湖南省永州市2026届高三第二次模拟考试数学试题

永州市2026年高考第二次模拟考试数学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. 40 B. C. 80 D. 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知菱形的边长为2，是的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 6. 已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 7. 已知函数，若且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（ ） A. 角为锐角 B. C. D. 的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的第40百分位数为8.5 C. 这组数据的众数为11 D. 这组数据的方差为 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上有1个零点 B. 的周期为 C. 的值域为 D. 要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为___________． 13. 已知函数，若恒成立，则实数___________． 14. 在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 16. 如图，是半圆的直径，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点． （1）当时，求点到平面的距离； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． （1）设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； （2）用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 18. 已知椭圆经过点为的右焦点． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点（的斜率存在且不为0），设点关于轴的对称点为，的外接圆圆心为． （i）求面积的最大值； （ii）直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，当，求的最小值； （2）当时，证明：存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与的图象有3个交点； （3）当时，将在区间上的零点从小到大依次排列，记第个零点为，证明：． 永州市2026年高考第二次模拟考试数学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）2 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）（ii）是；定值为1， 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 当时，， ， 所以在点处的切线方程为：， 整理得， 令， 则，因为， 当时，为单调递增函数， 当时，为单调递减函数， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即， 极小值， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，为一个零点， 当为负整数时，极大值全部大于0，函数所有的极小值为， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点处的切线与有3个交点， 只需时，极小值，即，即有解， 令为上的严格增函数， ， 故存在唯一实数，满足故存在唯一的， 使得曲线在点处的切线与有3个交点. （3） 当时，零点即为零点， 在区间上单调递增， 又因为，当时，， 所以， 由（1）知，当时，，即， ， 又因为， 所以，即， 又因为 又，故， 故， 因为 故，因此， 又，函数在上单调递增， 所以， 故， 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $