精品解析：山东省济南西城实验中学2025-2026学年高二上学期1月阶段性学情检测数学试题

济南西城实验中学 高二阶段性学情检测数学试题 2026.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标. 【详解】由化为标准方程得，开口向上， 则，即， 所以的焦点坐标是. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点的求法，属于基础题. 2. 已知点，直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 （　 ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图后，由图可知直线l的斜率k满足或. 【详解】如图所示： 由题意得，所求直线l的斜率k满足或，即或. 故选：A. 3. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 4. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 5. 已知是等比数列的前项和，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式当时，，结合等比数列的性质、双曲线渐近线方程的形式进行求解即可. 【详解】解：∵是等比数列的前项和，且， ∴， 当时，， 故， ∴双曲线， ∴双曲线的渐近线方程为， 故选：C． 【点睛】关键点睛：利用公式当时，，求出是解题的关键. 6. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 7. 设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式先求出与的关系式，构造方程组消去，得，构造常数列求得数列的通项，可判断A,B,C项；再利用裂项相消法计算即可判断D项. 【详解】由题可得.则，又， 两式相减，得，即， 所以，所以，即为常数列，从而， 所以，故A错误，B错误，C正确； 所以，故D错误. 故选：C. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得出与的关系，从而得出，然后由三角换元法设，，，求得，从而得出结论． 【详解】设P为第一象限的交点，，则， 解得，. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 整理得，即，故， 设，，，又， 则， ，所以或， 时，舍去， 时满足题意，此时，所以. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线C：的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为： B. 抛物线C的准线方程为： C. D. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点在抛物线上，可求抛物线方程，可判断AB的真假，利用焦半径公式，可判断CD的真假. 【详解】因为抛物线的方程为，所以焦点为，准线方程为，如图： 因为在抛物线上，所以，所以. 又或（舍去）. 故. 所以抛物线的方程为：，准线方程为：，故AB正确； 当运动到点时，，所以并不恒成立，所以C错误； 对D：取的中点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，分别交轴于. 所以， 所以以AF为直径的圆与x轴相切，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 存在点满足 B. 满足的点的轨迹长度是 C. 满足平面的点的轨迹长度是1 D. 满足的点的轨迹长度是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则有，,，，，， 对于A选项，若，则，且，，故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点存在，A正确 对于B选项，，， ，在底面内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的 故长度为，B错误 对于C选项，，，设面的法向量 故有，解得，故 平面， ，的轨迹方程为 ，在底面内轨迹的长度为，C错误 对于D选项，， ，，的轨迹方程为 ，在底面内轨迹的长度为，D正确 故选：AD 11. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据递推公式即可判断；对BD，利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断；对C，根据递推公式，即可判断. 【详解】对A：，，， 所以，，， ，，故A正确； 对B：设数列的前项和为， 则 ； 又 ； 故，故B正确； 对C：， 可得， 即有，故C正确； 对D： ， 但=； 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考察斐波那契梳理的递推公式，以及其偶数项和奇数项的和的求解；处理问题的关键是通过递推公式，找到和与某一项的关系，属困难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：，求数列的前2n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用时关系求通项公式，注意验证情况，即可得通项公式； （2）应用分组、裂项相消法求. 【小问1详解】 由时， 又时也满足该等式，故. 【小问2详解】 由， 则 . 因此. 17. 如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由题意得：，， 设， ， 又因为三点共线， .即为中点. ， 又因为平面平面， 平面. （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）利用向量证明，再根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）利用空间向量，根据二面角的三角函数值求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以与平面所成角即为所求角. 分别取中点，连接. 平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 以为原点，为轴的正方向，如图建系， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 为平面的一个法向量， 又， 因为， 设与平面所成角为， 所以. 【小问3详解】 设， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ， ， ， （舍）或. 所以存在点使得， . 18. 已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前项和； （3）设，求的前项和. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由及可得的值，由可得的值，进而求解即可； （2）结合等比数列的求和公式可得，进而得到，，进而结合错位相减法求和即可； （3）由题意可得，进而结合裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意得：，， 可得， 由，可得，由，可得，可得， 可得. 【小问2详解】 由，可得， 由，可得，可得， 可得的通项公式：， 可得：，① 则，② ①②得： ， 可得. 【小问3详解】 由可得， 可得： . 19. 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）直线恒过点，理由如下： 因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南西城实验中学 高二阶段性学情检测数学试题 2026.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 （　 ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知是等比数列的前项和，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线C：的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为： B. 抛物线C的准线方程为： C. D. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 存在点满足 B. 满足的点的轨迹长度是 C. 满足平面的点的轨迹长度是1 D. 满足的点的轨迹长度是 11. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 16. 已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：，求数列的前2n项和. 17. 如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前项和； （3）设，求的前项和. 19. 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $