精品解析：山东省日照市莒县第一中学2025-2026学年高二1月月考数学试题

莒县一中高二年级1月月考数学试题 一、单选题 1. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则可得答案. 【详解】由复数 满足 为虚数单位)， 可得 ， 所以 . 故选： D. 2. 若，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算表示出的坐标，再利用向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得. 故选：A 3. 的展开式中，项的系数是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令x的次数为3即可求解. 【详解】， 二项式展开式的通项为：， 令， 所以项的系数是. 故选：A. 4. “”是“两直线和互相平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件求解出的值，即可做出推断. 【详解】由两直线和互相平行得，解得， 所以“”是“两直线和互相平行”的充要条件； 故选：A. 5. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 6. 将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（ ） A. 228种 B. 192种 C. 240种 D. 168种 【答案】B 【解析】 【分析】利用相邻问题捆绑法列式，去掉在两端之一的排列数即可. 【详解】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，则有（种）排法， 当在两端时，有（种）排法， 所以满足要求的排列方法有（种）. 故选：B 7. 设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 8. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，则为梯形的两条底边，作垂足为，则，从而可求得再结合建立a,b,c的关系即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以，则为梯形的两条底边， 作于点，则， 因为梯形的高为，所以， 在中，，则， 即， 设，则，在中由余弦定理，得 ， 即，解得， 同理， 又，所以， 即，所以. 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 C. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 D. 若事件与事件相互独立，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断选项A；根据互斥事件的定义判断选项B；根据方差的性质，数据变为原来的2倍，方差变为原来的4倍即可判断选项C；根据独立事件的定义求事件与事件的积事件的概率，再结合和事件概率公式求解即可判断选项D. 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故A正确； 对于B，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”可以同时发生（例如出现“正反”），故两事件不互斥，所以B错误； 对于C，数据，，，相较于原数据经过了每个数据乘以2再加1的处理，根据方差性质可知方差变为原数据方差的4倍，即方差为16，故C正确； 对于D，由事件与事件相互独立，，， 得， 所以，故D正确， 故选：ACD. 10. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】过点作，垂足为，求得判断A；设为四边形ABCD对角线的交点，可得二面角的平面角为，求解可判断B；点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内，计算可判断C；由题意可得点只有落在上，才有可能取得最小值；求得最小值判断D. 【详解】如图1，过点作，垂足为，则四棱台的高为， 因为，所以，所以，A正确； 设为四边形ABCD对角线的交点，则为BD中点，．由， 知，所以二面角的平面角为， 又，所以为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确； 由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内， 易知点到边AB，AD的距离都为），所以动点的轨迹长度是，C错误； 由图1易得平面， 故平面，不妨设落在图2的（在外）处， 过作，交于，则平面平面， 故，故在Rt中，（直角边小于斜边）； 同理，，所以， 故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 再看图3，易知， 和都为正三角形，关于的对称点为， 可知，即与重合时，有最小值，D错误． 故选：AB. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D. 设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出曲线对称轴判断A；求出曲线的范围并求出整点判断B；令，与曲线的方程联立，利用判别式求出最大值判断C；联立直线与曲线方程，利用弦长公式，结合基本不等式求出最大值判断D. 【详解】对于A，点是曲线上任意点，显然都满足曲线的方程， 因此曲线关于轴、轴、直线、直线都对称，A正确； 对于B，由，得， 解得，同理，因此曲线在两组平行直线所围成的正方形及内部， 而点中，任意一点坐标都使， 因此曲线内有9个整点，B正确； 对于C，由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值， 此时方程为，令，将代入， 得，故，解得， 因此的最大值为，C错误； 对于D，由消去得，解得， 则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题 12. 若，则______（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，作差即可得. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理求出，，利用平面向量数量积公式及数量积坐标表示分别求，得到，而，代入即可求出答案. 【详解】抛物线的焦点为， 易知直线斜率不为，设直线的方程为， 联立，则， 所以，， 所以， 因为，，所以， 又因为，所以， 所以，即， . 故答案为：. 四、解答题 15. 已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直． （1）求直线的一般式方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）先求出圆的半径，再由圆心和半径写出圆的标准方程． 【小问1详解】 直线经过两条直线和的交点， ，解得， 直线和的交点， 设直线的斜率为， 与直线垂直，，解得， 直线的方程为，一般形式为． 【小问2详解】 设圆的半径为， 则圆心为到直线：的距离为， 设直线与圆交于两点，则， ，解得， 圆的标准方程为． 16. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； （2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； （3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该校学生对足球赛事的关注与性别有关. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据卡方计算公式，结合独立检验的思想即可下结论； （2）根据和事件的运算与条件概率的计算公式求解即可； （3）根据正态分布求得，结合二项分布的均值与方差公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关. 根据列联表中的数据，得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关. 【小问2详解】 由题意得，，，， 故. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 故， 即. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为四边形为矩形，，，且为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，、平面，则，， 以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 因为，故为等腰直角三角形，且． 所以、，所以． 易知平面的一个法向量为， 则设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 已知分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上异于的任意一点，面积的最大值为，设直线的斜率分别为，且， （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（与不重合），已知点，设直线的斜率分别为， ①若直线的斜率为1求线段的长； ②证明． 【答案】（1） （2）① ； ②证明：由题意知，直线的斜率不为0，且过，设， 把的方程与椭圆的方程联立，得， 消去得：恒成立，则， ∵点，可得， ∴ ， 将韦达定理代入得． 【解析】 【分析】（1）当点落在上顶点或下顶点时，的面积最大，可得，设，可得的表达式，将椭圆方程代入化简，可得，联立即可得答案. （2）①由题意得，与椭圆联立，根据韦达定理，可得，代入弦长公式，即可得答案.②由题意，设，与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据斜率公式，可得表达式，代入计算，即可得证. 【小问1详解】 当点落在上顶点或下顶点时，的面积最大为，∴， 设，∵，∴， 又∵在椭圆上，可得，∴， ∴， ∴，又，可得， ∴椭圆； 【小问2详解】 设， ①∵直线的斜率为1，，∴， 把的方程与椭圆的方程联立，得， 消去得，则， ∴； ②略 19. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛． （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛．若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军．已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分．A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立．现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军．你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程． 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 （2） （3）组采用赛制二更有利于胜出，理由如下： 按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出． 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的取值及相应的概率，可得分布列，再利用数学期望公式求解即可； （2）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解可得答案； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，求出组取得胜利的概率，按照赛制二，不妨设做完题，求出组取得胜利的概率，再做差比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3， ，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望； 【小问2详解】 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为， 则至少有两人做对该题的事件为： ，所以竞赛小组能进入决赛的概率为 ； 【小问3详解】 组采用赛制二更有利于胜出，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莒县一中高二年级1月月考数学试题 一、单选题 1. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2. 若，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 3. 的展开式中，项的系数是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 4. “”是“两直线和互相平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（ ） A. 228种 B. 192种 C. 240种 D. 168种 7. 设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 C. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 D. 若事件与事件相互独立，，，则 10. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D. 设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 三、填空题 12. 若，则______（用数字作答） 13. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为________. 14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则________. 四、解答题 15. 已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直． （1）求直线的一般式方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程． 16. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； （2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； （3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上异于的任意一点，面积的最大值为，设直线的斜率分别为，且， （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（与不重合），已知点，设直线的斜率分别为， ①若直线的斜率为1求线段的长； ②证明． 19. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛． （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛．若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军．已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分．A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立．现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军．你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $