精品解析：广西、湖南部分学校2027届高三上学期10月阶段性素质评价数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 将四本不同的书分给甲、乙两人，若每本书都分出去，且每人至少一本，则不同的分法有（ ） A. 11种 B. 12种 C. 13种 D. 14种 5. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知随机事件，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 10. 已知正数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与互相垂直，则实数_________. 13. 已知 ，则 ______． 14. 已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 （1）将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； （2）依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 16. 已知函数，． （1）若 的最小正周期为，求的单调递减区间； （2）若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，点在棱上，，点是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． （1）求的方程． （2）已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． （3）已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 19. 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本概念与四则运算求解. 【详解】由题意可得， 所以． 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由椭圆，知，所以，， 故的面积为. 4. 将四本不同的书分给甲、乙两人，若每本书都分出去，且每人至少一本，则不同的分法有（ ） A. 11种 B. 12种 C. 13种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【详解】若甲分1本，乙分3本，则共有种； 若甲分2本，乙分2本，则共有种； 若甲分3本，乙分1本，则共有种； 综上，共有种不同的分法． 5. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求. 【详解】由条件可知，，则， 根据余弦定理. 6. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】已知函数，若是奇函数，则有， 即，得到，化简得， 要使等式对定义域内的恒成立，则必须满足，解得或， 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 所以，若，则是奇函数；若是奇函数，则或； 因此“”是“为奇函数”的充分不必要条件，故A正确. 7. 已知随机事件，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式及并事件的概率公式即可. 【详解】因为， 所以. 所以 则. 所以. 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，结合韦达定理即可求解. 【详解】，定义域为. 令， 当时，，，单调递减，值域为； 当时，，，单调递增，值域为. 因为有4个实数根，，，（）， 所以有两个大于的不等实根， 所以，则；，则. 由得，即，则. 所以. 由得. 则，即. 所以，解得. 由得. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知双曲线 ，，因此 ，，因此 ，由，得 ， A.双曲线方程中 项符号为正， 项符号为负，对应焦点在 轴上，A正确； B.焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为 ，代入 、，得 ，B正确； C.双曲线离心率 ，代入 、，得 ，而非 ，C错误； D.双曲线的虚轴长为 ，代入 ，得虚轴长 ，D正确. 10. 已知正数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件确定 的大小关系，再借助相应函数的单调性或作差法逐项判断. 【详解】因为 ，， ，得 ，所以 . 对于 A，因为 在 上单调递增，则，故A 正确； 对于 B，， 其中 ， 不能确定正负. 例如取 ，，则 ，故B 错误； 对于 C，，故C 正确； 对于 D，因 是减函数，则得 ，故D 正确. 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举反例即可；对于B，利用函数零点和符号确定、的关系；对于C，利用图象关于原点对称的性质及导数判断交点个数；对于D，取边界值检验D项，并证明该值确实满足原不等式． 【详解】对于A，取，则，该函数严格递增，输出幅度值与输入幅度值一一对应，但，A错误． 对于B，由题意得当且仅当． 又，因此，． 若，不妨设，取，则，，，所以，与题意矛盾． 因此一定有，B正确． 对于C，此时，其图象与边界均关于原点对称，只需判断右半平面的交点个数． 当时，，由得，故交点横坐标满足 由，列增减表如下： − + ↘ ↗ 由表可知，方程在内恰有2个不同的解，对应2个交点． 当时，，由边界方程得，故交点横坐标满足 由，，且，知该区间恰有个交点． 边界上，且、、时均非交点，故右半平面恰有个交点． 结合关于原点的对称性，共有个交点，C正确． 对于D，当时，． 取，则当时， 所以当时，对任意均有，但不满足，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与互相垂直，则实数_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题知，，. 13. 已知 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】对 进行切化弦，并由积化和差把两边都化为的式子，即可求得  ． 【详解】由 有意义知 ，，. 所以 ， 所以. 又， . 所以 ， 即 ，所以 . 14. 已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由设，将几何条件转化为一元参数；利用面面垂直时点到平面距离最大这一翻折性质，确定到底面的最大高为到的距离；以五边形为底，写出体积关于的一元函数；求导利用单调性得到最大值. 【详解】设，由条件可得， 因为在边上且不含端点，正方形边长为，因此， 在中，斜边，的面积为， 底面五边形的面积为， 翻折过程中，点在过点且垂直于的平面内运动， 因此点到底面的距离，不会超过点到直线的垂线段长度， 当且仅当平面平面时，取得最大值， 由三角形等面积法，点到直线的距离为， 即点到底面的最大高为， 故多面体是以五边形为底、为顶点的五棱锥， 体积公式为，将高的最大值代入，得到体积为， ，令，解得，即（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此时，体积取得最大值，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 （1）将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； （2）依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】（1） （2）使用工具与数学成绩有关 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为． 所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． 【小问2详解】 零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得． 因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 16. 已知函数，． （1）若 的最小正周期为，求的单调递减区间； （2）若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先用两角和与差公式与二倍角公式把化为一个余弦型函数，由最小正周期求出，再解不等式得单调递减区间； （2）换元，把“区间内恰有 4 个根”转化为区间右端点与的根的位置关系. 【小问1详解】 ， 所以. 由最小正周期 得，即. 令，解得，. 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 方程 即. 令. 由， 得 . 在 上， 的根依次为 方程在内恰有4个根，等价于区间含前4个根而不含第 5 个根， 即，解得 . 所以的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，点在棱上，，点是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以，. 又因为四边形为矩形，所以． 因此两两互相垂直， 所以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，. 因为，所以， 又，所以，即是的中点，所以. 因为，，, 所以，， 所以，即，， 又因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线面垂直可得； （2）直接用向量的方法计算线面角可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为． 因为，， 所以，令，得，． 设直线与平面所成的角为，，， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． （1）求的方程． （2）已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． （3）已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）设，．易知，，则，同理． 因为以为直径的圆过点，所以，所以， 整理，得．（*） 设直线：，代入，得， 则，． 代入（*）中，得，整理得． 于是直线：，过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意确定坐标，进而可求解； （2）确定，再考虑与平行的直线：，代入，联立计算求解即可； （3）设，．通过垂直关系，得到，再设：，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由得或所以． 由题意得，解得． 故的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线的方程为． 代入，得，解得或18．由（1）知，故． 因此． 考虑与平行的直线：，代入，得， 令，得．即时，与相切． 此时与直线的距离． 当在上方时，与恒有两个交点． 当在下方时，若，与有两个交点；若，与有一个交点；若，与没有交点． 因为面积相同的三角形有4个，所以． 又，所以，即的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）此时. 令， ，则 ， 又，， 故在上有唯一零点 ，即. 因， 所以 当 时 ； 由解析式可知在上单调递增、 当时，恒成立，故在上单调递减， 且， 所以的最大值点 ， 不妨设 . 由及两侧的单调性得： ，且 ，. 令，，， 则， （因 ，下面证明， 证明：令，则在时恒成立， 即在单调递增，又当时，，故 即）， 故、在上均单调递增. 由 得 ； 由 得 . 又，，故， 所以，即 ，得证. 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，用点斜式写出切线方程； （2）（ⅰ）分别求 的最小值与 的最大值，由互为相反数列方程求 ；（ⅱ）先确定 的分段表达式与最大值点 ，再由 把 分居 两侧，通过比较单调函数的增量证明结论. 【小问1详解】 ，故 ，. 所以曲线 在点 处的切线方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ） 的定义域为 ，. 当时，当时， 故的最小值为. 又 ，故 在 上单调递增、在 上单调递减，最大值为 . 由题意，解得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $