20.1勾股定理及其应用（第3课时 利用勾股定理作图或计算）课件【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第三课时利用勾股定理作图或计算 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 能构造直角三角形，会运用勾股定理在数轴上确定无理数对应的点，感悟数形结合思想，发展几何直观. 思考 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论： 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ A B C A′ B′ C′ 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△ABC 中， ∠C = ∠C= 90°，AB = AB，AC = AC. 求证：△ABC≌△ABC. 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ABC中， ∠C = ∠C= 90°， 根据勾股定理， BC = ，BC= . 又 AB = AB，AC = AC， ∴ BC = BC， ∴ △ABC≌△ABC (SSS). A B C A′ B′ C′ 如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点. 我们知道，长为的线段是两条直角边的长都为的直角三角形的斜边.长为的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗? 构造斜边为的直角三角形. 由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2，3的直角三角形，其斜边长为. 3 2 如图，O为数轴原点，首先在数轴上找出表示3的点A,则OA=3.然后过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2.最后以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点. B O A l C 探究 由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点. 7 类似地，利用勾股定理，可以画出长为， ， ，...的线段(如左图).按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示， ， ， ， ，...的点(如右图). 在数轴上表示无理数 ①把转化为，其中为正整数； ②在数轴上取原点，作线段 ； ③过作的垂线，在上取 ； ④以 为圆心，为半径作弧，交数轴正半轴于点， 则点即为表示的点 正整数方便在数轴上表示 例1 在数轴上画出表示 的点. 解：∵ 1² + 3² = 10， ∴ 直角边长分别为 1，3 的直角三角形的斜边长为. 如图所示. (1) 画出数轴，在数轴上找出表示 3 的点A，则OA = 3； (2) 过点A作直线 l 垂直于数轴，在l上取点B，使AB = 1； (3) 连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C， 点C即为表示的点. 1.如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值. 解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2， ∴斜边长为 ， 即 －1 到 A 的距离是 ， ∴点 A 所表示的数为 . 易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长. 变式训练 例2.如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上。则线段，的长度分别是多少？ 【分析】正确识别网格中的直角三角形，并结合勾股定理进行解答. 解：（1）由题意得， ， 故线段，的长度分别为，． 勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度. 2.在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长． 解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2). 由勾股定理得 ∴△ABC 的周长为 变式训练 教材P29 练习 课内练习 1.在数轴上画出表示的点. 解：如图所示. 2.如图，等边三角形ABC的边长为6，求： (1)高AD；(2)等边三角形ABC的面积. A B D C 解：(1) 在Rt△ADC 中，根据勾股定理， AD² = AC² - CD² = AC² - ( BC)². ∵ AC = 6，BC = 6， ∴ AD² = 6² - ( × 6)² = 27， ∴ AD = 3. (2) S△ABC = BC·AD = × 6 × 3= 9. 3. 如图，AD是△ABC的边BC上的高. 分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄.请写出关于 S₁，S₂，S₃，S₄ 的等式. 解：在Rt△ACD 中，根据勾股定理， AD² = AC² - CD² = S₂ - S₄. 在Rt△ABD 中，根据勾股定理， AD² = AB² - BD² = S₁ - S₃. 所以 S₁ - S₃ = S₂ - S₄. 基础巩固题 A 1.如图，在数轴上点A′表示的实数是(　　) 2.如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为(　　) A．6 B．10 C．24 D．48 B 3.[2025杭州月考]如图，A(4，0)，C(－1，0)，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，连接AB，则点B的坐标是(　　) A．(0，5) B．(5，0) C．(3，0) D．(0，3) D 能力提升题 5.[2025青岛模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝________． 21 ＜ 解：如图①.(画法不唯一) 7.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫作格点． (1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形； 8.如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长为________________________； (2)AC＋CE的最小值为________； 勾股定理的应用 用勾股定理验证直角三角形(HL)判定的证明 运用勾股定理在数轴上画出表示实数 (n为大于1的整数) 的点 课堂小结 教科书第29页练习 第1，2，3题 布置作业 A．－ B．－ C．－2 D． 4.[2025广西中考]如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝________． －1 6.为了比较与＋1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点D在BC上，且BD＝AC＝1．通过计算可得________＋1(填“>”“<”或“＝”)． (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积． 解：如图②.(画法不唯一)， 该三角形的面积为×2×1＝1. (3)根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在由边长为1的小正方形组成的网格(图②)中构图并求代数式＋的最小值． 解：(画法不唯一)如图，已知AB＝1，DE＝2，BD＝3， 设BP＝x，则根据勾股定理得AP＝，PE＝， ∴AP＋PE＝＋， 由(2)可知＋的最小值即为点A，E之间的距离， 易得＋的最小值为3 . ＋ $