第14讲 实际问题与二元一次方程组（4个知识点+15大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第14讲 实际问题与二元一次方程组（4个知识点+15大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 新定义问题 题型十五 三元一次方程组的应用 知识点一：列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·月考）现有辆载重吨的卡车运一批重吨的货物，若每辆卡车装吨，则剩下吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键．根据题意找到等量关系，列出方程组，即可求解． 【详解】解：辆载重吨的卡车运一批重吨的货物，每辆卡车装吨，则剩下吨货物可得； 每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装吨，可得； 或 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元，设送件报酬为元/件，揽件报酬为元/件，根据题意，可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，读懂题意，根据提议找出等量关系列出方程是解本题的关键． 根据题目中的送件数、揽件数和总报酬，建立二元一次方程即可． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 知识点二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 【即时训练】 1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）为了绿化环境，某工厂计划种树1000棵，该任务由甲、乙两个绿化队先后接力完成，已知甲绿化队每天种树150棵，乙绿化队每天种树200棵，两个绿化队完成该任务共需6天，小欣、小亮两位同学所列的方程组如下表所示，则下列选项中正确的是（   ） 小欣 小亮 解：设甲绿化队种了x天，乙绿化队种了y天完成任务，根据题意得 解：设完成任务甲绿化队种树m棵，乙绿化队种树n棵，根据题意得 A．只有小欣列出的方程组正确 B．只有小亮列出的方程组正确 C．小欣和小亮列出的方程组都正确 D．小欣和小亮列出的方程组都不正确 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意分别分析每个方程是否合理即可． 【详解】解：设甲绿化队种了x天，乙绿化队种了y天完成任务， 根据题意得， 因此，小欣的方程组正确； 解：设完成任务甲绿化队种树m棵，乙绿化队种树n棵， 根据题意得 因此，小亮的方程组也正确． 综上，小欣和小亮列出的方程组均正确， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东临沂·月考）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图1的算筹图得到图2所示的算筹图所表示的方程组，解方程组，即可求解；理解算筹图是解题的关键． 【详解】解：图2所示的算筹图所表示的方程组为 ，解得：； 故答案：． 知识点三：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（2025·重庆·模拟预测）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每袋粽子售价降低x元，根据利润=（定价-进价）×销售量，列出方程即可． 【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时， 每袋粽子的利润是：（16x10)元，每天的销售量是：(200+80x)袋， 故可列方程为：(16x10)(200+80x)=1440， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．（24-25七年级上·山西运城·期末）某商店在十一“黄金周”期间，以每件1200元购进一种商品．为了促销，如果将该商品按标价打八五折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这种商品的标价是x元，根据该商品的利润率为列方程即可． 【详解】设这种商品的标价是x元，由题意得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 知识点四：二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·周测）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖．规定在同一环内（分为内环和外环）得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是（   ） A．20分 B．22分 C．23分 D．25分 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得分分，投中内环得分，根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设投中外环得分分，投中内环得分， 依题意，得：， 解得：， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料 L，乙种原料 L． 【答案】 7 5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设甲种原料购买了，乙种原料购买了，根据该种营养液含的钾，购买原料共花费82元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了， 根据题意得：， 解得：， 即甲种原料购买了，乙种原料购买了． 故答案为：7；5． 【核心考点一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）我国明代数学书《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩下4两；若每人9两，则差8两，若客人为x人，银子为y两，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据每人分7两剩余4两，每人分9两差8两，列出关于x和y的方程，即可作答． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两， ∵ 每人7两，还剩4两， ∴ ， ∵ 每人9两，则差8两， ∴ ， ∴ 方程组为， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克原料中蛋白质和铁质的含量如下表． 原料类别 每克原料中蛋白质和铁质的含量 蛋白质 铁质 甲原料 单位 1单位 乙原料 单位 单位 如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？设每餐用甲种原料x克、乙种原料y克，则x和y满足的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组．根据甲、乙原料的蛋白质和铁质含量及患者需求，结合表格数据，得蛋白质需求对应，铁质需求对应，据此建立关于x和y的方程组，即可作答． 【详解】解：∵甲原料每克含蛋白质单位，乙原料每克含蛋白质单位，患者需要蛋白质35单位， ∴， ∵甲原料每克含铁质1单位，乙原料每克含铁质单位，患者需要铁质40单位， ∴ ， ∴方程组为， 故选A． 【例3】（2026七年级下·吉林·专题练习）某公司为奖励获奖员工，花了元购买了两种奖品共件，已知A奖品每件元，B奖品每件元．设A奖品有件，B奖品有件，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，A和B奖品总件数为件，总花费为元，由此列出二元一次方程组 【详解】解：设A奖品有x件，B奖品有y件，故可列方程组为：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺．设绳索长x尺，竿长y尺．根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据题意作答即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺 ∵用绳索去量竿，绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺， ∴， ∴ 故答案为： 【核心考点二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的面积为（       ）    A．540 B．630 C．210 D．102 【答案】B 【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长小长方形的宽；小长方形的长+宽，据此可以列出方程组求解． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y． 由图可知：， 解得， ∴长方形的长为，宽为21， ∴长方形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题主要题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·广东清远·期中）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在甲图中， 个小长方形的长个小长方形的宽，在乙图中，个小长方形的宽个长方形的长厘米，用含有，的代数式分别表示出等量关系即可求得答案． 【详解】在甲图中， 个小长方形的长个小长方形的宽，在乙图中，个小长方形的宽个长方形的长厘米，可得 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据几何图形列二元一次方程组，解题的关键是找到等量关系，并用含有未知数的代数式表示出等量关系． 【例3】（24-25七年级下·河南新乡·月考）如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为 ．    【答案】 【分析】由比大可得方程，由对顶角相等可得，即可得到方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．    【答案】5 【分析】根据图中的数据列得，整理即可． 【详解】由题意得：， 整理得： ， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，正确理解图中边长之间的关系是解题的关键． 【核心考点三 方案问题】 【例1】（25-26七年级上·广东汕头·开学考试）一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱．大纸箱能装20包糖果，小纸箱能装12包糖果．现在共有136包糖果，用了8个纸箱刚好装完．其中小纸箱用了（   ）个． A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】这道题主要考查了鸡兔同笼问题的相关知识点，运用了假设法来解决实际的数量分配问题，掌握这种方法是解题的关键． 通过先假设全部使用大纸箱，计算出与实际包装数量的差值，再根据大、小纸箱装货量的差异，求出小纸箱的数量． 【详解】解：假设全用大纸箱：8个大纸箱能装（包）， 多装的数量：（包）， 小纸箱个数：每个大纸箱比小纸箱多装 (包）， 所以小纸箱有（个）． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，列出方程组，结合x，y，n是正整数求解即可． 【详解】解：设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 依题意，得：， ，得：，即， ∵y为正整数， ∴n的个位数字为0或5． 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货 吨． 【答案】1.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意得，， ，得， ∴， 即辆大货车比辆小货车一次多运货吨， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 【答案】33.5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组， 求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可． 【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物， 由题知，， 解方程组得 用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物． 故答案为：33.5． 【核心考点四 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟，根据顺风5分钟走1000里及逆风5分钟走了600里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟， 依题意，得 解得 答：风的速度为40里/分钟． 故选B． 【例2】（24-25七年级下·湖南娄底·期中）甲、乙两地相距880km，小轿车从甲地出发2h后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4h两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20km，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据行程问题的特点列出方程组即可解答. 【详解】解：设大客车每小时行，小轿车每小时行， 则可列方程组为：； 故选：C. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为 km/h． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲的平均速度是 km/h,乙的平均速度是 km/h，根据“若同向而行，甲h可追上乙；若相向而行，h相遇”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的平均速度是 km/h，乙的平均速度是 km/h， 依题意得：，解得：． 答：甲的平均速度是km/h，乙的平均速度是km/h. 故答案为：. 【例4】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 ． 【答案】从甲地到乙地的上坡路程 【分析】设从甲地到乙地的上坡路为，平路为，根据保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组，据此解答即可． 【详解】 解：设从甲地到乙地的上坡路为，平路为， 依题意得， 方程组中x表示从甲地到乙地的上坡路程， 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． 【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 【核心考点五 工程问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 【例2】（24-25七年级下·贵州六盘水·月考）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产 个零件，乙每天生产 个零件． 【答案】 15 12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求解． 设甲每天做个，乙每天做个，等量关系为：甲5天生产的零件甲乙3天生产的零件，乙5天生产的零件甲乙3天生产的零件，列方程组求解． 【详解】解：设甲每天做个，乙每天做个， 由题意得：， 解得：， 答：甲每天做15个，乙每天做12个． 故答案为：15，12． 【例4】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 【核心考点六 数字问题】 【例1】（24-25七年级下·广东湛江·期末）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　） A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42 【答案】A 【分析】设原来的两个加数分别为和，小明将后多写一个0，即x扩大10倍，得到；小亮将后多写一个0即y扩大10倍，得到，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设原来的两个加数分别为和， 根据题意，得， 解得． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河北承德·期末）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息求（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n， 根据题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 【例4】（24-25七年级下·北京·期中）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是 ． 【答案】615 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个三位数为． 故答案为：． 【核心考点七 年龄问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【例4】（2025·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 【答案】70 【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可． 【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁， 根据题意：， 解得：， 故答案为：70． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 【核心考点八 分配问题】 【例1】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出列方程组所需的等量关系．根据题意和表格中的数据，列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 【例4】（2025七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 【核心考点九 销售、利润问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·月考）根据所给信息，则买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．34元 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设购买一只玩具小猫需要x元，一只玩具小狗需要y元，则根据题意可得，然后问题可求解． 【详解】解：设购买一只玩具小猫需要x元，一只玩具小狗需要y元，由题意得： ， 得：， ∴， ∴购买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要40元； 故选C． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%．将某种果汁饮料每瓶的价格上调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，根据题意，列出方程组即可． 【详解】解：设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元， 由题意得，． 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键． 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是 元，型风扇进货的单价是 元． 【答案】 10 16 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题干信息，设、型风扇的进货的单价分别为、元，根据等量关系列二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元， 由题意，得： 解得： 故型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元． 故答案为：①10；②16． 【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是 元和 元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 【核心考点十 和差倍分问题】 【例1】（24-25七年级下·四川内江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克， 由题意，得：，解得：， ∴一块巧克力的质量为； 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·月考）欣欣幼儿园购买了90张等边三角形彩纸与50张正方形彩纸（如图1），准备制作如图2所示的甲、乙两种图案，如果购买的彩纸刚好全部用完，则可以制作甲、乙两种图案共（　　） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【答案】C 【分析】设制作甲种图案x个，乙种图案y个，根据购买的彩纸刚好全部用完，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设制作甲种图案x个，乙种图案y个， 由题意可得：， 解得：， ∴可以制作甲、乙两种图案共个， 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是准确找到等量关系． 【例3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 【答案】14 【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案． 【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， 则； 解得：， ∴(30-6)，， ∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 【例4】（24-25七年级·全国·课后作业）一群学生结对去郊外春游，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：假设每个人都看不到自己头上戴的帽子，则每位男生看到白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到白色帽子是红色的2倍；则这群学生共有 人． 【答案】7 【分析】设其中的男生有x人，女生有y人，根据每位男生看到白色与红色的帽一样多，再根据每位女生看到白色的帽是红色的2倍列方程组求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人， 由题意得出：， 解得：， 则x+y=7． 答：这群学生共有7人， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，注意每个人看的时候，应当是这部分的人数减去1，才是看到的人数是解题关键． 【核心考点十一 几何问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据两个大长方形点的长相等，列出二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故选D． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）用如图①中的正方形和长方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将两种纸板全部用完，则的值可能是（    ）    A．200 B．201 C．202 D．204 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个， ，观察图②，可知竖式纸盒需要正方形纸板1块，长方形纸板4块，横式纸盒需要正方形纸板2块，长方形纸板3块，根据题意列方程组，再求的值． 【详解】解：设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个， 由题意可得： ∴， ∵x，y均为整数， ∴为5的倍数， 而四个选项中只有200是5的倍数． 故选A． 【例3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解此题的关键是能准确地从图中找出角之间的数量关系，从而列出方程组． 【详解】解：由的度数比的度数大可得：， 再从图中可看出， 即， 由此可列二元一次方程组为：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·天津西青·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为， 由题意，得 ①－②，得， 解得． 故答案为：． 【核心考点十二 图表信息题】 【例1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 【例2】（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键． 【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得 ， 解得， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 【答案】32分 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设大圈内，小圈内得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可，根据小方、小军一次各得分数乘以各自的次数，计算出总分即可． 【详解】解：设大圈内，小圈内得分分别为，分， 依题意得：， 解这个方程组得：， 答：小方、小军一次各得5分、9分， 则小红的得分是（分）． 故答案为：32分． 【例4】（24-25七年级下·河北沧州·期中）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题： 若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下） 【答案】1或5或19 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，得一个小球上升，设同时放入个小球和钢珠，水位上升到47厘米，则，即可． 【详解】解：由题意得，一个小球上升， ∴设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米， ∴， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 其他数值均不能得到整数， ∴整数值可以取：1或5或19． 故答案为：1或5或19． 【核心考点十三 古代问题】 【例1】（25-26八年级上·河北张家口·月考）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有个，耧有个，则可列出方程组（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设耠子有个，耧有个，根据耠子和耧共有个，共有条腿，列方程组即可． 【详解】解：设耠子有个，耧有个， 根据题意得， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有只雀、只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将只雀、只燕交换位置而放，重量相同，只雀、只燕重量为斤．问燕、雀每只各重多少？（注：古代斤两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“只麻雀和只燕子一共重两；只麻雀和只燕子的重量等于只麻雀和只燕子的重量”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·山西晋城·月考）《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用关键题意正确列出方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案： ①设井深为x尺，列方程为；②设绳长为y尺；③设绳长、井深分别为a尺，b尺，则， 其中正确的是 （填序号）. 【答案】②③/③② 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．用代数式表示绳长或井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺． 【详解】解：①设井深尺，两次测量绳长不变，可列方程． ②设绳长为尺，两次测量井深不变，可列方程； ③设绳长、井深分别为尺，尺，列方程组为， 其中正确的是②③， 故答案为：②③． 【核心考点十四 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义、两个已知等式的值可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据新运算的定义即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新运算的定义是解题关键． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点， ∴ ， ∴， 解得， ∴三角形内部格点的个数为， 故选：． 【例3】（24-25七年级下·四川乐山·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．根据已知新运算列二元一次方程组，求出、的值，得到，再计算求值即可． 【详解】解：，，， ，解得：， ， ， 故答案为：11 【例4】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）定义：对于任意一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“不偏不倚数”；将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令；将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到个新数，令．若被143除余121，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】8943 【分析】设自然数的千位数字是a，百位数字是b，千位数字与十位数字的和与百位数字与个位数字的和为x，则十位数字为，个位数字为，从而得， ，且，即，则，，所以，，再根据被143除余121，所以设，y为正整数，则，要使m为最大，则、；当、时，可得求得，，则十位数字为，个位数字为即可解答． 【详解】解：设自然数的千位数字是a，百位数字是b，千位数字与十位数字的和与百位数字与个位数字的和为x，则十位数字为，个位数字为， ∴， ， 且，即， ∴， ∴， ∵被143除余121， ∴设，y为正整数， ∴ ∵要使m为最大且， ∴，， 当，时，， ∵x是千位数字与十位数字的和， ∴， 又∵y为正整数， ∴，， ∴十位数字为，个位数字为 ∴满足条件的的最大值为8943． 故答案为：8943． 【点睛】本题考查多元一次方程的应用、求不定方程的解等知识点，根据要使m为最大求得、是解题的关键． 【核心考点十五 三元一次方程组的应用】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【答案】D 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键． 设其中有a个0，b个，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可． 【详解】解：∵是从0，，2这三个数中取值的一列数， ∴设其中有a个0，b个，c个2，则； ∵ ∴； ∵ ∴ 联立得到， 解得， ∴在数中，取值为2的数有200个． 故选：D． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期中）请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意，列出三元一次方程组，解出即可． 【详解】解：设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意得： ， 由得：④， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴， 即图中的“？”表示的数是70． 故答案为：70 【例4】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【答案】130 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键． 设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方程求解即可． 【详解】解：设桌子的高度为，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为， 由第一个图可知，， 由第二个图可知，， 即， 两式相加可得，解得， 所以桌子的高度为． 故答案为：130 ． 【变式训练1 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某酒厂有大、小两种存酒的木桶．已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升．如果设1个大桶和1个小桶分别可以盛酒x升、y升，请列出二元一次方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是理解题意；由“5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升”可直接列出方程组即可． 【详解】解：由“5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升”可得方程为； 由“1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升”可得方程为； 综上可得二元一次方程组为． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【答案】上坡路  和平路 【分析】分析题意，由已知设出未知数，找出题目中所含的等量关系列出二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路有，平路有， 根据题意，得解得 答：上坡路和平路分别为和． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目中的等量关系列出方程组是解决此题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，已知边长分别为x、y的两个正方形，其面积之差为24． (1)根据题意，请你列出一个关于x、y的方程组； (2)请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； (3)分别求两个正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)这两个正方形的面积分别为25和1． 【分析】本题考查的是利用图形性质建立方程组，平方差公式的应用，二元一次方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）由边长之和与面积之差列方程组即可； （2）由，，可得，从而可得答案； （3）先解方程组，再求解正方形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）∵，． ∴． ∴． ∴ （3）∵， 解得： ∴，， ∴这两个正方形的面积分别为25和1． 4．（25-26八年级上·河北张家口·月考）河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 【答案】；；70； 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意得到y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：y包B种食品的含量热量为，蛋白质，所需蛋白质总量为，根据题意，得 ， 解得， 所以应选用A种食品4包，B种食品2包． 故答案为：，，70；． 【变式训练2 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（24-25八年级上·陕西铜川·月考）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·月考）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 【变式训练3 方案问题】 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【答案】A种车型有45个座位，B种车型有60个座位 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可． 【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位， 由题意得，， 解得， ∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位， 答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位． 2．（24-25七年级下·河南南阳·月考）在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，正确分析问题中的等量关系是列方程组的基础．将题目的条件通过填表进行有关数量关系的整理，从而发现等量关系，这也是一种较常见的分析方法．请尝试用列表的方法分析下面这个问题： 某步行街摆放有若干盆甲、乙两种造型的盆景，甲种盆景每盆由15朵红花、24朵黄花搭配而成，乙种盆景每盆由10朵红花、12朵黄花搭配而成．这些盆景共用了2600朵红花、3840朵黄花，请问该步行街摆放甲、乙两种造型的盆景各多少盆． 设摆放甲种造型的盆景 x 盆，摆放乙种造型的盆景y盆． (1)根据题中数量关系，填写表格： 红花/朵 黄花/朵 甲盆景（x盆） 乙盆景（y盆） 合计/朵 (2)列出方程组 并求解． 【答案】(1)见解析 (2)摆放甲种造型的盆景 120 盆，摆放乙种造型的盆景80盆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）根据题意填表即可； （2）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题中数量关系，填写表格： 红花/朵 黄花/朵 甲盆景（x盆） 15x 24x 乙盆景（y盆） 10y 12y 合计/朵 2600 3840 （2）解：由题意，列方程组， 原方程组可化为：， 解得， 答：摆放甲种造型的盆景 120 盆，摆放乙种造型的盆景80盆． 3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，假设消费金额已满足所有优惠券的使用条件，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 (2)若小温同时使用了A型和B型优惠券共5张，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 【答案】(1)5 (2)他使用了A型2张，B型3张． (3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【分析】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可； （2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可； （3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案． 【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)， 则她用了5张B型“优惠券”； （2）解：设她使用了A型x张，B型y张． 根据题意可得 解得 答：她使用了A型2张，B型3张． （3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张． 根据题意可得三种情形： ①若小温使用了A，B型优惠券，则有 化简为： ∵a，b都为整数，且， ∴， ②若小温使用了B，C型优惠券，则有 化简为： ∵b，c都为整数，且， ∴， ③若小温使用了A，C型优惠券，则有 化简为： ∵a，c都为整数，且， ∴无解． 综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 4．（2025·安徽·模拟预测）某校进行校本课程时，要求学生们围桌而坐，桌子及座位（长方形表示桌子，黑点表示座位）摆放有以下两种方式可供选择： 请根据上述信息，解决下列问题： (1)若有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐 人． (2)若有n张桌子，按第二种方式摆放，最多可坐 人． (3)无人机兴趣小组共有32名同学．分成2个小组，现有10张桌子，请你设计出一种座位恰好坐满的摆放方式． 【答案】(1)22 (2) (3)张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放， 【分析】本题考查图形类规律探究，二元一次方程组的实际应用，根据已有图形，找到规律，是解题的关键： （1）观察可知，按照第一种方式摆放，每多放一张桌子，就多坐4人，进行求解即可； （2）观察可知，按照第一种方式摆放，每多放一张桌子，就多坐2人，进行求解即可； （3）设张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，按照第一种方式摆放，只放1张桌子时，可坐6人，每多放一张桌子，就多坐4人， 故当有张桌子时，最多可坐人； ∴有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐（人）； 故答案为：22； （2）观察可知，按照第二种方式摆放，只放1张桌子时，可坐6人，每多放一张桌子，就多坐2人， 故当有张桌子时，最多可坐人； 故答案为：； （3）设张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放， 由题意，得：， 解得：； 故张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放，即可满足题意． 【变式训练4 行程问题】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可. 【详解】解：设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米， 根据题意，得， 解得， 答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 4．（2025七年级下·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 【变式训练5 工程问题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 【答案】工程队清理了河道，工程队清理了河道 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组． 先设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，根据题意列出方程组求解，再求，工程队分别清理了的河道长度． 【详解】解：设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道， 则，解得：， ∴工程队清理了（）河道， 工程队清理了（）河道， 答：工程队清理了河道，工程队清理了河道． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 3．（2025·宁夏银川·二模）黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数 (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米 【分析】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数米，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数天，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x米，B工程队整治河道的米数为y米，由此列出的方程组为 ； 故答案为： A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）选甲同学所列方程组解答如下： ， 得：， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：米， B工程队整治河道的米数为：米； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【答案】(1)①表示工程队的工作时间；②表示工程队工作时间；③表示工程队的工作量；④表示工程队的工作量． (2)；． (3) 【分析】（1）根据题意及二元一次方程组可知表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间，表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）根据工程队完成原计划河道整治任务可知工程队的完成的任务为米进而即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴表示工程队的工作时间，表示工程队的工作时间， 故答案为：表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间； ∵， ∴表示工程队的工作量，表示工程队的工作量， 故答案为：表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 设工程队的工作量为米，工程队的工作量为米， ∵两个工程队的工作总量为米，两队的工作时间为天， ∴， （3）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 解得：， ∵工程队完成原计划河道整治任务， ∴工程队的完成的任务为（米）， ∵河道整治总任务为（米） ∴剩下的任务为（米）, ∵工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务， ∴完成任务的时间为天， ∴工程队现在每天需整治的天数为（米）， 答：工程队现在每天需整治米河道． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，掌握二元一次方程组与实际问题是解题的关键． 【变式训练6 数字问题】 1．（24-25七年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 2．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 4．（24-25七年级下·江西抚州·月考）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【答案】（1）①②③；（2），．表见解析 【分析】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）根据有理数的运算法则计算即可解决问题． （2）由幻方的性质求得，再根据题意求得，；再根据规律以及，列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①，；①正确； ②，；②正确； ③，；③正确； ④，；④不正确； 故答案为：①②③； （2）根据题意得， ， ； ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 填表： 4 9 8 11 7 3 6 5 10 【变式训练7 年龄问题】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 2．（24-25七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 4．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得： ， 解得： ． 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练8 分配问题】 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得： 解得． （张）． 答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 4．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (2)共有2种方案可供选择，方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购m个竖式容器，n个横式容器，由题意可知，列出所有情况即可． 【详解】（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得， 解得． 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得， ． 又，n均为正整数， 或． 共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 【变式训练9 销售、利润问题】 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）旅居海外的熊猫“丫丫”的健康牵动着亿万中国人的心．据报道，不少热心网友为丫丫送去了竹子．大熊猫常吃的竹子有筇竹和箭竹．若购买4根筇竹和2根箭竹共需70元，购买2根筇竹和3根箭竹共需65元．购买1根筇竹、1根箭竹各需多少元？ 【答案】购买1根笻竹需10元，1根箭竹需15元 【分析】设购买1根笻竹需元、1根箭竹需元， 根据题意得：，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设购买1根笻竹需元、1根箭竹需元， 根据题意得：， 解得：， 答：购买1根笻竹需10元，1根箭竹需15元. 2．（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期末）2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕。吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴一共1000个，其中一个“喜洋洋”进价12元，一个“乐融融”进价15元，总共花费13800元．在销售过程中“喜洋洋”、“乐融融”标价分别为20元/个、25元/个． (1)“喜洋洋”的单件利润为 元，“乐融融”的单件利润为 元； (2)求购进“喜洋洋”和“乐融融”各多少个？ (3)当“喜洋洋”、“乐融融”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“喜洋洋”和“乐融融”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，请直接写出m的值． 【答案】(1)8，10 (2)购进“喜洋洋”400个，购进“乐融融”600个 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是由数量关系建立等式． （1）根据“利润标价－进价”进行计算即可； （2）设购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个．根据一个“喜洋洋”进价12元，一个“乐融融”进价15元，总共花费13800元，可列方程求解即可； （3）按标价卖出的“喜洋洋”利润为元，按标价卖出的“乐融融”利润为元．“喜洋洋”打八折后的售价为元，单件利润为元，剩余个，这部分利润为元．“乐融融”打八折后的售价为元，单件利润为元，剩余个，这部分利润为元．列出方程求解． 【详解】（1）解：“喜洋洋”的单件利润为：（元）； “乐融融”的单件利润为：（元）． 故答案为：8，10； （2）解：设购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个．可列方程：， 解得：． 则（个）． 答：购进“喜洋洋”400个，购进“乐融融”600个； （3）解：由题意可列方程： 解得：． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为元千克，元千克．    素材 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重千克，价格元． 素材 小温恰好用元各买了若干份，型什锦糖． 问题解决 任务 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？ 任务 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 【答案】任务：每份什锦糖的单价为元 任务：每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 任务：根据总价÷数量=单价进行计算即可； 任务：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克，根据题意可列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：任务：每份什锦糖的单价为（元）， 答：每份什锦糖的单价为元； 任务：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克， 由题意得， ， 解得， 即每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）双十一期间，某超市开展促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材探索完成任务． 生活中的数学问题 素材1 该超市有大瓶和小瓶两种型号的A品牌牛奶，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元． 素材2 小文在超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了89元． 问题解决 任务1 小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由． 任务2 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，则小文购买的A品牌的大瓶牛奶和小瓶牛奶分别为多少瓶？ 【答案】任务1：理由见解析；任务2：购买A品牌的大瓶牛奶为3瓶，小瓶牛奶为5瓶 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键． 任务1：设A品牌的大瓶牛奶买了瓶，A品牌的小瓶牛奶买了瓶，根据一共买了8瓶牛奶，花费为89元建立方程组求解即可； 任务2：设小文购买的A品牌的大瓶牛奶为瓶，A品牌的小瓶牛奶为瓶，根据一共买了8瓶牛奶（其中一瓶大瓶牛奶打折），花费为89元建立方程组求解即可． 【详解】解：任务1：设A品牌的大瓶牛奶买了瓶，A品牌的小瓶牛奶买了瓶． 由题意得， 解得， ∵均为整数， ∴按原价购买，不可能是89元； 任务2：设小文购买的A品牌的大瓶牛奶为瓶，A品牌的小瓶牛奶为瓶， 由题意得， 解得， 答：小文购买的A品牌牛奶大瓶为3瓶，小瓶为5瓶． 【变式训练10 和差倍分问题】 1．（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学模拟预测，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 2．（24-25七年级下·北京西城·期中）列方程（组）解应用题 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？ 【答案】造型3的成本是22元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可． 【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：造型3的成本是22元． 3．（2025七年级下·山西·专题练习）“一年之计在于春，一日之计在于晨”．为了让学生吃上干净卫生，营养丰富的早餐，某校计划为在校学生提供，两种套餐．每份套餐都包含一份全麦面包，一颗煮鸡蛋和一盒牛奶（牛奶品牌不同）．已知每份套餐5元，每份套餐7元，据统计该校共有300名学生订这两种早餐，每天早餐费共1700元． (1)求该校订，两种早餐的人数分别是多少； (2)种早餐的标准质量都是300克，其中每颗煮鸡蛋的质量为60克．全麦面包、鸡蛋、牛奶的蛋白质含量如下表． 全麦面包 牛奶 鸡蛋 为了给学生提供充足的营养支撑，学校要求每份早餐至少为学生提供18克的蛋白质、求每份种营养早餐中全麦面包的质量至少为多少克． 【答案】(1)订种早餐的人数为200人，订种早餐的人数为100人 (2)50克 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）订种早餐的人数为人，订种早餐的人数为人，根据“已知每份套餐5元，每份套餐7元，据统计该校共有300名学生订这两种早餐，每天早餐费共1700元”建立二元一次方程组求解； （2）设每份种早餐中全麦面包的质量为克，根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：订种早餐的人数为人，订种早餐的人数为人． 根据题意，得， 解得， 答：订种早餐的人数为200人，订种早餐的人数为100人． （2）解：设每份种早餐中全麦面包的质量为克． 根据题意，得． ， 答：每份种早餐中全麦面包的质量至少为50克． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学游艺会上，小勇负责一个游戏项目“猜猜哪个数最大”，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取3张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这3张卡片分别记为A，B，C，小勇依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． (1)下表是小勇抽取的三张卡片A，B，C中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，A 两数的和 64 50 32 确定哪张卡片上的数最大，并说明理由； (2)若小勇改变游戏规则，随机抽出4张卡片，分别记为D，E，F，G，他将卡片上的数之间存在关系的部分信息告诉参与者，让参与者说出这4张卡片中最大的数．已知提供的信息：卡片F上的数是卡片D上的数的3倍，卡片G上的数是卡片E的2倍，且这四张卡片上的数总和为20．求这四张卡片中最大的数是多少？ 【答案】(1)卡片B上的数最大，理由见解析； (2)这四张卡片中最大的数是8． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设卡片A上的数为x，则卡片B上的数为，卡片C上的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）设卡片D，E上的数分别为m，n，则卡片F，G上的数分别为，，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设卡片A上的数为x， 根据题意得：卡片B上的数为，卡片C上的数为， ， 解得：， ∴卡片A，B，C上的数分别为23，41，9， ∴卡片B上的数最大； （2）解：设卡片D，E上的数分别为m，n，则卡片F，G上的数分别为，， 根据题意，得， ， ∵m，n为正整数， ∴， ∴这四张卡片的数分别为2，4，6，8 ∴这四张卡片中最大的数是8． 【变式训练11 几何问题】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，结合图形列出方程是解题的关键． 设每块地砖的长与宽分别为，，根据图形列出方程计算即可； 【详解】设每块地砖的长与宽分别为，， 由题意：， 解得：； 答：每块地砖的长与宽分别为，． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 3．（25-26七年级上·北京·月考）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 860 第三次 500 1002 第四次 1000 2000 (1)利用第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各多少个？ (2)仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由． 【答案】(1)40个，260个 (2)第三次记录有误，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 对于（1），先设制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，再根据长方形和正方形的纸板总数相等列出方程组，再求出解即可； 对于（2），先根据方程组的特点先求出，再根据是否能被5整除即可判断答案． 【详解】（1）解：设制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据题意，得 解得， 所以第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各为40个，260个； （2）解：第三次记录有误，理由如下： 由（1），根据题意，得 可知， 即， 所以第二次领取的纸板能用完； 同理：， 所以第三次领取的纸板不能用完； 同理：， 所以第四次领取的纸板能用完． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）长乐栽培龙眼历史悠久，据文献记载宋光宗皇帝曾赐匾青山龙眼为“黄龙”．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对龙眼种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2021年龙眼平均年产量是万吨，2023年达到了万吨，每年的增长率基本相同． 素材二 龙眼一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买用美观漂亮的其它造型的纸盒包装的龙眼． 任务1：设龙眼产量的年平均增长率为，根据素材一列方程得______； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的龙眼，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求纸盒的底面边长．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计．，结果取整数） 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】任务：设龙眼产量的年平均增长率为x，则根据“2021年龙眼平均年产量是2.8万吨，2023年达到了3.2万吨，”列方程即可； 任务2：由图可得裁掉正方形的边长即为图长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； 任务3：设底面正六边形为，底面正六边形的边长为，纸盒的高为，，和交于点，和交于点，根据正六边形的性质求得为的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：任务1：根据题意：； 任务2：设裁掉正方形的边长为，根据题意，得 解得，（不合题意，舍去）， 答：此时纸盒的高为； 任务3：设底面正六边形为，连接，，，和交于点， 和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，； 设底面正六边形的边长为，纸盒的高为， ∵正六边形的每条边相等，每个内角都为， ∴为等腰三角形，， ∴， 由正六边形的性质可得平分， ∴，    ∴， ∴，   同理可得； ∵，    ∴①， ∵左侧小三角形顶点的角度， ∴左侧小三角形是边长为的等边三角形， 根据图形的轴对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， ∴为等边三角形的高，    ∴   同理可得； ∵四边形是矩形，   ∴； ∵，    ∴②， 联立①②式可得， 答：纸盒的底面边长约为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，对称的性质，解二元一次方程组；掌握正六边形的性质是解题关键． 【变式训练12 图表信息题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 【答案】x的取值为，y的取值为1 【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 即x的取值为，y的取值为1． 2．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下表是某校七年级至七年级下某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 七年级下 7 请将七年级下课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见解析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设七年级下活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设七年级下文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 七年级下 7 2 2 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 4．（24-25七年级上·上海·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，找出关于a，b的方程（或方程组）是解题的关键． （1）根据“等和格”的定义，即可得出，变形后即可用含b的代数式表示出a； （2）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值； （3）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元二次方程组，方程①变形后可得出方程③，方程②变形后可得出方程④，再将③代入④中即可求出b的值． 【详解】（1）解：依题意得：， ． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：． 故答案为：；2． （3）依题意得：， 由①可得：③， 由②可得：④， 将③代入④中得：． 故答案为：． 【变式训练13 古代问题】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 4．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【答案】(1)见解析 (2)每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一） (3)①，，，；②，方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）每只雀重量x两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，此题得解； （2）根据（1）即可得解； （3）①根据（1）（2）即可得解； ②每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】（1）解：设每只雀重量x两， 用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 （2）设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两， 即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一）； （3）①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为． 故答案为：，，，； ②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为， 从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具． 故答案为：，方程组． 【变式训练14 新定义问题】 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）解：根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴的值为或； （3）解：解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义：数轴上点，表示的数叫做点和点的坐标，且线段的长度可以利用数轴上右侧点的坐标减去左侧点的坐标来表示，如图，数轴上点和点的坐标分别为和1. (1)设数轴上两点，的坐标分别为，． ①当点，重合，则__________；当时，则线段的长度为_________； ②若，求的值； (2)设数轴上两点，的坐标分别为，，点在点的右侧，若，，求和的值． 【答案】(1)①；7；②或 (2)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、数轴以及坐标与图形性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）①由点M，N重合（即点M，N的坐标相同），可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，代入，可求出点M，N的坐标，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出线段的长度； ②由，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x的值； （2）由点N在点M右侧，可得出，由，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合，即可确定结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 解得：， 当时，点M的坐标为，点N的坐标为， ， 故答案为：①；7； 根据题意得：， 即或， 解得：或； （2）因为点在点右侧，所以且 因为，所以，因为，所以， 或或或 所以或或或， 因为， 所以或或． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 4．（24-25七年级上·山西晋中·月考）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： （1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为 ； （2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为 ； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴．    操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ， 【答案】经验反馈：（1）；（2）5 操作探究：操作一：5；操作二：①6，② 【分析】经验反馈： （1）根据平衡点的定义进行解答即可； （2）根据平衡点的定义进行解答即可； 操作一、二：根据两个点对折重合，可求出对折点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，求出该点所对应的数． 【详解】解：经验反馈： （1）点表示的数； 故答案为：； （2）点表示的数； 故答案为：5； 操作一：表示1的点与表示的点重合，即对折点所表示的数为， 设这个数为，则有，解得，， 故答案为：5； 操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为， ①设与表示的点重合，则有，解得，， 故答案为：6； ②设点、点所表示的数为、， 则有：， 解得，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离的计算，新定义的含义理解，一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，熟练的利用方程组解题是关键． 【变式训练15 三元一次方程组的应用】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·自主招生）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中200分才能获奖，要想获奖至少需要投中几次飞镖？ 【答案】14次 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，设投中17分x次，11分y次，4分z次，根据题意得出，根据要使最小，应该让x尽量大，z尽量小，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设投中17分x次，11分y次，4分z次，则，要使最小，应该让x尽量大，z尽量小， 解得：， ∴， 答：要想获奖至少需要投中14次飞镖． 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． (1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 【答案】(1)小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元 (2)他购买的门票总数为8或9或10张 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、三元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意列方程组，然后解方程组即可； （2）设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张，根据题意列出方程，然后根据x、y、z是整数，列举符合条件的x、y、z值即可求解． 【详解】（1）解：设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元， 根据题意可得：， 解得：， 故（元）， 答：小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元； （2）解：设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张， 根据题意可得：， 当，时，； 当，时，； 当，时，，只有这几种方案是整数，符合题意， 故小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张． 3．（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【详解】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 4．（24-25七年级下·山东德州·月考）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知x，y满足，，求和的值．本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则_____，____； (2)“关爱留守儿童，我们在行动”．某爱心公益小组计划为某村留守儿童捐赠一批物资．已知购买20本图画书、3套文具、2个水杯共需118元；购买30本图画书、2套文具、8个水杯共需217元．若该爱心公益小组捐赠了100本图画书、10套文具、20个水杯，那么购买这批物资共需多少元？ (3)对于两x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_________． 【答案】(1)； (2)购买这批物资共需670元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． （1）由得：； 由，得，进而求解即可； （2）设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元，根据题意列出方程组整体求解即可； （3）根据新定义运算法则列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元， 依题意，得：， 由可得， ∴． 答：购买这批物资共需670元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ∴． 1．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙；如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙，求甲、乙两人的速度． 若设甲、乙两人的速度分别为，，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑，甲跑就追上乙；（2）如果让乙先跑，那么甲跑就追上乙，可以列出方程组． 【详解】解：设甲、乙两人的速度分别为，， 由题意知： ． 故选：C． 【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小明在学习之余去买文具，打算购买支单价相同的签字笔和本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买支签字笔和本笔记本， 售货员：好的，那你应付元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付元． 若小明买支签字笔和本笔记本应付的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买支签字笔应付元，本笔记本应付元，根据题意可得和，进而求出的值． 【详解】解：设购买支签字笔应付元，本笔记本应付元， 由题意得：，解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的2倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，根据甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，得，根据若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的2倍，得，组成方程组即可． 【详解】解：设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，根据题意得 ， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某同学去蛋糕店买面包，面包有A，B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了50个面包，则他最少需要花（    ）元． A包装盒 B包装盒 每盒面包个数（个） 3 8 每盒价格（元） 5 11 A．71 B．74 C．75 D．81 【答案】B 【分析】设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，由题意：某同学正好买了50个面包，结合表中信息列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒 由题意得：3x＋8y＝50 解得或 当x＝6，y＝4时，费用为 5×6＋11×4＝74（元）； 当x＝14，y＝1时，费用为 5×14＋11×1＝81（元）； 74＜81 某同学正好买50个面包时，他最少需要花74元 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 5．（24-25七年级下·浙江温州·开学考试）图1一个玻璃密封容器，底部是圆柱体，上面是长方体，内装的液体．当容器正放时，容器内液面的高度为（如图）；倒放时，容器内液面的高度为，（如图）．则该玻璃密封容器底面的半径为（    ）cm．（取）    A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、圆柱体的体积、长方体的体积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．设该玻璃密封容器底面的半径为，长方体的底面积为，根据内装的液体可得二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解∶设该玻璃密封容器底面的半径，长方体的底面积为，根据题意得， 得， 解得负值不合题意，舍去， 该玻璃密封容器底面的半径为， 故选∶． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【答案】 6 220 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置 个“□”才能使得天平也平衡． 【答案】5 【分析】本题考查三元一次方程组变形．根据题意分别设“○”“△”及“□”为，利用图形列出方程即可得到本题答案． 【详解】解：∵①图可表示为：，即， ∵②图可表示为：， ∴，， ∴①图中， 故答案为：5． 8．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍． （1）连续搭建个正三角形需要火柴棍 根，连续搭建个正方形需要火柴棍 根． （2）若搭建正三角形和正方形共用了2018根火柴棍，正三角形的个数比正方形的个数多3个，则搭建的正三角形个数是 ，正方形的个数是 ． 【答案】 405 402 【分析】本题主要考查了图形的变化规律和二元一次方程组的应用，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.对于二元一次方程组的应用需找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. （1）根据图形得出每增加一个正三角形就增加了2根火柴棍，据此得出答案；再根据图形得出每增加一个正方形就增加了3根火柴棍，据此得出答案； （2）设搭建了个正三角形，个正方形，根据“搭建正三角形和正方形共用了根火柴棍，正三角形的个数比正方形的个数多个”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论. 【详解】解：（1）根据题意可知，每增加一个正三角形就增加了2根火柴棍， ∴搭个三角形需要根火柴棍； 根据题意可知，每增加一个正方形就增加3根火柴棍， ∴搭个正方形需要根火柴棍； （2）设搭建了个正三角形，个正方形， 根据题意得： ， 解得：， 故搭建了个正三角形，个正方形， 故答案为：，，405，402． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 两式相加得： ， 故答案为：3． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 【详解】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【答案】(1)一件A商品16元，一件B商品4元 (2)折 (3)少花元 【分析】本题综合运用了二元一次方程组建模、解方程、折扣计算等知识点，关键在于准确列出等量关系，并理解“打折”是整体价格按比例减少的概念，适用于任意数量商品的统一折扣．本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及折扣问题的计算． （1）设没打折时，一件A商品元，一件B商品元，根据“买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元”列方程组求解即可； （2）设做活动时，商场商品打折，根据“该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元”列一元一次方程求解即可； （3）分别计算出不打折时总价和打折后总价，再求解即可． 【详解】（1）解：设没打折时，一件A商品元，一件B商品元， 由题意，得， 解得． 答：没打折时，一件A商品16元，一件B商品4元． （2）解：设做活动时，商场商品打折，由题意，得， 解得． 答：做活动时，商场商品打折． （3）解：不打折时总价为：（元）， 打折后总价为：（元）， 比不做活动时少花：（元）． 答：做活动时买100件A商品和100件B商品，比不做活动时少花80元钱． 12．（25-26八年级上·全国·期末）列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买个篮球、个足球共花费元 ②买个篮球比购买个足球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 (1)请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案． 【答案】(1)篮球单价为元，足球单价为元 (2)方案为：购买个篮球，个足球 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，以及实际问题中的整数解分析．根据题目问题和给出条件设出未知数并解方程，并根据题意找到整数解，是解题的关键． （1）从三个条件中选两个，通过设未知数 (篮球单价元，足球单价元) ，把条件转化为二元一次方程组，再解方程组得到单价． （2）根据花费总价得出关于篮球和足球个数的二元一次方程，结合“每种球类至少个”的实际要求，找出方程的正整数解，得到购买方案． 【详解】（1）解：设篮球单价为元，足球单价为元， 根据①、②可列方程：， 解得：， ∴篮球单价为元，足球单价为元； （2）解：设购买个篮球，个足球， 由题意可得：， 即：， ∵，均为正整数， ∴， 答：方案为：购买个篮球，个足球． 13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1330朵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 15．（24-25七年级下·河南安阳·期末）活力课堂：为创新教学形式，激发学生学习热情，打造活力课堂，本县某校李老师在数学课上设计了如下活动： 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们利用一架天平和一个10g的砝码，探究 如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量． 操作探究：下面是“智慧小组”的探究过程． 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）． ②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 开始探究：设每个乒乓球的质量是xg，每个纸杯的质量是yg． 天平左边 天平右边 天平状态 天平左边的总质量（g） 天平右边的总质量（g） 记录1 8个乒乓球和1个砝码 14个纸杯 平衡 _______ _______ 记录2 3个乒乓球 4个纸杯 平衡 _______ _______ 解决问题： （1）①补全表格；（用含x，y的式子表示） ②分别求出1个乒乓球的质量和1个纸杯的质量． 拓展设计： （2）请补全下表，使得天平平衡时，乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 ________个乒乓球 砝码和________个纸杯 平衡 【答案】（1）①，，，；②1个乒乓球的质量是4克，1个纸杯的质量为3克；（2）4，2 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程 ，实际问题与二元一次方程，列代数式； （1）①由题目中的数量关系列代数式即可； ②根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）一次性纸杯个数为，乒乓球的个数为，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：（1）①根据题意，8个乒乓球和1个砝码的总质量为：， 14个纸杯的总质量为：， 3个乒乓球的总质量为：， 4个纸杯的总质量为：； 故答案为：，，，． ②根据题意，， 解得， ∴1个乒乓球的质量是4克，1个纸杯的质量为3克； （2）设：一次性纸杯个数为，乒乓球的个数为， ∴， 解得， ， ∴一次性纸杯个数为2，乒乓球的个数为4． 故答案为：4，2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 实际问题与二元一次方程组（4个知识点+15大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 新定义问题 题型十五 三元一次方程组的应用 知识点一：列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·月考）现有辆载重吨的卡车运一批重吨的货物，若每辆卡车装吨，则剩下吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元，设送件报酬为元/件，揽件报酬为元/件，根据题意，可列方程： ． 知识点二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 【即时训练】 1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）为了绿化环境，某工厂计划种树1000棵，该任务由甲、乙两个绿化队先后接力完成，已知甲绿化队每天种树150棵，乙绿化队每天种树200棵，两个绿化队完成该任务共需6天，小欣、小亮两位同学所列的方程组如下表所示，则下列选项中正确的是（   ） 小欣 小亮 解：设甲绿化队种了x天，乙绿化队种了y天完成任务，根据题意得 解：设完成任务甲绿化队种树m棵，乙绿化队种树n棵，根据题意得 A．只有小欣列出的方程组正确 B．只有小亮列出的方程组正确 C．小欣和小亮列出的方程组都正确 D．小欣和小亮列出的方程组都不正确 2．（24-25七年级下·山东临沂·月考）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 ． 知识点三：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（2025·重庆·模拟预测）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西运城·期末）某商店在十一“黄金周”期间，以每件1200元购进一种商品．为了促销，如果将该商品按标价打八五折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是x元，则可列方程为 ． 知识点四：二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·周测）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖．规定在同一环内（分为内环和外环）得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是（   ） A．20分 B．22分 C．23分 D．25分 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料 L，乙种原料 L． 【核心考点一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）我国明代数学书《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩下4两；若每人9两，则差8两，若客人为x人，银子为y两，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克原料中蛋白质和铁质的含量如下表． 原料类别 每克原料中蛋白质和铁质的含量 蛋白质 铁质 甲原料 单位 1单位 乙原料 单位 单位 如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？设每餐用甲种原料x克、乙种原料y克，则x和y满足的方程组是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026七年级下·吉林·专题练习）某公司为奖励获奖员工，花了元购买了两种奖品共件，已知A奖品每件元，B奖品每件元．设A奖品有件，B奖品有件，则可列方程组为 ． 【例4】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺．设绳索长x尺，竿长y尺．根据题意可列方程组为 ． 【核心考点二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的面积为（       ）    A．540 B．630 C．210 D．102 【例2】（24-25七年级下·广东清远·期中）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河南新乡·月考）如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为 ．    【例4】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．    【核心考点三 方案问题】 【例1】（25-26七年级上·广东汕头·开学考试）一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱．大纸箱能装20包糖果，小纸箱能装12包糖果．现在共有136包糖果，用了8个纸箱刚好装完．其中小纸箱用了（   ）个． A．8 B．5 C．4 D．3 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货 吨． 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 【核心考点四 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【例2】（24-25七年级下·湖南娄底·期中）甲、乙两地相距880km，小轿车从甲地出发2h后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4h两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20km，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为 km/h． 【例4】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 ． 【核心考点五 工程问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【例2】（24-25七年级下·贵州六盘水·月考）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产 个零件，乙每天生产 个零件． 【例4】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【核心考点六 数字问题】 【例1】（24-25七年级下·广东湛江·期末）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　） A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42 【例2】（24-25七年级下·河北承德·期末）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息求（   ） A． B． C．0 D．1 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 【例4】（24-25七年级下·北京·期中）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是 ． 【核心考点七 年龄问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【例2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【例4】（2025·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 【核心考点八 分配问题】 【例1】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 【例4】（2025七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【核心考点九 销售、利润问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·月考）根据所给信息，则买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．34元 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%．将某种果汁饮料每瓶的价格上调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是 元，型风扇进货的单价是 元． 【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是 元和 元． 【核心考点十 和差倍分问题】 【例1】（24-25七年级下·四川内江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·月考）欣欣幼儿园购买了90张等边三角形彩纸与50张正方形彩纸（如图1），准备制作如图2所示的甲、乙两种图案，如果购买的彩纸刚好全部用完，则可以制作甲、乙两种图案共（　　） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【例3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 【例4】（24-25七年级·全国·课后作业）一群学生结对去郊外春游，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：假设每个人都看不到自己头上戴的帽子，则每位男生看到白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到白色帽子是红色的2倍；则这群学生共有 人． 【核心考点十一 几何问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）用如图①中的正方形和长方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将两种纸板全部用完，则的值可能是（    ）    A．200 B．201 C．202 D．204 【例3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组 ． 【例4】（24-25七年级下·天津西青·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度 ． 【核心考点十二 图表信息题】 【例1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【例2】（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【例3】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 【例4】（24-25七年级下·河北沧州·期中）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题： 若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下） 【核心考点十三 古代问题】 【例1】（25-26八年级上·河北张家口·月考）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有个，耧有个，则可列出方程组（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有只雀、只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将只雀、只燕交换位置而放，重量相同，只雀、只燕重量为斤．问燕、雀每只各重多少？（注：古代斤两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·山西晋城·月考）《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ． 【例4】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案： ①设井深为x尺，列方程为；②设绳长为y尺；③设绳长、井深分别为a尺，b尺，则， 其中正确的是 （填序号）. 【核心考点十四 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·四川乐山·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）定义：对于任意一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“不偏不倚数”；将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令；将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到个新数，令．若被143除余121，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的的最大值为 ． 【核心考点十五 三元一次方程组的应用】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期中）请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ． 【例4】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【变式训练1 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某酒厂有大、小两种存酒的木桶．已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升．如果设1个大桶和1个小桶分别可以盛酒x升、y升，请列出二元一次方程组． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，已知边长分别为x、y的两个正方形，其面积之差为24． (1)根据题意，请你列出一个关于x、y的方程组； (2)请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； (3)分别求两个正方形的面积． 4．（25-26八年级上·河北张家口·月考）河北省蠡县有“中国麻山药之乡”的美誉，下面是A，B两种山药深加工食品的营养成分表，这两种食品每包质量均为，嘉琪想知道选用A，B两种食品各多少包，就能恰好从这两种食品中摄入热量和蛋白质．她设选用A种食品x包，B种食品y包，请填写下表并求出x，y的值． 营养成分 x包A种食品的含量 y包B种食品的含量 所需总量 热量/ 4600 蛋白质/ 【变式训练2 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（24-25八年级上·陕西铜川·月考）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    2．（24-25七年级下·湖南岳阳·月考）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【变式训练3 方案问题】 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车 3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 2．（24-25七年级下·河南南阳·月考）在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，正确分析问题中的等量关系是列方程组的基础．将题目的条件通过填表进行有关数量关系的整理，从而发现等量关系，这也是一种较常见的分析方法．请尝试用列表的方法分析下面这个问题： 某步行街摆放有若干盆甲、乙两种造型的盆景，甲种盆景每盆由15朵红花、24朵黄花搭配而成，乙种盆景每盆由10朵红花、12朵黄花搭配而成．这些盆景共用了2600朵红花、3840朵黄花，请问该步行街摆放甲、乙两种造型的盆景各多少盆． 设摆放甲种造型的盆景 x 盆，摆放乙种造型的盆景y盆． (1)根据题中数量关系，填写表格： 红花/朵 黄花/朵 甲盆景（x盆） 乙盆景（y盆） 合计/朵 (2)列出方程组 并求解． 3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，假设消费金额已满足所有优惠券的使用条件，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 (2)若小温同时使用了A型和B型优惠券共5张，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 4．（2025·安徽·模拟预测）某校进行校本课程时，要求学生们围桌而坐，桌子及座位（长方形表示桌子，黑点表示座位）摆放有以下两种方式可供选择： 请根据上述信息，解决下列问题： (1)若有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐 人． (2)若有n张桌子，按第二种方式摆放，最多可坐 人． (3)无人机兴趣小组共有32名同学．分成2个小组，现有10张桌子，请你设计出一种座位恰好坐满的摆放方式． 【变式训练4 行程问题】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 4．（2025七年级下·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【变式训练5 工程问题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 3．（2025·宁夏银川·二模）黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【变式训练6 数字问题】 1．（24-25七年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 2．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 4．（24-25七年级下·江西抚州·月考）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【变式训练7 年龄问题】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 2．（24-25七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 4．（24-25七年级下·河南南阳·期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【变式训练8 分配问题】 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 4．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【变式训练9 销售、利润问题】 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）旅居海外的熊猫“丫丫”的健康牵动着亿万中国人的心．据报道，不少热心网友为丫丫送去了竹子．大熊猫常吃的竹子有筇竹和箭竹．若购买4根筇竹和2根箭竹共需70元，购买2根筇竹和3根箭竹共需65元．购买1根筇竹、1根箭竹各需多少元？ 2．（25-26七年级上·黑龙江鸡西·期末）2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕。吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴一共1000个，其中一个“喜洋洋”进价12元，一个“乐融融”进价15元，总共花费13800元．在销售过程中“喜洋洋”、“乐融融”标价分别为20元/个、25元/个． (1)“喜洋洋”的单件利润为 元，“乐融融”的单件利润为 元； (2)求购进“喜洋洋”和“乐融融”各多少个？ (3)当“喜洋洋”、“乐融融”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“喜洋洋”和“乐融融”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，请直接写出m的值． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为元千克，元千克．    素材 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重千克，价格元． 素材 小温恰好用元各买了若干份，型什锦糖． 问题解决 任务 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？ 任务 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）双十一期间，某超市开展促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材探索完成任务． 生活中的数学问题 素材1 该超市有大瓶和小瓶两种型号的A品牌牛奶，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元． 素材2 小文在超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了89元． 问题解决 任务1 小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由． 任务2 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，则小文购买的A品牌的大瓶牛奶和小瓶牛奶分别为多少瓶？ 【变式训练10 和差倍分问题】 1．（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学模拟预测，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 2．（24-25七年级下·北京西城·期中）列方程（组）解应用题 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？ 3．（2025七年级下·山西·专题练习）“一年之计在于春，一日之计在于晨”．为了让学生吃上干净卫生，营养丰富的早餐，某校计划为在校学生提供，两种套餐．每份套餐都包含一份全麦面包，一颗煮鸡蛋和一盒牛奶（牛奶品牌不同）．已知每份套餐5元，每份套餐7元，据统计该校共有300名学生订这两种早餐，每天早餐费共1700元． (1)求该校订，两种早餐的人数分别是多少； (2)种早餐的标准质量都是300克，其中每颗煮鸡蛋的质量为60克．全麦面包、鸡蛋、牛奶的蛋白质含量如下表． 全麦面包 牛奶 鸡蛋 为了给学生提供充足的营养支撑，学校要求每份早餐至少为学生提供18克的蛋白质、求每份种营养早餐中全麦面包的质量至少为多少克． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学游艺会上，小勇负责一个游戏项目“猜猜哪个数最大”，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取3张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这3张卡片分别记为A，B，C，小勇依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． (1)下表是小勇抽取的三张卡片A，B，C中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，A 两数的和 64 50 32 确定哪张卡片上的数最大，并说明理由； (2)若小勇改变游戏规则，随机抽出4张卡片，分别记为D，E，F，G，他将卡片上的数之间存在关系的部分信息告诉参与者，让参与者说出这4张卡片中最大的数．已知提供的信息：卡片F上的数是卡片D上的数的3倍，卡片G上的数是卡片E的2倍，且这四张卡片上的数总和为20．求这四张卡片中最大的数是多少？ 【变式训练11 几何问题】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 3．（25-26七年级上·北京·月考）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 860 第三次 500 1002 第四次 1000 2000 (1)利用第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各多少个？ (2)仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）长乐栽培龙眼历史悠久，据文献记载宋光宗皇帝曾赐匾青山龙眼为“黄龙”．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对龙眼种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2021年龙眼平均年产量是万吨，2023年达到了万吨，每年的增长率基本相同． 素材二 龙眼一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买用美观漂亮的其它造型的纸盒包装的龙眼． 任务1：设龙眼产量的年平均增长率为，根据素材一列方程得______； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的龙眼，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求纸盒的底面边长．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计．，结果取整数） 【变式训练12 图表信息题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 2．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下表是某校七年级至七年级下某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 七年级下 7 请将七年级下课外兴趣小组的活动次数填入上表． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 4．（24-25七年级上·上海·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【变式训练13 古代问题】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 4．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【变式训练14 新定义问题】 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义：数轴上点，表示的数叫做点和点的坐标，且线段的长度可以利用数轴上右侧点的坐标减去左侧点的坐标来表示，如图，数轴上点和点的坐标分别为和1. (1)设数轴上两点，的坐标分别为，． ①当点，重合，则__________；当时，则线段的长度为_________； ②若，求的值； (2)设数轴上两点，的坐标分别为，，点在点的右侧，若，，求和的值． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 4．（24-25七年级上·山西晋中·月考）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： （1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为 ； （2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为 ； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴．    操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ， 【变式训练15 三元一次方程组的应用】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·自主招生）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中200分才能获奖，要想获奖至少需要投中几次飞镖？ 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． (1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 3．（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 4．（24-25七年级下·山东德州·月考）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知x，y满足，，求和的值．本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则_____，____； (2)“关爱留守儿童，我们在行动”．某爱心公益小组计划为某村留守儿童捐赠一批物资．已知购买20本图画书、3套文具、2个水杯共需118元；购买30本图画书、2套文具、8个水杯共需217元．若该爱心公益小组捐赠了100本图画书、10套文具、20个水杯，那么购买这批物资共需多少元？ (3)对于两x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_________． 1．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙；如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙，求甲、乙两人的速度． 若设甲、乙两人的速度分别为，，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小明在学习之余去买文具，打算购买支单价相同的签字笔和本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买支签字笔和本笔记本， 售货员：好的，那你应付元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付元． 若小明买支签字笔和本笔记本应付的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的2倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某同学去蛋糕店买面包，面包有A，B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了50个面包，则他最少需要花（    ）元． A包装盒 B包装盒 每盒面包个数（个） 3 8 每盒价格（元） 5 11 A．71 B．74 C．75 D．81 5．（24-25七年级下·浙江温州·开学考试）图1一个玻璃密封容器，底部是圆柱体，上面是长方体，内装的液体．当容器正放时，容器内液面的高度为（如图）；倒放时，容器内液面的高度为，（如图）．则该玻璃密封容器底面的半径为（    ）cm．（取）    A．5 B．6 C．8 D．10 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置 个“□”才能使得天平也平衡． 8．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍． （1）连续搭建个正三角形需要火柴棍 根，连续搭建个正方形需要火柴棍 根． （2）若搭建正三角形和正方形共用了2018根火柴棍，正三角形的个数比正方形的个数多3个，则搭建的正三角形个数是 ，正方形的个数是 ． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 12．（25-26八年级上·全国·期末）列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买个篮球、个足球共花费元 ②买个篮球比购买个足球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 (1)请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案． 13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 15．（24-25七年级下·河南安阳·期末）活力课堂：为创新教学形式，激发学生学习热情，打造活力课堂，本县某校李老师在数学课上设计了如下活动： 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们利用一架天平和一个10g的砝码，探究 如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量． 操作探究：下面是“智慧小组”的探究过程． 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）． ②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 开始探究：设每个乒乓球的质量是xg，每个纸杯的质量是yg． 天平左边 天平右边 天平状态 天平左边的总质量（g） 天平右边的总质量（g） 记录1 8个乒乓球和1个砝码 14个纸杯 平衡 _______ _______ 记录2 3个乒乓球 4个纸杯 平衡 _______ _______ 解决问题： （1）①补全表格；（用含x，y的式子表示） ②分别求出1个乒乓球的质量和1个纸杯的质量． 拓展设计： （2）请补全下表，使得天平平衡时，乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 ________个乒乓球 砝码和________个纸杯 平衡 学科网（北京）股份有限公司 $