 【详解】令 ，则 ． 分子为 ， 分母为 ， 所以原式 = ． 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 3.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 【核心考点8·例题精讲 幂的乘方逆用】 例1、（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 例2、（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，为实数，，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，巧妙利用指数运算性质，将乘积关系转化为指数相加，简化计算．通过指数运算，将已知等式转化为合适的指数形式，利用指数求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， ∴， ∴， ， 故选：B． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 2．（25-26七年级上·上海闵行·月考）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 【核心考点9·例题精讲 积的乘方逆用】 例1、（北京市大兴区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）计算： ． 【答案】3 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． （1）运用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则进行计算； （2）通过负指数转换和幂的运算性质简化计算． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可； （2）先根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则将各项化简，在合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【核心考点10·例题精讲 同底数幂除法逆用】 例1、（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法及幂的乘方的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 逆用同底数幂除法的运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）已知，．则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关知识点是解题的关键． 根据，可得，即可求解． 【详解】解：， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知，，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先将已知式子通过移项，幂的乘方逆运算进行变形，然后将相关值代入所求式子中即可得解． 【详解】解： ， ， ，，， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【高频考点3——零指数幂、负整数指数幂的概念辨析与计算】 【核心考点12·例题精讲 零指数幂】 例1、（25-26八年级上·云南怒江·月考）的值为（ ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的性质，即任何非零数的零次幂等于1． 由结合零指数幂的性质即可求解． 【详解】解：∵ 时，， ∴ ． 故选：． 例2、（25-26八年级上·山东济宁·周测）若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 例3、满足的整数n有几个（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·四川自贡·月考）当 时，． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．任何非零数的零次幂都等于1，零的零次幂无意义． 【详解】解：若 ， 则底数 ， 解得 ． 故答案为： ． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，解题关键是明确零指数幂中底数不能为． 根据零指数幂有意义的条件，底数不能为． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为 ． 3．（25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为 ． 【答案】2025 【分析】该题考查了零指数幂，根据指数方程的性质，当底数不为0且不等于时，幂为1当且仅当指数为0． 【详解】解：因为底数是无理数与有理数的和，且， 所以，且，， 因此，当方程成立时，当且仅当指数， 解得：． 故答案为：2025． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）上海市依托上海智慧教育平台建设中小学数字教学系统（三个助手），每个学生在三个助手中都有属于自己的二维码．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，序号为，表示该生为7班学生，请写出图3所对应的班级序号 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题关键．由题意可知，图3第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，再根据转换法则计算即可． 【详解】解：图3第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，其序号为， 故答案为：5． 【核心考点13·例题精讲 负整数指数幂】 例1、（25-26八年级上·河北邯郸·月考）（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂的法则：（，为正整数）． 【详解】解：根据负整数指数幂的法则，． 故选：C． 例2、（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，根据相关知识分别计算出，，，再比较大小，问题得解． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2026·山东临沂·模拟预测）的相反数等于（ ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负指数幂和相反数的概念，先求出，再根据相反数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若（其中为正整数，且），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握计算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将转化为，再利用幂的乘方法则和已知条件 进行计算即可． 【详解】解：由负整数指数幂的意义，得 ， 根据幂的乘方法则，， 代入已知条件，得， ； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，幂的运算，涉及负整数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识点． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零则每项均为零，由此求出a和b的值，再代入，根据幂的相关运算法则计算． 【详解】解：由， 因为， 所以，， 解得， 则 ． 故答案为：． 【高频考点4——科学记数法的表示与还原】 【核心考点14·例题精讲 科学记数法】 例1、（25-26九年级上·贵州遵义·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量每日达到9060000000千瓦时．将9060000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的形式为，其中，为整数，对于大数，为正数．解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据科学记数法的一般形式求解即可． 【详解】解：∵， 故选：D． 例2、（25-26八年级上·陕西安康·期末）维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， 故选D． 例3、（25-26七年级上·河南·期末）计算，结果用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为整数； 先计算系数差，再调整指数部分以符合科学记数法规范． 【详解】解：∵ ， ∴结果用科学记数法表示为， 故选：D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）2025年8月16日，第9轮“苏超”联赛在宜兴举行，本场比赛观众人数为24212人，用科学记数法将24212人精确到千位所得的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数和科学记数法．将24212精确到千位，需看百位数字，百位数字为2，，故千位不变，后面各位变为0，得到24000，再用科学记数法表示为． 【详解】解：24212精确到千位，百位数字是2，，故舍去，千位4不变，得到24000． ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）我国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知，则用科学记数法表示是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，理解“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正数；当原数的绝对值小于时，n是负数．”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级上·河北沧州·期中）2024年上半年，河北城市中，唐山和石家庄均超四千亿元．关于数据“四千亿”，下列说法正确的是（ ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．它是一个四位数 D．它是一个十三位数 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法和数的位数，科学记数法系数的绝对值需在1到10之间，数的位数等于指数加1．“四千亿”即． 【详解】∵四千亿， ∴科学记数法正确形式为， 故A错误，B正确； ∵是一个12位数， ∴C和D错误． 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东济宁·月考）天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 6．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）已知1个水分子质量是，1滴水的质量是，1滴水中水分子的数量约是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的除法计算，科学记数法． 计算一滴水中水分子数量，需用总质量除以单个水分子质量，利用科学记数法简化运算． 【详解】解：∵ 一滴水质量， ∴ 水分子数量， 故选：A． 【重点题型专练1——基础计算类：单一法则、混合计算等】 例1、（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 【重点题型专练2——简便运算类:法则逆运用、整体代入等】 例1、（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方、幂的乘方，通过逆用积的乘方、幂的乘方来求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·河南安阳·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可； （2）逆用积的乘方计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期中）【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 【答案】（1）①36，36；②，；（2）；（3） 【详解】解：（1）①，， ②，； 故答案为：①36，36；②，； （2）； 故答案为：； （3） ． 3．（25-26八年级上·河南南阳·月考）李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程． 计算：． (1)请根据小明的批注补全解题过程； (2)请利用小明的解题方法计算：． 【答案】(1)解题过程见解析 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算（的逆用）和有理数的幂运算，解题的关键是将指数相同的项分组，利用积的乘方逆运算简化计算，降低高次幂运算的难度． （1）先将转化为，使其与指数一致；再用积的乘方逆运算合并这两项，得到；最后拆分为，与再次用积的乘方逆运算合并，计算结果． （2）将指数相同的与、与分别分组；每组用积的乘方逆运算计算，再将两组结果相乘得最终答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 4．（25-26八年级上·吉林长春·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，把变形为，然后代入即可求解； （）先由变形为，又（，都是正整数）能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除． 【重点题型专练3——实际应用类：科学记数法的还原、乘除运算等】 例1、（25-26七年级上·山东聊城·月考）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 【答案】(1) (2)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、用科学记数法表示绝对值大于1的数、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）利用分割法，求出图形的面积即可； （2）把米，米代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，求出总费用，然后用科学记数法进行表示即可． 【详解】（1）解：； （2）当米，米， ， ∴（元）． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径为，内径为，每立方米钢的质量为，则台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？ （取，最后结果的数值用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了求圆柱体的体积，科学记数法，解题的关键是熟练掌握体积公式和科学记数法的表示形式． 先根据体积底面积高，求出每台的体积，再求出25台的总质量即可． 【详解】解：每根钢立柱高都是，外径为，内径为， 所以每根的体积， 又钢的质量为， 所以台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是 ． 答：台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是． 2．（25-26七年级上·全国·假期作业）地球上的植物每年能生产克即大卡的有机物质，但实际上人类只能利用，即大卡，若每人每天消耗大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？ 【答案】地球上最多可以养活822亿人口 【分析】本题考查了科学记数法、有理数乘除混合运算的应用，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．先求出人类每天可利用的有机物质，再除以每人每天的消耗，即可求解． 【详解】解：（人） （亿人）， 答：地球上最多可以养活亿人口． 【重点题型专练4——概念辨析类：法则辨析、指数幂概念等】 例1、（24-25七年级下·福建三明·月考）我们学过的正整数指数幂的运算法则有：①同底数幂的乘法法则；②幂的乘方法则；③积的乘方法则；④同底数幂的除法法则．以下在计算式子的过程中，分别运用了哪一条运算法则，请在横线上填入相应序号． 解：             （___________）                              （___________）                                     （___________） 请在下面写出一种与上述不同的解法： 解： 【答案】③②①，不同的解法见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方和积的乘方法则．先根据积的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，另一种算法是先根据同底数幂相乘法则计算括号里面的，再根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：             （③积的乘方）                              （②幂的乘方）                                     （①同底数幂的乘法） 请在下面写出一种与上述不同的解法： 解： （同底数幂的乘法） （幂的乘方）． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【详解】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 2．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 3．（25-26八年级上·河南南阳·月考）代数推理是强大的抽象思维工具，下面让我们利用这一工具，根据除法的意义推导同底数幂的除法法则． 【观察、思考、发现】 因为除法是乘法的逆运算，计算（m、n为正整数，且，）实际上是要求一个式子“？”，使． 【尝试推导】 （1）假设这个式子“？”是（为正整数，待定）， 即应有，即_____， 所以__________，得_____． 因此，要求的式子“？”应是_____． 由同底数幂的乘法法则，可知（ ）_____． 【得出结论】 （2）______（m、n为正整数，且，） 【语言叙述】 （3）用语言概括（2）的结论：同底数幂相除，_____． 【答案】（1）；；；；；； （2） （3）底数不变，指数相减 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则、除法与乘法的逆运算关系以及同底数幂除法法则的推导，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，结合除法是乘法逆运算的性质，通过待定指数建立等式推导结果． （1）根据同底数幂乘法法则，将化为；由等式得指数相等关系，求解得，确定“？”为；再验证同底数幂乘法的结果与一致． （2）根据（1）的推导，直接得出同底数幂除法的结果． （3）将（2）的代数结论转化为文字语言，概括同底数幂除法的法则． 【详解】（1）解：根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得；   已知，即；   ∵同底数幂相等时，指数相等（），   ∴；   解得；   因此，要求的式子“？”应是；   由同底数幂的乘法法则，可知 故依次填：；；；；；；； （2）解：由（1）的推导可知，除法是乘法的逆运算，当时，（、为正整数，且，）．   故答案为：； （3）解：（2）中（、为正整数，且，），用语言概括为“同底数幂相除，底数不变，指数相减”．   故答案为：底数不变，指数相减． 【重点题型专练5——综合拓展类：与整式加减结合、与方程结合、与规律探究结合等】 例1、（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含的代数式表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将式子变形得，再对应相等即可求解； （2）将变形为，继而得到，即可求解； （3）根据题干可得，再化简得，将代入即可求解． 【详解】（1）， ， 解得． （2）， ， ， ， ． （3）， ． ， ． 例2、（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 例3、（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 5 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算的逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方），解题的关键是将所求式子转化为已知底数的幂的形式，利用幂的运算法则逆用计算． （1） 将转化为，代入、求解； （2） 把、16化为以2为底的幂，利用同底数幂乘法法则合并，根据指数相等列方程求． 【详解】（1）解： （2）解： 解得． 2．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.1-1.3 幂的有关运算（讲义） 核心知识 1 同底数幂的乘法 法则 字母表示 举例 同底数幂 乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即（，都是正整数） ˙敲黑板˙ ①同底数幂的乘法法则可以逆用，即（，都是正整数）； ②当幂指数是1时，不要误以为没有指数，如，而不是； ③要注意同底数幂的乘法与整式的加法不可混淆，如是同底数幂乘法，.而是整式的加法，计算时，只能合并同类项，其中和不是同类项，不能合并. ④底数是多项式，且互为相反数时： 方法一：（注意：变奇次幂提负号）； 方法二：（注意：变偶次幂直接变）. 核心知识 2 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 即（、都是正整数）. ˙敲黑板˙ ①幂的乘方中底数可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式； ②幂的乘方可以逆用，即（，都是正整数）. 核心知识 3 积的乘方 法则 字母表示 举例 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （n为正整数） ˙敲黑板˙ ①积的乘方可逆用，即（n为正整数）； ②积的乘方逆运算：，可以理解为同指数幂相乘，指数不变，底数相乘. ③积的乘方有关的简便计算： 例 核心知识 4-1 同底数幂除法 法则 字母表示 举例 同底数幂除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 （，m，n为正整数） ˙敲黑板˙ 同底数幂的除法可逆用，即(，m，n为正整数，并且m>n). 核心知识 4-2 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 即，(0) ˙敲黑板˙ ①(0)，这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成0个a相乘. ② 核心知识 4-3 负整数指数幂 任何不等于零的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数 即（0，n为正整数） ˙敲黑板˙ ①一般地，当p是正整数时，（a≠0) ②负整数指数幂的计算：负指数变正指数，取倒数. ③在有关幂的运算中，最终结果要求化成正整数指数幂的形式. 核心知识 5 科学记数法 一般地，小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数. ˙敲黑板˙在a×10n中，指数的相反数n等于小数点移动的位数. 例： 【高频考点1——幂的运算法则的直接应用与混合运算】 【核心考点1·例题精讲 同底数幂的乘法】 例1、（25-26八年级上·吉林长春·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）若，则 ． 2．（23-24七年级上·上海·期中）计算： （结果用幂的形式表示）． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考） ． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值 ． 【核心考点2·例题精讲 幂的乘方】 例1、（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则的值为（ ） A． B．1 C．8 D．64 例2、（25-26八年级上·河南驻马店·月考）若正整数满足，则下面关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·广西钦州·月考）计算： ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知 （，且），那么x、y应满足（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西南昌·月考）m，n为正整数，若成立，则（ ） A．m必为奇数 B．n必为奇数 C．m，n必同为奇数 D．m，n必同为偶数 5．（24-25八年级上·吉林长春·月考）当，则的值为 ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【核心考点3·例题精讲 积的乘方】 例1、（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（ ） A． B． C． D． 例2、（25-26八年级上·甘肃天水·期末）计算： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 2．（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 5．（2026九年级上·重庆·专题练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【核心考点4·例题精讲 同底数幂除法】 例1、（25-26八年级上·河南南阳·月考）若，□，则“□”内应填的运算符号为（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·上海·月考）的计算结果是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西延安·月考）已知，则的值为 ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）如果，且，，那么 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 【核心考点5·例题精讲 幂的混合运算】 例1、 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是 ． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【高频考点2——幂的运算法则的逆用】 【核心考点7·例题精讲 同底数幂的逆用】 例1、（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，，则的值是 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25九年级上·四川广元·期末）计算 （其中为正整数） 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（ ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【核心考点8·例题精讲 幂的乘方逆用】 例1、（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 例2、（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，为实数，，，则（ ） A． B．1 C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 2．（25-26七年级上·上海闵行·月考）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【核心考点9·例题精讲 积的乘方逆用】 例1、（北京市大兴区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）计算： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）计算： (1) (2) 【核心考点10·例题精讲 同底数幂除法逆用】 例1、（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，则 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）已知，．则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知，，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【高频考点3——零指数幂、负整数指数幂的概念辨析与计算】 【核心考点12·例题精讲 零指数幂】 例1、（25-26八年级上·云南怒江·月考）的值为（ ） A． B．0 C．1 D． 例2、（25-26八年级上·山东济宁·周测）若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3、满足的整数n有几个（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·四川自贡·月考）当 时，． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为 ． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）上海市依托上海智慧教育平台建设中小学数字教学系统（三个助手），每个学生在三个助手中都有属于自己的二维码．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，序号为，表示该生为7班学生，请写出图3所对应的班级序号 ． 【核心考点13·例题精讲 负整数指数幂】 例1、（25-26八年级上·河北邯郸·月考）（ ） A．4 B． C． D． 例2、（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（2026·山东临沂·模拟预测）的相反数等于（ ） A． B．2025 C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若（其中为正整数，且），则 ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ． 【高频考点4——科学记数法的表示与还原】 【核心考点14·例题精讲 科学记数法】 例1、（25-26九年级上·贵州遵义·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量每日达到9060000000千瓦时．将9060000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 例2、（25-26八年级上·陕西安康·期末）维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 例3、（25-26七年级上·河南·期末）计算，结果用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为 . 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）2025年8月16日，第9轮“苏超”联赛在宜兴举行，本场比赛观众人数为24212人，用科学记数法将24212人精确到千位所得的近似数为 ． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）我国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知，则用科学记数法表示是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北沧州·期中）2024年上半年，河北城市中，唐山和石家庄均超四千亿元．关于数据“四千亿”，下列说法正确的是（ ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．它是一个四位数 D．它是一个十三位数 5．（25-26八年级上·山东济宁·月考）天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）已知1个水分子质量是，1滴水的质量是，1滴水中水分子的数量约是（ ） A． B． C． D． 【重点题型专练1——基础计算类：单一法则、混合计算等】 例1、（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【重点题型专练2——简便运算类:法则逆运用、整体代入等】 例1、（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·河南安阳·月考）计算： (1)； (2) 2．（25-26六年级上·山东淄博·期中）【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 3．（25-26八年级上·河南南阳·月考）李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程． 计算：． (1)请根据小明的批注补全解题过程； (2)请利用小明的解题方法计算：． 4．（25-26八年级上·吉林长春·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【重点题型专练3——实际应用类：科学记数法的还原、乘除运算等】 例1、（25-26七年级上·山东聊城·月考）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径为，内径为，每立方米钢的质量为，则台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？ （取，最后结果的数值用科学记数法表示） 2．（25-26七年级上·全国·假期作业）地球上的植物每年能生产克即大卡的有机物质，但实际上人类只能利用，即大卡，若每人每天消耗大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？ 【重点题型专练4——概念辨析类：法则辨析、指数幂概念等】 例1、（24-25七年级下·福建三明·月考）我们学过的正整数指数幂的运算法则有：①同底数幂的乘法法则；②幂的乘方法则；③积的乘方法则；④同底数幂的除法法则．以下在计算式子的过程中，分别运用了哪一条运算法则，请在横线上填入相应序号． 解：             （___________）                              （___________）                                     （___________） 请在下面写出一种与上述不同的解法： 解： 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 2．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 3．（25-26八年级上·河南南阳·月考）代数推理是强大的抽象思维工具，下面让我们利用这一工具，根据除法的意义推导同底数幂的除法法则． 【观察、思考、发现】 因为除法是乘法的逆运算，计算（m、n为正整数，且，）实际上是要求一个式子“？”，使． 【尝试推导】 （1）假设这个式子“？”是（为正整数，待定）， 即应有，即_____， 所以__________，得_____． 因此，要求的式子“？”应是_____． 由同底数幂的乘法法则，可知（ ）_____． 【得出结论】 （2）______（m、n为正整数，且，） 【语言叙述】 （3）用语言概括（2）的结论：同底数幂相除，_____． 【重点题型专练5——综合拓展类：与整式加减结合、与方程结合、与规律探究结合等】 例1、（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 例2、（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 例3、（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 2．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 3．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $