精品解析：天津市博文中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题

2025－2026学年天津博文中学高二（上）第二次阶段性测试 高二数学 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知是等差数列，，，则公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可. 【详解】，. 故选：B. 2. 等差数列中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列下标和性质可得. 【详解】因为，，所以. 故选：C 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程． 【详解】抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,=1， ∴抛物线的准线方程是x＝﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题． 4. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离 A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】由椭圆知椭圆长轴长为设椭圆另一个焦点为，根据椭圆定义得：故选D 5. 已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得. 【详解】，且， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， 通项公式为， ， 故选：B. 6. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面与平面垂直的向量表示可以得出答案. 【详解】由题意得，,即,解得. 故选：B 7. 已知递增等比数列，，，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可. 【详解】因为递增等比数列中， 所以， 又， 解得， 所以，解得， 所以， 故选：D 8. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长. 【详解】由圆的方程可得：圆心，半径， 圆心到直线距离，直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 9. 已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案. 【详解】由抛物线定义得， 又，解得． 故选：D 10. 已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案． 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即，解得或，又因为，即． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 双曲线的焦距等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得，由双曲线关系可求得焦距. 【详解】由双曲线方程知：，，，则双曲线焦距为. 故答案为：. 12. 在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是_____． 【答案】y2＝20x 【解析】 【详解】试题分析：焦点为F(5，0)，所以抛物线开口向右，标准方程可设为，又所以，抛物线的标准方程是y2＝20x 考点：抛物线的焦点坐标与方程关系 13. 已知是等比数列，，则公比 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质：，即可求出结果. 【详解】因为是等比数列，所以，所以． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，数列掌握等比数列性质，是解决本题的关键，属于基础题. 14. 已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】求解的通项公式，进而可得的通项公式再求和即可. 【详解】由题意，公比为，则，故. 故数列的前6项和为. 故答案为： 15. 已知数列前项和为，且，则_______. 【答案】，. 【解析】 【分析】由的递推关系，讨论、求及，注意验证是否满足通项，即可写出的通项公式. 【详解】当时，， 当且时，， 而，即也满足， ∴，. 故答案为：，. 三、解答题（共4道题，每小题10分，共40分） 16. 求下列数列的通项公式及前项和． （1）若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． （2）若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 【答案】（1）； （2）,. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再求出通项公式与前项和； （2）利用等比数列的定义求出公比，再求出通项公式与前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以. 所以，． 所以数列的通项公式为，前项和． 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 因为，所以. 所以，. 所以数列的通项公式为，前项和为. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心． （1）求； （2）求直线AE与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面AEF的距离． 【答案】（1）； （2）； （3） . 【解析】 【分析】（1）利用公式即可求出答案； （2）设直线AE与平面所成角为，平面的一个法向量为，根据公式即可求出答案； （3）设平面的一个法向量为，利用向量法，根据公式即可求出答案. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为点E，F分别是上底面和侧面的中心，所以， 所以， 所以， 即. 【小问2详解】 取平面的一个法向量为，又， 设直线AE与平面所成角为. 则； 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 因为，，所以， 即，令，则，所以， 所以点C到平面AEF的距离为. 18. 已知等差数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】（1） （2）当时，最小，最小值为． 【解析】 【分析】（1）列方程求出，即可求数列的通项公式； （2）由（1）知，利用二次函数的性质可求的最小值及取得最小值时的值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得， 解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 又，所以当时，取最小，最小值为． 19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l，交椭圆C于A，B两点，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 设，则直线l的方程为， 联立 可得． 设，，则，， ∴ ． ∴为定值． 【解析】 【分析】（1）由短轴长为2，离心率为，可得，结合可求，则椭圆方程可得； （2）设椭圆C长轴上的一个动点，则直线方程可设为与椭圆联立可得，，如果设，，则进一步，，再代入即可求得其定值. 【小问1详解】 短轴长为2，离心率为． ，，又， 解得，． ∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年天津博文中学高二（上）第二次阶段性测试 高二数学 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知是等差数列，，，则公差为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 4. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离 A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 5. 已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 6. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知递增等比数列，，，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 8. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 4 D. 2 10. 已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 双曲线的焦距等于_________. 12. 在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是_____． 13. 已知是等比数列，，则公比 ______． 14. 已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______. 15. 已知数列前项和为，且，则_______. 三、解答题（共4道题，每小题10分，共40分） 16. 求下列数列的通项公式及前项和． （1）若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． （2）若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心． （1）求； （2）求直线AE与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面AEF的距离． 18. 已知等差数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及取得最小值时的值． 19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l，交椭圆C于A，B两点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $