第二十七章相似 单元练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章相似2025-2026学年人教版数学九年级下册 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 2．如图，如果，那么下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 3．折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，点，分别在的边，上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（　　） A． B． C． D． 5．在中，点，分别在边，上，且：：，：：，以，为邻边作平行四边形，若平行四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD的延长线于点E，则下列等式正确的为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．18 9．如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．有下列条件： ①∠B+∠DAC=90° ；②∠B=∠DAC；③④AB2=BD·BC． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如果，那么＝　 　． 12．如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离墙角，梯上点D距墙，长，则梯子长为　 　m． 13．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H，，，为　 　；当时，线段的长为　 　． 14．如图，边长为3的正方形的对角线与相交于点，点在上且，连接，过点作于点，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的长为　 　． 15．如图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是　 　． 三、解答题 16．已知：如图，△ABC∽△ADE，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数． ​ 17．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，，求a，b，c的长． 18．小明想要利用所学知识测量教学楼AB的高度．如图，小明竖直站在教学楼的影子末端C点处，此时小明测量出自己的身高，影子的的长度，以及小明站的位置到教学楼的距离，求教学楼AB的高度． 19．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB=30米，AD=20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C． （1）DQ=10米时，求△APQ的面积． （2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米． 20．如图，在中，对角线、相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于一点F． （1）若，，，求的长； （2）若，，，则______________．（用含有m，n，k的代数式表示） 21．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 【分析】根据比例线段的定义逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△ABF∽△DEF，△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△ABG∽△CEG， ∵△ABF∽△DEF， ∴ ，故A错误； ∵△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG， ∴ ， ， ∴ ，故B正确； ∵△AFG∽△CBG， ∴ ，故C错误； ∵△EFD∽△EBC， ∴ ，故D错误； 故答案为：B． 【分析】由题意可知，△EDF∽△ECB∽△BFA，△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG，根据相似三角形的对应边成比例写出成比例的对应边即可判定正确选项。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H， 所以根据相似比可知： ，即EF=2（6-x） 所以y= ×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故答案为：D． 【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，根据相似三角形对应高的比等于相似比得出从而用含x的式子表示出EF，根据三角形的面积计算方法即可列出函数关系式，根据函数关系式即可判断出其图像的大概形状。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形和四边形关于点O位似，， ∴， ∵四边形的面积是2， ∴四边形的面积是18． 故答案为：D． 【分析】根据位似图形的性质可得，再结合四边形的面积是2，可得四边形的面积是18。 9．C 10．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠DAC，不能证明∠BAC=90°，故①不符合题意； ②∠B=∠DAC， ∴∠DAC+∠BAD=90°即∠BAC=90°， ∴△ABC是直角三角形，故②符合题意； ③∵，∠ADB=∠ADC， ∴Rt△ABD∽Rt△CAD， ∴∠ABD=∠CAD， ∵∠B+∠BAD=90° ∴∠CAD+∠BAD=90°即∠BAC=90°， ∴△ABC是直角三角形，故③符合题意； ④∵ AB2=BD·BC， ∴ ∵∠B=∠B， ∴△CBA∽△ABD， ∴∠ADB=∠BAC=90°， ∴△ABC是直角三角形，故④符合题意； ∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有3个. 故答案为：C 【分析】利用垂直的定义可证得∠B+∠BAD=90°，利用余角的性质可证得∠BAD=∠DAC，不能证明∠BAC=90°，可对①作出判断；利用已知可证得∠CAD+∠BAD=90°，可对②作出判断；利用两个直角的斜边和一直角边对应成比例，这两个直角三角形相似，可推出∠BAC=90°，可对③作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△CBA∽△ABD，利用相似三角形的对应角相等，可证得∠ADB=∠BAC=90°，可对④作出判断；综上所述可得到 一定能够判定△ABC是直角三角形的个数. 11．【答案】8 12．【答案】 13．【答案】； 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示：设OG交CD于P，连接DG，过点O作OM⊥CD于M，过点G作GN⊥CD于N， ∵四边形ABCD是边长为3的正方形 ∴AB=BC=CD=3，∠ABC=∠BCD=90°， AC⊥BD，OA=OB=OC=OD， ∴AC=， ∴OA=OB=OC=OD=， ∵BE = 2AE， ∴BE=2， ∴CE=， ∵BF ⊥CE， ∴S△BCE=BC·BE=CE·BF， ∴3×2=BF， ∴， ∴由勾股定理可得：， 由旋转可得：CG=BF=，∠GCF=90°， ∴∠BCF+∠FCD=∠GCD+∠FCD=90°， ∴∠BCF= ∠GCD， ∵BC= CD， ∴△BCF≌△GCD， ∴DG=BF=，∠CGD= ∠BFC=90°， ∴S△CGD=CD·GN=CG·DG， ∴， ∴， ∵S△COD=OC·OD=CD·OM， ∴， ∴， ∴， ∵OM⊥CD，GN⊥CD， ∴GN//OM， ∴△OMP△ GNO， ∴， ∴，， ∴，， ∴OG=OP+GP=， 故答案为：. 【分析】根据题意先求出CE=，再求出△BCF≌△GCD，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。 15．【答案】1：2 【解析】【解答】解：连接AC，BD． 因为G、F为CD、BC边中点，所以GF=DB． 由于△CGF∽△CDB，所以 S△CGF=S△CDB， 同理可得S△DHG=S△CDA，S△HAE=S△DAB，S△BEF=S△CAB，于是 S△CGF+S△DHG+S△HAE+S△BEF=（S△CDB+S△CDA+S△DAB+S△CAB）=×2S四边形ABCD=S四边形ABCD， S四边形EFGH：S四边形ABCD=1：2 【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定性质，得到△CGF∽△CDB和相似比；由相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，得到S四边形EFGH：S四边形ABCD的比值. 16．【答案】解答：∵△ABC∽△ADE，∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°． 【解析】【分析】由△ABC∽△ADE，∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数． 17．【答案】（1）解：∵是的比例中项线段，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴长为6cm； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴. 【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到，代入的值即可得到的长； （2）设，然后用表示的值，再代入中得到关于的方程，求解方程得到的值，即可得到的值. （1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 18．【答案】教学楼AB的高度为． 19．【答案】解：（1）∵DC∥AP， ∴=， ∴=， ∴AP=90， ∴S△APQ=AQ•AP=1350米2； （2）设DQ=x米，则AQ=x+20， ∵DC∥AP， ∴=， ∴=， ∴AP= qw， 由题意得 ××（x+20）=1600， 化简得3x2﹣200 x+1200=0， 解x=60或． 经检验：x=60或是原方程的根， ∴DQ的长应设计为60或米． 【解析】【分析】（1）由DC∥AP，得到=，代入数据求得AP=90，于是得到结论； （2）设DQ=x米，则AQ=x+20，根据平行线分线段成比例定理得到=，得到方程=，求出AP=，解一元二次方程即可得到结论． 20．【答案】（1） （2） 21．【答案】（1)见解析 (2)AB= 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； (1)利用平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质得到结论； (2）先利用AE²=EF·BE，计算出EB=4，则FB=3，利用平行线分线段成比例定理求得，据此解答即可， 【详解】（1)证明：·四边形ABCD是平行四边形， FB=EB-EF=4-1=3 AE//CB 学科网（北京）股份有限公司 $