第一章 第3讲 乘法公式（3个核心知识点+7个高频考点+8个重点题型专练） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.5−1.6 乘法公式（解析） 核心知识 1 乘法平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差， 即(a+b)(ab)=a2b2. 口诀：“相同项2相反项2”. ˙敲黑板˙ 平方差公式的特点： （1）结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； （2）结果特征：积为平方差，即“相同项2相反项2”，无中间项； （3）符号特征：结果符号固定，相同项平方在前，相反项平方在后，永远为减号； （4）形式拓展：a、b可代表数字、单项式、多项式（如：(x+y+2)(x+y−2)） 核心知识 2 乘法平方差公式 1. 完全平方公式 两数和(或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去）它们的积的2倍， 即(a+b）2=a2+2ab+b2，(ab)2=a22ab+b2. 口诀：首平方，尾平方，积的2倍居中央. ˙敲黑板˙ 完全平方公式的特点 （1）结构特征：单个二项式的平方，仅含两数和/两数差两种形式； （2）结果特征：积为三项式（完全平方式），无缺项，避免漏写中间项； （3）项数规律：首平方 + 尾平方 + 首尾积的2倍，首、尾为公式中的a和b。 （4）符号规律：中间项符号与原式“和/差”一致，和为正、差为负，首尾平方恒为正； （5）形式拓展：a、b可代表数字、单项式、多项式（如：(x−2y+3)2可凑两数平方）； （6）运算特征：直接套公式比多项式乘法更简便，计算后需检查是否为“三项式”，规避漏项错误. 核心知识 3 公式的灵活应用 1. 平方差公式变形： ˙敲黑板˙ （1）符号变形（核心避错，高频考） 核心：调整因式符号，凑出“一项同、一项反”，公式为相同项2相反项2 ● ● （2）系数变形（含数字系数，基础拓展） 核心：将含系数的单项式整体看作，直接套公式 ● （3）整体代换变形（多字母（或多项式），中考常考）  核心：把多项式看成一个整体当作，凑公式形式 ● ● （4）连续运用变形（多次平方差，提升题常用） 核心：第一次用公式后，结果仍符合平方差特征，继续套用 ● 2. 完全平方公式变形： ˙敲黑板˙ （1）符号变形（基础避错，入门必掌握） 核心：调整括号内符号，凑标准形式，平方后首尾项恒正，中间项随符号变 ● ● （2）系数变形（含数字系数，基础拓展考） 核心：将含系数的单项式整体看作，平方时系数、字母分别平方再运算 ● （3）整体代换变形（多字母（或多项式），中考常考）  核心：把多项式看成一个整体当作，套公式后再展开，适配多项式平方 ● ● （4）核心恒等推导变形（三量互推，高频必考） 核心：由基础公式推导、、三者关系，是代数求值题核心 ●a2+b2=(a+b)2−2ab ●a2+b2=(a−b)2+2ab ●(a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2) ●(a+b)2−(a−b)2=4ab ● ● 【高频考点1——公式特征识别】 【核心考点1·例题精讲 区分平方差、完全平方公式的结构特征】 例1、（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 例2、（25-26八年级上·甘肃·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A．7或−1 B．5 C．7 D．−1 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 将原式变形为，再根据完全平方公式的结构特征得到，即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）下列各式可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键：．根据平方差公式的结构特征逐项判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式，不符合题意． B、，可用平方差公式计算，符合题意． C、，不符合平方差公式，不符合题意． D、，不符合平方差公式，不符合题意． 故选；B． 2．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，其中a和b是数或代数式．逐项判断是否符合此形式即可． 【详解】解：A．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； B．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； C．∵ ，令，，则原式 ，符合平方差公式，故此选项符合题意； D．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川凉山·期末）若是完全平方式，则的值是（   ） A． B．9 C．9或 D．或11 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开右边的完全平方式，与左边多项式比较系数求k． 【详解】解：∵， 又∵=， ∴， 比较x项系数得：， 故选：C． 6．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）若多项式是一个完全平方式，则常数k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数． 【详解】， ， 解得． 故答案为∶ ． 【高频考点2——基础公式运算】 【核心考点2·例题精讲 标准形式下直接运用平方差、完全平方公式计算】 例1、（25-26七年级下·全国·课后作业）若，，则的值为（    ） A． B．15 C． D．56 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用与整体代入的思想，掌握平方差公式，以及整体代入简化计算的方法是解题的关键． 利用平方差公式将所求代数式转化为已知条件的乘积形式，直接代入计算． 【详解】解：∵ = ， ，， ∴ 故选：C． 例2、（上海市宝山区2025--2026学年上学期七年级1月期末数学试卷）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）. 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、合并同类项；以及完全平方公式和平方差公式的应用． 根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项． 【详解】解： = = =． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若，则m的值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式将左边展开，与右边比较得出方程求解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【高频考点3——非标准形式转化】 【核心考点3·例题精讲 含系数、符号、多字母的式子，通过添括号、变号凑成公式标准型计算】 例1、（25-26七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 例2、（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，利用平方差公式将表达式变形，再代入已知条件化简计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：4． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先运用完全平方公式化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（25-26八年级上·天津东丽·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算、整式运算，熟练掌握同底数幂运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据同底数幂运算法则计算即可； （2）通过平方差公式和完全平方公式简化计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【高频考点4——公式恒等变形】 【核心考点1·例题精讲 利用a2+b2、(a±b)2、ab三者间的关系互推，解决代数求值问题】 例1、（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．将两个方程相减，利用平方差公式并结合的条件，得到的值；再将两个方程相加，利用完全平方公式，代入的值求解即可． 【详解】解：∵, ， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以得：， 又∵， 而， ∴， 代入， 得， ∴， ∴． 故选：A． 例2、若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（天津市西青区205-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）已知，，则的值为（  ） A．6 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 利用已知条件和，通过完全平方公式求． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选C． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）已知，则的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．根据完全平方公式得出，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【高频考点5——混合运算顺序】 【核心考点5·例题精讲 公式特征识别乘法公式与整式乘除、合并同类项的混合运算，遵循“先公式，后乘除，再加减”】 例1、已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入求值是关键． 通过简化给定方程得到 ，整体代入求值即可． 【详解】解：∵ 展开得 简化得 ∴ 又∵ ∴当时，原式 故选：A． 例2、（2026·陕西西安·一模改编）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项得到化简结果即可． 【详解】解： ． 例3、（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了了整式的运算与一元一次方程的解法,正确计算是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后解一元一次方程即可得到答案； （2）先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后解一元一次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考改编）化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中改编）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简． 【详解】解； ． 3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末节选）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，关键是熟练应用运算法则进行计算； 先算整式的乘法，然后合并同类项进行化简． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末节选）计算： 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式、平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和运算顺序是关键． 利用乘法公式和单项式的除法计算后，再进行整式的加减即可． 【详解】解：原式． 5．（25-26八年级上·山东临沂·月考节选）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了乘法公式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末节选）化简： 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后合并即可． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级上·天津西青·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，积的乘方，幂的乘方，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算积的乘方，幂的乘方，再进行整式的乘除，最后合并同类项即可； （2）先计算整式的乘法，再加减即可； （3）先进行平方差公式，完全平方公式的化简，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据乘法公式去括号，进而进行求解即可． 【详解】解：， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【高频考点6——简便计算应用】 【核心考点6·例题精讲 将整数乘方、乘法凑整为公式形式，简化硬算过程】 例1、（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1. 例2、（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算：． 【答案】1994 【分析】本题考查了平方差公式的应用和计算，掌握其公式是解题关键. 【详解】解：原式． 例3、（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算 (1) (2)简便运算： 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，平方差公式． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义化简，再算加减； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法； （1）根据完全平方公式可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题； （3）根据平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）将式子运用平方差公式进行变形，结合零指数幂即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）运用平方差公式进行变形计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)9991 (2)10000 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 6．（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程 嘉嘉： 琪琪： 张老师认为两人的做法都正确，但琪琪同学的方法更简便． 请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2) 【答案】(1)8099 (2)256 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式进行即可； （2）根据平方差公式进行即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【高频考点7——代数化简求值】 【核心考点7·例题精讲 先通过乘法公式化简复杂代数式，再代入具体数值计算，侧重化简步骤规范】 例1、（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 例2、（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂． 先计算乘法公式，再合并同类项，计算零指数幂，负整数指数幂，最后将x和y的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 由题意可知：，， 当，时，原式． 例3、（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 【详解】原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据多项式乘以多项式，多项式乘以单项式进行化简，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 2．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值．先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，最后代值计算即可解答． 【详解】解：原式 当时，原式． 3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，掌握运算法则是关键． 原式利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 原式 ． 4．（2025年秋季期末质量检测七年级数学试卷）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去小括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 5．（25-26八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式进行化简，再合并同类项，最后代值计算即可； （2）先根据幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式进行化简，再合并同类项，最后代值计算即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2） ， ， 当时， 原式 ． 【重点题型专练1——公式识别判断题】 例1、（2025七年级上·全国·专题练习）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【详解】解：平方差公式的形式为， 选项A： ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B： ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C： ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D： ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选：B． 【核心题型·变式通关练】 1．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川内江·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项B：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项C：，不符合平方差公式，故符合题意； 选项D：，符合平方差公式，故不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东江门·月考）下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 【重点题型专练2——基础公式计算题】 例1、（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，熟记运算法则是解题的关键． （1）用第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，将所得的结果相加即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【重点题型专练3——公式凑型计算题】 例1、（25-26八年级上·贵州遵义·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、单项式乘以多项式、平方差公式、解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先，括号内单项式先分组，然后，根据平方差公式、完全平方公式的运算法则运算即可； （2）首先，括号内单项式先分组，然后，根据完全平方公式、单项式乘以多项式的运算法则运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【核心题型·变式通关练】 1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算； （3）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3） ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用平方差公式运算即可； （2）运用平方差公式先化简，再利用完全平方公式运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【重点题型专练4——三量互推求值题】 例1、（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 例2、（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)3 (2)10 (3)2或 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则以及完全平方公式的变形应用． （1）将展开，结合，可求出的值； （2）利用完全平方公式，代入已知值计算； （3）先求出的值，再开方得到的值． 【详解】（1）解：， ； 又，将其代入上式得：， ； （2）解：已知， 代入得：； （3）解：由（2）知， ， 则，即的值为2或． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）计算： (1) (2)已知，，求与的值． 【答案】(1) (2)4； 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值 （2）根据完全平方公式的变形进而求解即可 【详解】（1）解： （2）解：，， 2．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式，得到，代值计算即可； （2）根据，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据进行计算的值即可； （2）根据结合（1），进行计算的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，即， 则； （2）解：由（1）知，， 则，即， 因此． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值． 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 【重点题型专练5——整式混合运算题】 例1、（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，运用完全平方公式，平方差公式进行运算，正确运用乘法公式准确运算是解题的关键．先进行完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可得解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【重点题型专练6——整数简便计算题】 例1、（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10404 (2)1 【分析】本题考查乘法公式的应用，将原式进行正确地变形是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)9801 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，通过将接近整十、整百数与一个较小数的和或差的形式，再利用完全平方公式进行简便计算．本题中每个小题均需先变形再应用公式计算． 【详解】（1）解：原式， ， ， ． （2）解：原式， ， ， ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2) 【分析】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用乘法分配律和完全平方公式进行简便计算． （1）逆用乘法分配律进行简便计算； （2）利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【重点题型专练7——化简求值解答题】 例1、（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，正确化简后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： 当时， 原式． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，10 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先运用平方差和完全平方公式计算，然后去括号、合并同类项，得到化简结果，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3．（25-26八年级上·山西大同·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【重点题型专练8——公式应用综合题】 例1、（25-26八年级上·河南信阳·月考）（1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，换元法，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，，由题意得，，由，代入计算即可； （4）设，，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2），，， ， 故答案为：； （3）设，，则，， ∴ ， （4）设，，由题意得，，，即， ， 所以种草区域的面积和为． 【核心题型·变式通关练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列素材，探索完成任务： 乘法公式的应用探究 素材1 完全平方公式：． 平方差公式：． 素材2 边长为的正方形的面积为，两条直角边长为，的直角三角形的面积为． 素材3 将边长为的小正方形和边长为的大正方形按如图所示放置，其中点在边上． 问题解决 问题1 若，，求的值； 问题2 在素材3中，连接，，若，，求阴影部分的面积． 【答案】问题1：；问题2：． 【分析】本题考查了乘法公式的实际应用． 问题1：根据平方差公式计算即可； 问题2：先求出，根据完全平方公式得到，进而计算即可． 【详解】解：问题1：，， ； 问题2：，， ． 2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到．现用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 【探索发现】（1）请用两种不同的方法表示图3中阴影部分（小正方形）的面积；①________，②________；由此可得，，之间的等量关系________． （2）利用（1）中得到的结论，解决下列问题． 【知识迁移】已知，，求的值； 【拓展提升】正方形与正方形如图4摆放，边长分别为x，y，若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；；；（2）知识迁移：；拓展提升：8 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）图3中阴影部分是一个边长为的正方形，图3中阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去四个长与宽分别为a，b的小长方形面积，据此分别表示出阴影部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）可得，据此代值计算即可； （3）根据题意可得，则可求出，再根据完全平方公式求出的结果即可得到答案． 【详解】解：（1）图3中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图3中阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去四个长与宽分别为a，b的小长方形面积，其面积为， ∴， 故答案为：；；； （2）知识迁移：由（1）得， ∵，， ∴， ∴； 拓展提升：由题意得，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________； 图2表示：________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，则　　． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】(1)， (2)①；②22； (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值；②根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； 图2中，由图可知，，也可以表示为， ∴， 故答案为：； （2）解：①， ， ，， ； ②设，，则，， ∴， 即； 故答案为：22； （3）解：，， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 4．（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 探索发现： （1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ． 解决问题： （2）若满足，求的值． （3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】（1）； （2）130； （3）176 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形的结合，以及完全平方公式的变形； （1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形的面积为，即可求得等式； （2）设，，则，利用代入即可； （3）根据题意得，，，设，，则，，那么，即可． 【详解】解：（1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形和长方形的面积和为， 则， 故答案为：； （2）设，， 则， 那么，； （3）根据题意得，，， 设，， ，， ， 图中阴影部分的面积和为176， 故答案为：176． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.5−1.6 乘法公式（讲义） 核心知识 1 乘法平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差， 即(a+b)(ab)=a2b2. 口诀：“相同项2相反项2”. ˙敲黑板˙ 平方差公式的特点： （1）结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； （2）结果特征：积为平方差，即“相同项2相反项2”，无中间项； （3）符号特征：结果符号固定，相同项平方在前，相反项平方在后，永远为减号； （4）形式拓展：a、b可代表数字、单项式、多项式（如：(x+y+2)(x+y−2)） 核心知识 2 乘法平方差公式 1. 完全平方公式 两数和(或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去）它们的积的2倍， 即(a+b）2=a2+2ab+b2，(ab)2=a22ab+b2. 口诀：首平方，尾平方，积的2倍居中央. ˙敲黑板˙ 完全平方公式的特点 （1）结构特征：单个二项式的平方，仅含两数和/两数差两种形式； （2）结果特征：积为三项式（完全平方式），无缺项，避免漏写中间项； （3）项数规律：首平方 + 尾平方 + 首尾积的2倍，首、尾为公式中的a和b。 （4）符号规律：中间项符号与原式“和/差”一致，和为正、差为负，首尾平方恒为正； （5）形式拓展：a、b可代表数字、单项式、多项式（如：(x−2y+3)2可凑两数平方）； （6）运算特征：直接套公式比多项式乘法更简便，计算后需检查是否为“三项式”，规避漏项错误. 核心知识 3 公式的灵活应用 1. 平方差公式变形： ˙敲黑板˙ （1）符号变形（核心避错，高频考） 核心：调整因式符号，凑出“一项同、一项反”，公式为相同项2相反项2 ● ● （2）系数变形（含数字系数，基础拓展） 核心：将含系数的单项式整体看作，直接套公式 ● （3）整体代换变形（多字母（或多项式），中考常考）  核心：把多项式看成一个整体当作，凑公式形式 ● ● （4）连续运用变形（多次平方差，提升题常用） 核心：第一次用公式后，结果仍符合平方差特征，继续套用 ● 2. 完全平方公式变形： ˙敲黑板˙ （1）符号变形（基础避错，入门必掌握） 核心：调整括号内符号，凑标准形式，平方后首尾项恒正，中间项随符号变 ● ● （2）系数变形（含数字系数，基础拓展考） 核心：将含系数的单项式整体看作，平方时系数、字母分别平方再运算 ● （3）整体代换变形（多字母（或多项式），中考常考）  核心：把多项式看成一个整体当作，套公式后再展开，适配多项式平方 ● ● （4）核心恒等推导变形（三量互推，高频必考） 核心：由基础公式推导、、三者关系，是代数求值题核心 ●a2+b2=(a+b)2−2ab ●a2+b2=(a−b)2+2ab ●(a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2) ●(a+b)2−(a−b)2=4ab ● ● 【高频考点1——公式特征识别】 【核心考点1·例题精讲 区分平方差、完全平方公式的结构特征】 例1、（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 例2、（25-26八年级上·甘肃·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A．7或−1 B．5 C．7 D．−1 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）下列各式可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川凉山·期末）若是完全平方式，则的值是（   ） A． B．9 C．9或 D．或11 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 6．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）若多项式是一个完全平方式，则常数k的值是 ． 【高频考点2——基础公式运算】 【核心考点2·例题精讲 标准形式下直接运用平方差、完全平方公式计算】 例1、（25-26七年级下·全国·课后作业）若，，则的值为（    ） A． B．15 C． D．56 例2、（上海市宝山区2025--2026学年上学期七年级1月期末数学试卷）计算：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算： 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）. 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： 5．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若，则m的值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【高频考点3——非标准形式转化】 【核心考点3·例题精讲 含系数、符号、多字母的式子，通过添括号、变号凑成公式标准型计算】 例1、（25-26七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 例2、（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若，则 ． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： 3．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）计算： 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 5．（25-26八年级上·天津东丽·月考）计算： (1)； (2)． 【高频考点4——公式恒等变形】 【核心考点1·例题精讲 利用a2+b2、(a±b)2、ab三者间的关系互推，解决代数求值问题】 例1、（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 例2、若，，则的值为 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（天津市西青区205-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）已知，，则的值为（  ） A．6 B．4 C．3 D．1 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为 ． 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）已知，则的值为 ． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【高频考点5——混合运算顺序】 【核心考点5·例题精讲 公式特征识别乘法公式与整式乘除、合并同类项的混合运算，遵循“先公式，后乘除，再加减”】 例1、已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 例2、（2026·陕西西安·一模改编）化简：． 例3、（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考改编）化简：． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中改编）化简：． 3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末节选）计算：． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末节选）计算： 5．（25-26八年级上·山东临沂·月考节选）计算： 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末节选）化简： 7．（25-26八年级上·天津西青·月考）计算： (1) (2) (3) 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）解方程：． 【高频考点6——简便计算应用】 【核心考点6·例题精讲 将整数乘方、乘法凑整为公式形式，简化硬算过程】 例1、（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）计算： ． 例2、（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算：． 例3、（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算 (1) (2)简便运算： 2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 6．（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程 嘉嘉： 琪琪： 张老师认为两人的做法都正确，但琪琪同学的方法更简便． 请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2) 【高频考点7——代数化简求值】 【核心考点7·例题精讲 先通过乘法公式化简复杂代数式，再代入具体数值计算，侧重化简步骤规范】 例1、（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 例2、（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，，． 例3、（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简再求值：，其中且． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）已知，求代数式的值． 4．（2025年秋季期末质量检测七年级数学试卷）先化简再求值：，其中． 5．（25-26八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中，． 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中． 【重点题型专练1——公式识别判断题】 例1、（2025七年级上·全国·专题练习）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【核心题型·变式通关练】 1．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川内江·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东江门·月考）下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【重点题型专练2——基础公式计算题】 例1、（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【重点题型专练3——公式凑型计算题】 例1、（25-26八年级上·贵州遵义·月考）计算： (1)； (2)． 【核心题型·变式通关练】 1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算： (1) (2)； (3)． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【重点题型专练4——三量互推求值题】 例1、（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 例2、（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）计算： (1) (2)已知，，求与的值． 2．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【重点题型专练5——整式混合运算题】 例1、（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算：． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 2．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）计算： (1) (2)． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【重点题型专练6——整数简便计算题】 例1、（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【重点题型专练7——化简求值解答题】 例1、（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·山西大同·月考）先化简，再求值：，其中，． 【重点题型专练8——公式应用综合题】 例1、（25-26八年级上·河南信阳·月考）（1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 【核心题型·变式通关练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列素材，探索完成任务： 乘法公式的应用探究 素材1 完全平方公式：． 平方差公式：． 素材2 边长为的正方形的面积为，两条直角边长为，的直角三角形的面积为． 素材3 将边长为的小正方形和边长为的大正方形按如图所示放置，其中点在边上． 问题解决 问题1 若，，求的值； 问题2 在素材3中，连接，，若，，求阴影部分的面积． 2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到．现用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 【探索发现】（1）请用两种不同的方法表示图3中阴影部分（小正方形）的面积；①________，②________；由此可得，，之间的等量关系________． （2）利用（1）中得到的结论，解决下列问题． 【知识迁移】已知，，求的值； 【拓展提升】正方形与正方形如图4摆放，边长分别为x，y，若，．求图中阴影部分的面积． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________； 图2表示：________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，则　　． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 4．（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 探索发现： （1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ． 解决问题： （2）若满足，求的值． （3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $