2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：相交线与平行线

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：相交线与平行线 一、单选题 1．下列图形中与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线，且于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．以上均不正确 4．如图所示，AB∥CD，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点G，∠1=100°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 5．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．则上述结论正确的个数有（　　） ​ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6． 在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 7．如图：已知 ， 度， 度，则 等于（　　）度． A．50 B．60 C．80 D．90 8．在下列语句中，正确的是（　　）． A．在平面上，一条直线只有一条垂线; B．过直线上一点的直线只有一条; C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条; D．垂线段的长度就是点到直线的距离 9．若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，AB∥EF，∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（　　） A．60° B．80° C．90° D．100° 二、填空题 11．如图所示，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为　 　. 12．如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=140°，则∠B的度数为　 　 ． 13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝56°，则∠2＝　 　°． 14．如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，则此工件　 　．（填“合格”或“不合格”） 15．如图，AB//CD，CE平分∠BCD，F是射线BA上一定点，G是射线CE上的动点，GH//BC交CD于点H.∠ABC=120°，∠GFB=α°．在点G的运动过程中，当∠FGB=∠GFB时，∠BGH=　 　度，(用含α的代数式表示) 三、解答题 16．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 17．如图所示，已知于点，于点 ，，说明：平分． 下面是推理过程，请你将其补充完整， 因为于点，于点（已知） 所以 所以AD//EG（ ） 所以（　　） 　　＝（两直线平行，同位角相等） 又因为（已知）， 所以（　　） 所以AD平分∠BAC（ ）． 18．如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°.∠BFC等于多少度？为什么？ 19．如图， 直线 分别与直线 相交于点 ， 若 ， 则 与 平行吗？ 与 平行吗？ 请说明理由． 20．如图，已知AD∥BC，∠3+∠4＝180°，要证∠1＝∠2，请完善证明过程，并在括号内 填上相应依据： ∵AD∥BC（已知） ∴∠1＝∠3（　 　）， ∵∠3+∠4＝180°（已知）， ∴BE∥DF（　 　）， ∴　▲　＝　▲　（　 　）. ∴∠1＝∠2（　 　）. 21．已知：如图，．试说明：．阅读下面的推理过程，请在括号内填写合适的理由，并将横线上的空补充完整． 解：因为 所以（　　） 所以 ▲ （　　） 又因为，所以 ▲ （等量代换） 所以（　　） 22．如图，直线，直线与直线AB、CD相交于点A、C，已知，点是射线AB上的一个动点(不包括端点). （1）若点是直线CD上点右侧一点，且.当时，求证：. （2）若将沿PC折叠，使顶点落在点处. ①若点刚好在直线CD上，求：的度数. ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数. 23．先阅读再解答： （1）如图1，，试说明：； （2）已知：如图2，，求证：； （3）已知：如图3，，．求证：． 24．如图， 将一副三角尺中的两个直角顶点 叠放在一起， 其中 ， ． （1）若 ， 求 的度数． （2）试猜想 与 之间的数量关系， 并说明理由． （3） 若按住三角尺 不动， 绕顶点 转动三角尺 ， 试探究 等于多少度时， ， 并简要说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知， 选项B的∠1与∠2是对顶角， 故答案为：B． 【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝180°−90°−∠BAC＝90°−35°＝55°， ∵直线ABCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝55°， 故答案为：A. 【分析】由垂直的定义可得∠ACB＝90°，利用三角形内角和求出∠ABC＝55°，根据平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝55°. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：因为两直线平行，内错角相等，一组内错角的平分线分出的两个角是原内错角的一半，仍然相等，再根据内错角相等两直线平行，即可得一组内错角的平分线互相平行． 故选B． 【分析】结合图形分析所得结论，根据平行线的判定方法判断． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠CEB=∠1=100°， ∵AB∥CD， ∴∠CEB+∠ECD=180°， ∴∠EFD=80°， ∵∠BEF和∠DFE的角平分线交于点G， ∴∠2=∠EFD=40°， 故选D． 【分析】根据对顶角相等得到∠CEB=∠1=100°，由平行线的性质得到∠EFD=80°，根据角平分线的定义即可得到结论． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵CA⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∴∠1+∠B=90°，即∠1是∠B的余角，∴①正确； 图中互余的角有∠1和∠B，∠1和∠DAC，∠DAC和∠BAD，共3对，∴②正确； ∵CA⊥AB，AD⊥BC， ∴∠CAB=∠ADC=90°， ∵∠B+∠1=90°，∠1+∠DAC=90°， ∴∠B=∠DAC， ∵∠CAE=∠CAB=90°， ∴∠B+∠CAB=∠DAC+∠CAE， ∴∠ACF=∠DAE， ∴∠1的补角有∠ACF和∠DAE两个，∴③错误； ∵∠CAB=∠CAE=∠ADC=∠ADB=90°， ∴与∠ADB互补的角共有3个，∴④正确； 故选C． 【分析】根据已知推出∠CAB=∠CAE=∠ADC=∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理和三角形外角性质，互余、互补的定义逐个分析，即可得出答案． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故答案为：B 【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合平行线的判定证明即可得到，以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，从而即可求解。 7．【答案】D 【解析】【解答】 过点O作OH//AB ∵AB//CD ∴OH//AB//CD ∴∠ABO+∠BOH=180° ∠CDO+∠HOD=180° ∵∠B=120°，∠D=150° ∴∠BOH=60°，∠HOD=30° ∴∠BOD=60+30=90° 故答案为：D 【分析】本题属于平行线夹拐点的题目。只需要过拐点作辅助线，找角的关系即可。 8．【答案】D 【解析】【解答】概念理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，所以选项A错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，所以选项B错误．选项C是最容易出现混淆的地方．在概念中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；但是，在该选项中，没有注明同一平面，所以选项C错．垂线段的长度就是点到直线的距离，所以选项D正确． 【分析】概念理解型题，在解答时要注意对概念的正确理解，尤其是像选项C这种属于特别容易混淆的题目．本题考查垂线． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点； 图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点； 图3：当两两直线平行时，有4个交点； 图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点； 图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点； 图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； 图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点； 综上所述，共7种情况，6种交点个数， 故答案为：D． 【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉 10．【答案】A 【解析】【解答】解：过C作CQ∥AB， ∵AB∥EF， ∴AB∥EF∥CQ， ∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°， ∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°， ∵∠FCD＝60°， ∴∠BCF＝120°， ∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°， ∵∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC， ∴∠ABP＋∠PFE＝60°， ∴∠P＝60°. 故答案为：A. 【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可. 11．【答案】60° 【解析】【解答】解：如图， ∵∠1=55°， ∴∠4=∠1=55° ， ∵直线l1∥l2，∠2=65°， ∴∠5=∠2=65°， ∴∠3=l80°-55°-65°=60°. 故答案为：60°. 【分析】先根据对顶角相等得出∠4的度数，再由平行线的性质得出∠5的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论. 12．【答案】50° 【解析】【解答】解：∵∠1=140°， ∴∠CDE=40°． ∵DE∥BC， ∴∠C=∠CDE=40°． ∵∠A=90°， ∴∠B=90°﹣40°=50°． 故答案为：50°． 【分析】先根据补角的定义求出∠CDE的度数，由平行线的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 13．【答案】34 【解析】【解答】 直尺的两边平行 故答案为：34． 【分析】根据求出，根据平行线的性质可得。 14．【答案】合格 【解析】【解答】作CF∥AB，如图所示： 则∠ABC+∠1=180°，∴∠1=180°-146°=34°， ∴∠2=∠BCD-∠1=60°-34°=26°， ∵∠2+∠EDC=26°+154°=180°， ∴CF∥ED， ∴AB∥ED； 故答案为合格． 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可得∠1=180°-146°=34°，∠2=∠BCD-∠1=60°-34°=26°，再结合∠2+∠EDC=26°+154°=180°，可得CF∥ED，即可得到AB∥ED，从而得解。 15．【答案】120＋或120- 【解析】【解答】解：①如图1，设BC与FG交点为O点 由题可知，∠GFB=α，∠FGB= ∵∠ABC=120° ∴∠BOG=∠GFB+∠ABC=α+120° ∴∠COG=180°-∠BOG=60°-α ∵ GH//BC ∴∠COG+∠OGH=180° ∴∠OGH=180°-∠COG=120°+α ∴∠BGH=∠OGH+∠FGB=120°+α+=120°+ ②如图2， ∵ AB//CD ∴∠BCD=∠ABC=120° ∵ CE平分∠BCD ∴∠BCE=∠DCE=60° ∵ GH//BC ∴∠CGH=∠BCG=60° ∵∠GFB=α，∠FGB= ∴∠FBG=180°- ∵∠ABC+∠FBG+∠CBG=360° ∴∠CBG=360°-∠ABC-∠FBG=60°+ ∵∠BCE+∠CBG+∠BGC=180° ∴∠BGC=180°-∠BCE-∠CBG=180°-60°-（60°+）=60°- ∴∠BGH=∠BGC+∠CGH=120°- 综上：∠BGH=120°-或120°+. 故答案为：120°-或120°+. 【分析】根据G点的位置不同，则可得到图1图2两种情况，在图1中，∠BGH=∠OGH+∠FGB，∠FGB根据题意知为，利用三角形内角关系和平行线性质进行推导，可以表示出∠OGH=120°+α，从而得到∠BGH；而在图2中，∠BGH=∠BGC+∠CGH，利用角平分线的性质和平行线性质，可知△CHG为等边三角形，故∠CGH=60°，利用三角形内角和性质，可推导得到∠BGC=60°-，从而得到∠BGH. ​​​​​​​ 16．【答案】解：， 理由是：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴拐弯前、后的两条路平行 ∴．（两直线平行，内错角相等） 【解析】【分析】利用平行线的性质及利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可. 17．【答案】证明：因为AD⊥BC于点D， EG⊥BC于点G（已知）， 所以∠ADC=∠EGC=90°， 所以AD//EG（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）， ∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又因为∠E=∠1（已知）， 所以∠2=∠3（等量代换） 所以AD平分∠BAC（角平分线定义）． 【解析】【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，根据两直线平行，内错角相等，②两直线平行，内错角相等，反之亦然，先由平行线的判定，求得AD∥EG，再由平行线的性质，得出∠1=∠2，∠3=∠E，求出∠2=∠3，结合角平分线的定义以及等量代换，即可求解. 18．【答案】解：∠BFC等于30度，理由如下： ∵AB∥GE， ∴∠B+∠BFG＝180°， ∵∠B＝110°， ∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°， ∵AB∥CD，AB∥GE， ∴CD∥GE， ∴∠C+∠CFE＝180°， ∵∠C＝100°. ∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°. 【解析】【分析】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC. 19．【答案】解：BC//DE，AB//CD. 理由如下： ∵∠GCH=180°-∠2=50°， ∴∠GCH=∠D， ∴BC//DE， ∵∠ABH=∠1=50°=∠GCH， ∴AB//CD. 【解析】【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可. 20．【答案】解：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3+∠4＝180°（已知），∴BE∥DF（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∴∠2＝∠1（等量代换）. 故答案为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行； ∠2；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换. 【解析】【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠3，由∠3+∠4＝180°可推出BE∥DF，得到∠2＝∠3，然后根据等量代换可得结论. 21．【答案】解：因为 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为，所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法求解即可. 22．【答案】（1） （2）如图2，由折叠可知， 如图3，由折叠可知， 【解析】【分析】（1）根据AB∥CD，可求∠PCD的度数，根据∠AEC=∠PCD即可求解； （2）①根据折叠可得∠FCP=∠ACP，根据平行线的性质及∠PAC=70°，可求∠ACF的度数，由此即可求解；②由折叠可知∠ACP=∠PCF，根据题意可得，根据平行线的性质可求∠DCA的度数，由此即可求解． 23．【答案】（1）解：过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长和反向延长相交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EF∥CD，然后根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠BEF，∠FED=∠D，最后根据角的和差及等量代换可得答案； （2）过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥EF∥CD，然后根据二直线平行，同旁内角互补得∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，进而将两个等式相加并结合角的和差可得结论； （3）延长BF和反向延长CD相交于点G，根据二直线平行，内错角相等得∠ABF=∠G，结合∠ABF=∠DCE可得∠G=∠DCE，由同位角相等，两直线平行，得BG∥CE，最后再根据根据二直线平行，内错角相等得∠BFE=∠FEC. 24．【答案】（1）解：， ， （2）解： +∠， 理由： ． （3）解：当 或 时， ． 如图 1， 根据同旁内角互补， 两直线平行， 当 时， ， 此时 ； 如图 2 ， 根据内错角相等， 两直线平行， 当 时， ． 【解析】【分析】（1）由∠BCA=∠ECD=90°，得出∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，即可得出结果； （2）由∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+∠DCA，∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-∠DCA，即可得出结论； （3）当CD∥AB时，∠B+∠BCD=180°，则∠BCD=180°-∠B=120°；当CD∥AB时，∠B=∠BCD=60°。 学科网（北京）股份有限公司 $