精品解析：重庆市忠县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

忠县2025年秋九年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列关于x的方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项图形都是由相同三角形组成，则既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 解一元二次方程时，先化为的方法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开方法 4. 若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 极大概率事件 D. 极小概率事件 5. 下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔几步”，现设阔为x步，则列方程为（ ） A. B. C D. 7. 如图所示，已知直径，如果，的半径为2，那么弦长是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图在矩形中，已知，，点E在边上运动，连接，线段绕点C逆时针旋转到，连接，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 已知实数a，将1与a（，1）之差的倒数记为第一次操作后的数，若以后第n（的正整数）次操作后的数都是1与第次操作后的数之差的倒数．对下面判断：①若，则；②若，则；③如果与互为倒数，那么；④如果，那么代数式取值一定为正．这些说法中，正确的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线对称轴是直线______． 12. 如图所示，将直角绕点B旋转到的位置，若，则旋转的角度为______． 13. 若是一元二次方程的根，则实数______． 14. “立春、雨水、惊蛰、…、大寒”等24个节气中依次有6个节气分别属于春、夏、秋、冬四个季节，则从24个节气中随机选一个节气，这个节气恰好与今日同属于一个季节的概率是______． 15. 如图，设点A，B，C，D在上，圆心O在上，于点E，分别过点A，C作的切线且两切线交于点F，连接，若，，则______，______． 16. 设一个四位自然数M的千位、百位、十位、个位数字依次为a、b、c、d．若，则称M为“双九数”．如果“双九数”M满足为抛物线的顶点坐标，那么______；如果将“双九数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到新数，那么使得能被3整除且为偶数的最小的______． 三、解答题：（本大题9个小题，17与18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 17. 已知关于x的二次函数，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18. ∵，∴．因此解方程可转化为求解．用此方法解方程： （1）； （2）． 19. 如图，已知点O为边的中点． （1）作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 20. 为摸清学校九年级320名学生体育中考三项情况，在九年级学生中随机抽取部分学生进行体育中考三项模拟检测，并按模拟测试综合成绩x分，分为A（优秀）；B（良好）；C（合格）；D（不合格）四个等级．检测后，经统计得如图所示的两幅统计图，请回答下列问题： （1）求本次测试共随机抽取了多少名学生？并在答题卷上补全条形统计图； （2）估计不合格学生人数； （3）测试发现九年级有4名学生体能特别好，其中有1名女生，学校拟从这4名学生中任选两名参加忠县全运会，请用列表或画树状图的方法求该名女生被选中的概率． 21. 在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 22. 随着新年来临，忠州特产供销两旺．李师傅的特产店在元旦节售出“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”共60公斤，已知每公斤“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”的利润分别是6元、5元，售出后共获利320元． （1）元旦节“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”各售出了多少公斤？ （2）元旦节后，根据市场调查，李师傅决定将“西厢阁汤圆粉”加价，“忠州嫩竹笋干”降价，已知“西厢阁汤圆粉”每加价1元则销量将下降了，且加价金额与降价金额相同．若售价调整后的第一天售出总量没变，但利润增加了元，求售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润． 23. 如图，在腰长为的等腰中，，动点从点出发，沿运动，到点后停止，将线段绕点顺时针方向旋转到，设点的运动的路程为，面积的倍为． （1）求关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据（2）中图象，当时，直接写出的值． 24. 如图所示，设抛物线与x轴相交于O，M两点，点Q在抛物线第一象限图象上，若，面积的最大值为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形是平行四边形，且点C恰为线段中点，求点A坐标； （3）如图2，已知P是直线l：上方的抛物线上的动点，于点E，轴于点F，设与直线l交于点N，当周长最大时，求点N的坐标． 25. 如图，在中，已知，边绕点A顺时针旋转至，边绕点A逆时针旋转至，连接．若点F为中点，与交于点G． （1）如图1，若，求的值； （2）探索线段数量关系，并给以证明； （3）如图2，若点H为直线上一点，将绕点G顺时针旋转至，连接，设点P为内一点，当，时，直接写出点P到三顶点距离之和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忠县2025年秋九年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列关于x的方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 下列各选项图形都是由相同三角形组成，则既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟知中心对称图形和轴对称图形的概念是解决问题的关键． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B，是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 解一元二次方程时，先化为的方法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开方法 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使用的是因式分解法． 【详解】解：∵方程 被化为，这是将多项式分解为两个一次因式的乘积， ∴使用的是因式分解法， 故选：A． 4. 若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 极大概率事件 D. 极小概率事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 5. 下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定，系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 6. 下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔几步”，现设阔为x步，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形面积公式正确列出方程是解题的关键． 设阔为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：∵设阔为x步，长比阔多12步， ∴长为步， ∵矩形面积为864平方步， ∴列方程为，即． 故选：B． 7. 如图所示，已知直径，如果，的半径为2，那么弦长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线． 连接，记交于点，由圆周角定理得，由垂径定理得，再解得，即可求解． 【详解】解：连接，记交于点， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 9. 如图在矩形中，已知，，点E在边上运动，连接，线段绕点C逆时针旋转到，连接，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 以为边作等边三角形，连接，过点F作于点G，根据作图可得，，进而根据旋转可得，，证明，则，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：以为边作等边三角形，连接，过点F作于点G，如图， 则：，， ∵绕逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴ 又∵、， ∴． ∴， ∵点在上运动， ∴的最小值为到的垂直距离， ∵且为等边三角形， ∴， ∴， 在矩形中，与的距离为， ∴到的距离为：， 故选：B． 10. 已知实数a，将1与a（，1）之差的倒数记为第一次操作后的数，若以后第n（的正整数）次操作后的数都是1与第次操作后的数之差的倒数．对下面判断：①若，则；②若，则；③如果与互为倒数，那么；④如果，那么代数式取值一定为正．这些说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了规律型－数字变化类，分式的运算，解分式方程，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． 通过计算找到规律，逐个进行判断即可． 【详解】解：∵，， 当时，则， 解得，故不正确； ∵， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∵与互为倒数， ∴， 解得，故正确； ∵，，， ∴，，， ∴ ， ∵，则 ∴， ∵， ∴，即，故正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12. 如图所示，将直角绕点B旋转到的位置，若，则旋转的角度为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，由旋转的性质得到，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的根，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求解一元二次方程和一元二次方程的定义，准确的计算是解决本题的关键． 将代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得 解得或． ∵为一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. “立春、雨水、惊蛰、…、大寒”等24个节气中依次有6个节气分别属于春、夏、秋、冬四个季节，则从24个节气中随机选一个节气，这个节气恰好与今日同属于一个季节的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了概率的求解，理解题意是解决本题的关键． 总共有24个节气，每个季节有6个节气，今日属于其中一个季节，则随机选一个节气与今日同季节的概率为． 【详解】解：24个节气分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有6个节气． 设今日属于某个季节，则与该季节相同的节气有6个．总节气数为24， ∴概率． 故答案：． 15. 如图，设点A，B，C，D在上，圆心O在上，于点E，分别过点A，C作的切线且两切线交于点F，连接，若，，则______，______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】连接，，，，设与交于点G，与交于点H，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；根据切线长定理得出，证明垂直平分，得出，证明，根据，解直角三角形得出，证明，得出，求出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，，，，设与交于点G，与交于点H，如图所示： ∵，为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴； ∴， ∵、为的切线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：4；． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 16. 设一个四位自然数M的千位、百位、十位、个位数字依次为a、b、c、d．若，则称M为“双九数”．如果“双九数”M满足为抛物线的顶点坐标，那么______；如果将“双九数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到新数，那么使得能被3整除且为偶数的最小的______． 【答案】 ①. 1863 ②. 1827 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的性质求出顶点坐标为，即，再结合题意求出，，即可得出；根据题意表示出，表示出，，得出是3的倍数， 是偶数，为了使数最小，取，则，则d可为1或7，再分别求出结果即可． 【详解】解：抛物线， 顶点横坐标，纵坐标， 故顶点为，即． 由，得；由，得． ． ， ，， ， , ， ，， ， ， 能被3整除且为偶数， 是3的倍数，是偶数，即是偶数， 为了使数最小，取，则，则d可为1或7． 当时； 当时， ，． 故最小． 故答案为：． 三、解答题：（本大题9个小题，17与18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 17. 已知关于x的二次函数，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． 先根据二次函数的定义求出二次函数的解析式，并将其转换为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数的定义要求未知数最高次数为2且二次项系数， ∴， 解得； ， 解得． 将代入解析式中， 得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 18. ∵，∴．因此解方程可转化为求解．用此方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是正确对二次三项式进行因式分解． （1）根据题意将等号左边进行因式分解，即可解方程； （2）根据题意将等号左边进行因式分解，即可解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 19. 如图，已知点O为边的中点． （1）作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 【答案】（1）见解析 （2）和关于点O成中心对称的图形，和关于点O成中心对称的图形（或和关于点O成中心对称的图形） 【解析】 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的相关知识是解题的关键． （1）以点O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点D，连接，则即为所求； （2）根据中心对称图形定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形． 20. 为摸清学校九年级320名学生体育中考三项情况，在九年级学生中随机抽取部分学生进行体育中考三项模拟检测，并按模拟测试综合成绩x分，分为A（优秀）；B（良好）；C（合格）；D（不合格）四个等级．检测后，经统计得如图所示的两幅统计图，请回答下列问题： （1）求本次测试共随机抽取了多少名学生？并在答题卷上补全条形统计图； （2）估计不合格学生人数； （3）测试发现九年级有4名学生体能特别好，其中有1名女生，学校拟从这4名学生中任选两名参加忠县全运会，请用列表或画树状图的方法求该名女生被选中的概率． 【答案】（1）抽取了32名学生，补全条形统计图见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，扇形统计图和条形统计图信息关联，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）由扇形统计图可得组的占比为，然后由组人数除以占比即可求解抽取的人数，再由抽取的人数减去组的人数求出组的人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体方法求解即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴抽取了32名学生， 则B组人数为：， 则补全条形统计图为： 【小问2详解】 解：（人）， 答：不合格学生人数为人； 【小问3详解】 解：1名女生用表示，其余3名男生用表示， 画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中该名女生被选中的结果数有6种， ∴该名女生被选中的概率是． 21. 在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，． （1）求该抛物线解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A的坐标求出的长，进而求出的长，则可推出点P的坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P为抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把点A的坐标代入中得，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，， ∴点B的横坐标为4， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． 22. 随着新年来临，忠州特产供销两旺．李师傅的特产店在元旦节售出“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”共60公斤，已知每公斤“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”的利润分别是6元、5元，售出后共获利320元． （1）元旦节“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”各售出了多少公斤？ （2）元旦节后，根据市场调查，李师傅决定将“西厢阁汤圆粉”加价，“忠州嫩竹笋干”降价，已知“西厢阁汤圆粉”每加价1元则销量将下降了，且加价金额与降价金额相同．若售价调整后的第一天售出总量没变，但利润增加了元，求售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润． 【答案】（1）忠州嫩竹笋干售出20公斤，西厢阁汤圆粉售出40公斤 （2）7元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意列方程是解决本题的关键． （1）设“忠州嫩竹笋干”售出x公斤，“西厢阁汤圆粉”售出y公斤，根据题意列方程组为，进行求解即可； （2）设调价金额为a元，则汤圆粉调价后：利润为元公斤，销量为公斤；嫩竹笋干调价后：利润为元公斤，销量为公斤，再根据题意列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设“忠州嫩竹笋干”售出x公斤，“西厢阁汤圆粉”售出y公斤． 根据题意得：， 解得． ∴“忠州嫩竹笋干”售出20公斤“西厢阁汤圆粉”售出40公斤； 【小问2详解】 解：设调价金额为a元， ∴汤圆粉调价后：利润为元公斤，销量为公斤； 嫩竹笋干调价后：利润为元公斤，销量为公斤， 根据题意得 解得或（舍去）， ∴调价后汤圆粉的利润为元公斤． ∴售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润为7元． 23. 如图，在腰长为的等腰中，，动点从点出发，沿运动，到点后停止，将线段绕点顺时针方向旋转到，设点的运动的路程为，面积的倍为． （1）求关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据（2）中图象，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）图像见解析；整个函数图象关于直线对称 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质、动点问题的分段函数应用，根据点的运动位置进行分段讨论，利用旋转全等转化线段长度并准确计算面积是解题的关键 （1）由点沿运动，分点在上和点在上两段，分别用含的式子表示的底和高，进而根据三角形面积公式计算出，由面积的倍为即可得出； （2）取点、、（顶点）、、，取点、、（顶点）、、，用平滑的曲线顺次连接即得函数的图象；由图可得，整个函数图象关于直线对称； （3）观察函数图象即可得出． 【小问1详解】 解：分两种情况讨论： ①如图，当点在上时， 由题意得，则， 由旋转得， ∴， ∴， ∵面积的倍为， ∴； ②如图，当点在上时， 由题意得，则， ∴， 由旋转得， ∴， ∵面积的倍为， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：函数的图象如图所示；整个函数图象关于直线对称； 【小问3详解】 解：由图可知，当时，或． 24. 如图所示，设抛物线与x轴相交于O，M两点，点Q在抛物线第一象限图象上，若，面积的最大值为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形是平行四边形，且点C恰为线段中点，求点A坐标； （3）如图2，已知P是直线l：上方的抛物线上的动点，于点E，轴于点F，设与直线l交于点N，当周长最大时，求点N的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，，然后根据当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值，结合三角形面积公式，即可求得抛物线的顶点坐标，进而利用待定系数法即可解答； （2）当A在点O右侧时，由（1）可知，，根据中点可得点C的坐标和的长度，再根据平行四边形的性质可得点B的纵坐标和的长度，进而求得点B的横坐标，然后过点B作轴于点N，则有和的长度，利用勾股定理求得，从而得到的长度；当A在点O左侧时，同理计算即可； （3）设直线l交y轴于点G，根据题意易证，推出三边的比例为定值，即当取得最大值时，的周长取得最大值，然后设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于O，M两点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，取得最大值， ∵点Q在抛物线第一象限图象上，面积的最大值为， ∴， ∴当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值， 此时，即抛物线的顶点坐标为， 将点，代入解析式， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当A在点O右侧时， 由（1）可知，， ∵点C恰为线段中点 ∴， ∴， ∵点A在x轴上，点B在抛物线上，四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点B的纵坐标为，代入抛物线， 得， 解得， ∴， 如图，过点B作轴于点N， 则，， ∴， ∴， ∴； 当A在点O左侧时， 同理可得，， 如图，过点B作轴于点R， 则，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设直线l交y轴于点G， 由题意可知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴三边的比例为定值， ∴当取的最大值时，的周长取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即的周长最大， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合——特殊四边形和线段周长问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 25. 如图，在中，已知，边绕点A顺时针旋转至，边绕点A逆时针旋转至，连接．若点F为中点，与交于点G． （1）如图1，若，求的值； （2）探索线段的数量关系，并给以证明； （3）如图2，若点H为直线上一点，将绕点G顺时针旋转至，连接，设点P为内一点，当，时，直接写出点P到三顶点距离之和的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转可知为等腰直角三角形，由三线合一可得，再证，得到，将表示出来，即可求解； （2）根据旋转可知和为等腰直角三角形，根据三线合一可得，可证，得到，即，由三角形的中位线得，即可求解； （3）根据旋转可证在中，，将绕点E逆时针旋转得到，连接，根据费马点模型，可得，故当时，最小，即最小，在此情况下，延长交直线于点，过点E作，可证，，解直角三角形，求出线段长度，根据等面积法，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据旋转可知为等腰直角三角形， ，， 点F为中点， ，，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 关系为， 证明：根据旋转可知和为等腰直角三角形， ，，， ，， ， ， ， 点F为中点， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：根据旋转可知， ， ， ， ， ， 故在中，， 如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接， 根据旋转可知， 为等边三角形， ， ， 点M为直线上一点， 当时，最小，即最小， 此时如图，延长交直线于点，过点E作， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，费马点问题，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $