精品解析：山西娄烦县米峪镇中学等校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测试题（卷） 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共、满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 2. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．得到从几何体正面看得到的平面图形即可． 【详解】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层是一个小正方形． 故选：B． 3. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：， 故选：D． 4. 如图，小丽在操场上做游戏，她在沙滩上画了一个面积为的矩形，并在矩形的四个角上画上面积不等的图形，在不远处的固定位置向矩形内部投掷石子（假设石子落在矩形内各点的概率相同），石子落在空白部分的记录如下表所示（石子未落在矩形外面和各区域边缘），由此估计空白部分的面积为（ ） 投掷次数 50 100 150 500 1000 石子落在空白部分的频率 0.60 0.62 0.68 0.64 0.64 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出石子落在空白部分的概率为，再根据概率等于空白部分的面积除以总面积，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：石子落在空白部分的概率为， ∴估计空白部分的面积为； 故选：D． 5. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解： 由图形知：tan∠ACB=．故选A． 6. 如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理．先根据圆的内接四边形的对角互补求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：B． 7. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，张掌握函数图象与系数的关系是解题关键．由反比例函数图象，得出的取值范围，进而判断一次函数的图象，即可得出答案． 【详解】解：A、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； B、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象符合，选项正确； C、反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误； D、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； 故选：B． 8. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：C． 9. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 【详解】球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选． 10. 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列出方程为， 故选：C． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不等于和有两个不相等的实数根的条件，即，分别列式求解，即可解答． 【详解】解：方程是一元二次方程，则二次项系数不为， 即：， 解得：， 因为该一元二次方程有两个不相等的实数根，则． 即：， 解得：， 综上可得：且． 所以，可取． 故答案为：． 12. 在中，若，则_________度； 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性及特殊角度的三角函数值，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0和特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值的非负性求出、的值，进而求得，的度数，根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：75． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的相似比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了以原点O为位似中心作出位似图形的坐标变化规律，将点的坐标乘以或即可． 【详解】解：当新图形与原图形在y轴同侧时， 点的对应点的坐标为，即； 当新图形与原图形在y轴异侧时， 点的对应点的坐标为，即； 故答案为：或． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸．） 16. （1）计算： （2）关于的一元二次方程可以变形为的形式，如下是小雨同学解方程的过程： 解： 原方程可变形为 ①上述解方程的方法是通过添项构造______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”） ②仿照题中的方法，解方程： 【答案】（1）；（2）①平方差公式，②， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法是解答的关键． （1）先根据负指数幂性质、零指数幂的性质及特殊角的三角函数化简，再计算即可； （2）根据题目中给出的思路，先转化为平方差形式，再解方程即可解决． 【详解】解：（1） ； （2）①平方差公式 ② 原方程可变形为 ∴ ∴，． 17. 如图，已知矩形及对角线． （1）过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整． 证明：四边形是矩形， ___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）． （③___________）．（填写推理的依据） ， ． ． （④___________）．（填写推理的依据） 【答案】（1） 解：所作图形如图所示： （2） 证明：四边形是矩形， ，（矩形的对边平行，每个角都是直角）． （两直线平行，内错角相等）． ， ． ． （有两组角对应相等的两个三角形相似）． 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图、矩形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握垂线的尺规作图、矩形的性质及相似三角形的判定是解题的关键； （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，在以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半长为半径画弧，然后问题可求解； （2）根据矩形的性质、平行线的性质及相似三角形的判定定理可进行求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，过A作轴于点P，且． （1）求一次函数的解析式； （2）如图所示（），直接写出不等式的解集； （3） 是x轴上一动点，当的面积是时，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数关系式．理解题意是解决问题的关键． （1）把代入，求出m的值，可得点A的坐标，再根据，求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据点的坐标，利用图象即可得解． （3）根据点的坐标求出，可得，再根据，得出， 进而得出答案． 【小问1详解】 把代入，得， 即点A的坐标为：， 又∵， ∴， ∴， ∴点． 设直线解析式为， 把A、B的坐标代入得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 当时，，即图象在图象下方， 由图象可知，； 【小问3详解】 由题意得， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 19. “三十里的莜麦，四十里的糕，二十里的荞面饿断腰”，是山西一则民间谚语，反映不同主食耐饥程度的差异．近年来不吃碳水之风盛行，山西文旅随即发起“护面行动”，邀请全国各地的朋友来山西见—“面”，品尝山西的各种好吃耐饥的面食，有：A．黄米糕；B．莜面栲栳栳；C．猫耳朵；D．剔尖面等． （1）小彤从这四种面食中随机选择一种，恰好选中“C．猫耳朵”的概率是______； （2）小彤和小丽一起去山西面馆吃面，小彤先从上面四种面食中任选一种，小丽再从剩下的三种面食中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C．猫耳朵”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C．猫耳朵”的结果有1种， 恰好选中“C．猫耳朵”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 一共有12种等可能的情况，两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的结果有2种， 所以两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的概率是：． 20. 阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 莱洛三角形 《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，书中提出“圆出于方，方出于矩”的辩证思维．机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，其作法如下：作等边三角形，分别以点，，为圆心，的长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个莱洛三角形． 任务： （1）下列结论中，正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） ①莱洛三角形是轴对称图形； ②莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都是； ③莱洛三角形的顶点到上任意一点的距离都相等． （2）若的边长为，求莱洛三角形的周长．（结果保留） 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，圆的有关性质，弧长公式，理解莱洛三角形的定义是解题的关键． （1）根据莱洛三角形的定义，结合圆的有关性质与轴对称图形的判定进行判断即可； （2）根据莱洛三角形的周长为三个圆心角为，半径为2的扇形的弧长之和即可求解． 【小问1详解】 解：∵以等边三角形的三个顶点，，为圆心，的长为半径作，，， ∴，且每段弧的半径，所对圆心角， ∴莱洛三角形是轴对称图形，每段圆弧所对的圆心角都是，顶点到上任意一点的距离都相等．即结论①②③都正确． 故答案为：①②③． 【小问2详解】 解：∵的边长为，每段圆弧所对的圆心角都是， ∴莱洛三角形的周长为． 21. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 【答案】电池板离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， （米）， 电池板离地面的高度约为米． 22. 综合与实践 问题情境 在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内． 建模分析 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为） （1）①求抛物线的解析式． ②求球员乙到点的距离． 问题解决 （2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及抛物线解析式的求解、顶点坐标的运用以及利用函数模型解决实际问题；解题的关键是正确建立平面直角坐标系，根据已知条件确定抛物线的顶点和经过的点，并理解“形状相同”意味着二次项系数相等． （1）①由于已知抛物线的顶点和点，可设顶点式代入求解；②球员乙到点的距离即为点的横坐标，将代入解析式解方程，根据实际意义取舍； （2）由与形状相同得二次项系数相同，结合顶点高度和经过点，求出解析式，再令得落地点，计算的长度． 【详解】解：（1）①根据题意得，点的坐标为，点的坐标为，且点为抛物线的顶点． 设抛物线的解析式为，将点代入，得， 解得． 抛物线的解析式为，即． ②在中，当时，， 解得（舍去）． 由实际情境，球员乙应在球员甲之后（），故取， 点的横坐标为，即球员乙到点的距离为． （2）根据题意得，设抛物线的顶点坐标为， 则解析式为， 将点代入，得． 解得（舍去）． 由顶球后球向前运动，顶点横坐标应大于点横坐标， 抛物线的解析式为． 当时，． 解得（舍去）． ∵落地点在前方， ． ． 答：他需要跑的距离的长度为． 23. 综合与实践 背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形． （2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形； 探索发现 （4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠DAE=90°． 由折叠知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°， ∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°， ∴四边形AEFD是矩形． ∵AE=AD， ∴矩形AEFD是正方形． （2）NF=ND′．证明如下： 连结HN．由折叠知：∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′． ∵四边形AEFD是正方形， ∴∠EFD=90°． ∵∠AD′H=90°， ∴∠HD′N=90°． 在Rt△HNF和Rt△HND′中，∵HN=HN，HF=HD′， ∴Rt△HNF≌Rt△HND′， ∴NF=ND′． （3）证明：∵四边形AEFD是正方形， ∴AE=EF=AD=8cm， 由折叠知：AD′=AD=8cm，EN=EF-NF=（8-x）㎝． 在Rt△AEN中，由勾股定理得： ， 即， 解得：x=2， ∴AN=8+x=10（㎝），EN=6（㎝）， ∴AN=6：8：10=3：4：5， ∴△AEN是（3，4，5）型三角形． （4）△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可； （2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可； （3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可； （4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形． 试题解析：（1）略 （2）略 （3）略 （4）图4中还有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形． ∵CF∥AE，∴△MFN∽△AEN． ∵EN：AE：AN=3：4：5，∴FN：MF：CN=3：4：5，∴△MFN是（3，4，5）型三角形； 同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测试题（卷） 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共、满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小丽在操场上做游戏，她在沙滩上画了一个面积为的矩形，并在矩形的四个角上画上面积不等的图形，在不远处的固定位置向矩形内部投掷石子（假设石子落在矩形内各点的概率相同），石子落在空白部分的记录如下表所示（石子未落在矩形外面和各区域边缘），由此估计空白部分的面积为（ ） 投掷次数 50 100 150 500 1000 石子落在空白部分的频率 0.60 0.62 0.68 0.64 0.64 A. B. C. D. 5. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 3 6. 如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A. B. C. D. 10. 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是______（写出一个即可）． 12. 在中，若，则_________度； 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的相似比为，则点的对应点的坐标为______． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸．） 16. （1）计算： （2）关于的一元二次方程可以变形为的形式，如下是小雨同学解方程的过程： 解： 原方程可变形为 ①上述解方程的方法是通过添项构造______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”） ②仿照题中的方法，解方程： 17. 如图，已知矩形及对角线． （1）过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整． 证明：四边形是矩形， ___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）． （③___________）．（填写推理的依据） ， ． ． （④___________）．（填写推理的依据） 18. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，过A作轴于点P，且． （1）求一次函数的解析式； （2）如图所示（），直接写出不等式的解集； （3） 是x轴上一动点，当的面积是时，求a的值． 19. “三十里的莜麦，四十里的糕，二十里的荞面饿断腰”，是山西一则民间谚语，反映不同主食耐饥程度的差异．近年来不吃碳水之风盛行，山西文旅随即发起“护面行动”，邀请全国各地的朋友来山西见—“面”，品尝山西的各种好吃耐饥的面食，有：A．黄米糕；B．莜面栲栳栳；C．猫耳朵；D．剔尖面等． （1）小彤从这四种面食中随机选择一种，恰好选中“C．猫耳朵”的概率是______； （2）小彤和小丽一起去山西面馆吃面，小彤先从上面四种面食中任选一种，小丽再从剩下的三种面食中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的概率． 20. 阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 莱洛三角形 《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，书中提出“圆出于方，方出于矩”的辩证思维．机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，其作法如下：作等边三角形，分别以点，，为圆心，的长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个莱洛三角形． 任务： （1）下列结论中，正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） ①莱洛三角形是轴对称图形； ②莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都是； ③莱洛三角形的顶点到上任意一点的距离都相等． （2）若的边长为，求莱洛三角形的周长．（结果保留） 21. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 22. 综合与实践 问题情境 在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内． 建模分析 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为） （1）①求抛物线的解析式． ②求球员乙到点的距离． 问题解决 （2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号） 23. 综合与实践 背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形． （2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形； 探索发现 （4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $