精品解析：江西吉安市吉州区2025—2026学年第一学期期末检测 八年级数学试卷

2025—2026学年第一学期期末检测 八年级数学试卷 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题(每小题3分，共18分) 1. 在实数，， ，，，中，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(每小题3分，共18分) 7. 填空：的平方根是___________． 8. 下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 9. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后，得到对应点的坐标是______． 10. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为_____． 11. 如下图，直线 与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M 的坐标是___________． 12. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为_________． 三、解答题(每小题6分，共30分) 13. （1）计算： （2）解方程组： 14. 如图，已知：，，求的面积 15. 如图，，，， 求证：． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 17. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 四、解答题(每小题8分，共24分) 18. 已知与成正比例，且当时，． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值； 19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 20. 随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． （1）一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 五、解答题(每小题9分，共18分) 21. 如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 22. 为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 （1）填空：______，______；______； （2）如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 六、解答题(共12分) 23. 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中， 点与原点重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1， 连接， 当点在线段上时， 求 （2）在（1）的条件下，求点 P 的坐标． （3）如图2，当点P与点 D 重合时， 沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． （4）是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末检测 八年级数学试卷 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题(每小题3分，共18分) 1. 在实数，， ，，，中，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据定义逐一判断每个数的类型是解题的关键. 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个实数是否为无理数即可. 【详解】解：∵是整数，∴是有理数； ∵ 是的相反数，而是无理数，∴ 是无理数； ∵是分数，∴是有理数； ∵ 开方开不尽，是无限不循环小数，∴是无理数； ∵是有限小数，∴ 是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； 综上，无理数有和，共个. 故选：B. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， 又∵都是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 故选：． 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的求解，立方根的求解，二次根式的加减法，根据算术平方根，立方根的定义，二次根式的加减法运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 4. 已知，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点所在的象限；根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征进行判断即可． 【详解】解：∵； 又∵， ∴ 点 的横坐标为负，纵坐标为负， ∴ 点P位于第三象限． 故选：C． 5. 一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题(每小题3分，共18分) 7. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 8. 下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了平均数及中位数，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 这一组数据的平均数为，因该组数据只有6个，故中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列，处于最中间两个数的平均数，分情况讨论m的位置，分别求出m的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为：， 由题意可知分为三种情况，  将原数据除去m后从小到大排序为5， 7， 8， 10， 15； ①当时，排序后数据的中间两数为7， 8，则中位数为中位数为， 由题意得，解得，满足，故此情况成立； ②当时，排序后数据的中间两数为8， m，则中位数为， 由题意得：，解得，不满足，故此情况不成立； ③当时，排序后数据的中间两数为8， 10，则中位数为， 由题意得：，解得．不满足，故此情况不成立． 综上所述，m的值为0． 故答案为：0． 9. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后，得到对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减是解题的关键． 让点A的横坐标减3，纵坐标减1即可得到平移后点A'的坐标． 【详解】将点先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后得到的对应点的坐标是，即． 故答案为：． 10. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，通过将方程组中的两个方程相加，得到，再根据条件解出即可． 【详解】解：解方程组：， 将两个方程相加，得： ∴， ∴， ∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：4． 11. 如下图，直线 与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M 的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出点的坐标，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为_________． 【答案】5或8或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用勾股定理和等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：在中，， ， 由题意，分以下三种情况： ①如图1，当时， ，即， （等腰三角形的三线合一）， ， （秒）； ②如图2，当时， （秒）； ③如图3，当时， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 则（秒）； 综上，的值为5或8或， 故答案为：5或8或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和定义、勾股定理，正确分三种情况讨论是解题关键． 三、解答题(每小题6分，共30分) 13. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用二次根式的运算法则和平方差公式进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）原式； （2） ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是． 14. 如图，已知：，，求的面积 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 15. 如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，，得到，利用证明，即可得证． 【详解】略 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】（1） 如图1所示：正方形即为所求； （2） 如图2所示：三角形即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）的算术平方根为6 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得a的值；根据立方根的定义求得b的值； （2）先把a、b的值代入求解，再计算算术平方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为6． 四、解答题(每小题8分，共24分) 18. 已知与成正比例，且当时，． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值； 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数的图象和性质，熟知待定系数法及一次函数的图象和性质是解题的关键； （1）设出与之间的关系式，再将，代入关系式即可解决问题． （2）将代入（1）中的解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，设， 将，代入函数解析式得， ， 解得， 所以， 则与之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：将代入得， ， 故的值为9． 19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）4 （2）或 （3） 解：∵点在第二象限， ∴． ∵长距为4，且到y轴距离为， ∴到x轴距离． 即． 解得． ∴． ∴点D坐标为． ∴到x轴距离为5，到y轴距离为5，相等． 故点D是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴点A的“长距”为4． 故答案为：4． 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴． ∴或． 解得：或． 【小问3详解】 略 20. 随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． （1）一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 【答案】（1）A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 （2） （3）购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为14.8万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【小问1详解】 解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； 【小问2详解】 解：根据题意，， 整理得， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数， ∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 五、解答题(每小题9分，共18分) 21. 如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分别令和，求出对应的y和x的值即可； （2）根据点C坐标表示出点C到y轴的距离，四边形的面积等于和的面积之和，分别求解后相加即可． （3）先根据求出四边形的面积，进而得到的面积．点P的位置有两种可能性，x轴的负半轴和y轴的负半轴，分类讨论，利用三角形面积公式求出或的长，然后求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：当，， ∴， 当，，解得，， ∴， 【小问2详解】 ∵点在第三象限， ∴点C到y轴的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 当时，， ∵， ∴， 当点P在x轴的负半轴上时，设点， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴， ， 解得，，此时， 当点P在y轴的负半轴上时，设点， ∵点P和点B的相对位置不确定， ∴， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴，此时， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质，点到坐标轴的距离，坐标系中的三角形面积和动点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 22. 为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 （1）填空：______，______；______； （2）如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】（1），， （2）人 （3） 八年级在此次人工智能科普测试中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好； 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）根据七年级人的得分可求出；根据扇形统计图和组得分可得出和； （）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可； （）根据平均数，众数和中位数的意义． 【小问1详解】 解：∵出现的次数最多， ∴众数 ∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴. ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴. ∴，，； 【小问2详解】 ∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在七年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． 【小问3详解】 略 六、解答题(共12分) 23. 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中， 点与原点重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1， 连接， 当点在线段上时， 求 （2）在（1）的条件下，求点 P 的坐标． （3）如图2，当点P与点 D 重合时， 沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． （4）是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）点P的坐标为； （3） （4）点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，线段的和差关系求出的长即可； （2）设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （3）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （4）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，分两种情况讨论：点在的上方，此种情况又分为和两种情况；点在的下方；分别根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：由（1）知：，，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 【小问4详解】 解：如图所示，过点作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ①当点在的上方时， 若， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 若， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时，如图，过点作交于点E，交于点F， 则， 若，则， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $