精品解析：陕西西安市高陵区第三中学2025-2026学年第一学期高一期末数学试卷

高陵区第三中学2025-2026学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B错笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 角终边所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在同一直角坐标系中，函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 7. 若下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 8. 是定义在上的减函数，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，为偶函数且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）下列说法正确的是（ ） A. 函数区间上存在零点 B. 若函数的最小正周期为，则 C. 函数的单调递减区间为 D. 已知扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =____________. 13. 化简：___________． 14. 函数（其中）图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）若，求． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间的值域． 17. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心； （3）求关于不等式的解集． 18. 某公司生产两种芯片，已知芯片的利润（单位：亿元）与投入金额（单位：亿元）的关系式为，芯片的利润（单位：亿元）与投入金额（单位：亿元）的关系式为.假定 （1）求实数的值； （2）该公司现有44亿元资金全部投入芯片和的生产，问：怎样分配资金，才能使公司获得最大利润？并求出最大利润. 19. 已知函数（且），． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高陵区第三中学2025-2026学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B错笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】概念直接计算即可. 【详解】由题可得. 故选：C. 2. 角终边所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用负角按顺时针方向转动，即可得到判断. 【详解】由负角按顺时针方向转动，则可知角终边所在的象限为第三象限， 故选: C 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要性和正弦函数的最值求解. 【详解】当时， ， 但是当 ，可能， 则， 可得是“”成立的充分不必要条件. 故选：B 4. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可作出判断. 【详解】由，可知函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由图可知选项D符合. 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 故选：A. 6. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性，结合函数值即可作出判断. 【详解】由，且定义域为，所以是偶函数， 即图象关于轴对称，故排除AC， 因为，所以排除A，则D正确. 故选：D 7. 若下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和三角函数值的正负逐项判断. 【详解】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，， 则，B正确； 对于C选项，，， 则，C错误； 对于D选项，，， 所以，D错误. 故选：B 8. 是定义在上的减函数，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数值，幂函数和对数函数取值分析，结合单调性，即可判断选项. 详解】由， 则， 又因为是定义在上的减函数， 所以， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件和同角三角函数的平方关系可得，计算，结合三角函数的正负可得，进而可得逐项判断. 【详解】∵， ∴，即， ∴，D错误； ∵，∴，∴， ∴， ∴，C正确； 由，得， 则，选项A正确，选项B正确. 故选：ABC 10. 下列函数中，为偶函数且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性和正弦函数，对数函数，余弦函数的单调性即可作出判断． 【详解】对于A，幂函数是奇函数，故A错误； 对于B，满足，所以是偶函数， 因为，所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，满足，所以是偶函数， 因为，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D，满足，所以是偶函数， 因为，所以在区间上单调递增，故D正确； 故选：BCD 11. （多选题）下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上存在零点 B. 若函数的最小正周期为，则 C. 函数的单调递减区间为 D. 已知扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为10 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，利用函数零点存在定理判断函数在给定区间上是否有零点；对于选项B，先对函数进行化简，再根据三角函数的周期公式求出的值；对于选项C，先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性判断函数的单调区间；对于选项D，根据扇形的周长和面积公式，结合基本不等式求出扇形面积的最大值. 【详解】对于选项A，由，，， 因，且函数在上连续， 所以函数在区间上存在零点，故选项A正确； 对于选项B，， 由，得，故选项B正确； 对于选项C，由，解得或， 令，则，因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 所以的单调减区间为，故选项C正确； 对于选项D，设扇形的半径为，弧长为，则，即， 扇形的面积， 当且仅当，即时等号成立，所以扇形面积的最大值为25，故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =____________. 【答案】 【解析】 【分析】由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求三角函数值，熟记两角差的正弦公式即可，属于基础题型. 13. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角的商数关系即可求解. 【详解】化简：, 故答案为： 14. 函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的对称性求出参数，再利用余弦函数的零点分布可确定参数的范围. 【详解】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数恒等式、幂的运算性质、对数运算性质及特殊角的余弦值可得； （2）将原式化为关于的齐次式，再弦化切可得. 【详解】（1）原式； （2）原式. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间的值域． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的最小正周期以及单调区间即可求解； （2）利用正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数 所以函数的最小正周期为， 令， 解得：， 所以函数的单调递减区间为 【小问2详解】 令， 解得：， 函数的单调递增区间为 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 由于，， ， 所以函数在区间的值域为 17. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据最值可求得，根据周期可求得，根据最值点可求得；（2）根据图象变换先得到函数的解析式，即可求得对称中心；（3）根据余弦函数的图象解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 由图知最大值为，最小值为，即，解得， 所以. 由图知的最小正周期为，即，解得， 所以. 将的坐标代入得， 所以，所以，解得， 又，所以，所以. 【小问2详解】 将图象上各点的纵坐标向下平移1个单位长度，得到，即的图象； 再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象； 最后将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象， 所以. 所以图象的对称中心与余弦曲线的对称中心一样，为. 小问3详解】 ，即， 所以，解得， 即不等式的解集为． 18. 某公司生产两种芯片，已知芯片的利润（单位：亿元）与投入金额（单位：亿元）的关系式为，芯片的利润（单位：亿元）与投入金额（单位：亿元）的关系式为.假定 （1）求实数的值； （2）该公司现有44亿元资金全部投入芯片和的生产，问：怎样分配资金，才能使公司获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）投入35亿元生产芯片，投入9亿元生产芯片时，企业获得利润最大，利润的最大值为30-亿元 【解析】 【分析】（1）根据这一条件和对数运算性质计算即可. （2）先列出利润的表达式并化简，根据基本不等式的性质求出最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 设投入亿元生产芯片，则投入（44-x）亿元生产芯片， 设企业获得利润为，则 ， 所以 . 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以投入35亿元生产芯片，投入9亿元生产芯片时，企业获得利润最大，利润的最大值为亿元. 19. 已知函数（且），． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）奇函数，证明见解析； （3）当时实数的取值范围，当时实数的取值范围. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义域来列不等式组求解即可； （2）利用奇函数恒等式来证明即可； （3）利用分类讨论函数单调性，结合奇函数性质来求解不等式即可. 【小问1详解】 由， 由，解得：，则的定义域为； 【小问2详解】 由， 可得：，又因为定义域为关于原点对称， 所以是奇函数； 【小问3详解】 由是奇函数，可得， 由于函数在上单调递减， 则当时，在上单调递增， 此时，解得：， 则当时，在上单调递减， 此时，解得：， 综上可得：当时实数的取值范围，当时实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $