精品解析：山西省太原新力惠中学校2024-2025学年高一上学期第四次月考数学试卷

高一数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得，解对数不等式得，再求并集即可. 【详解】解不等式得或，即； 解不等式得，即， 所以. 故选：B 2. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角正余弦函数值的定义求出正余弦值，代入计算即可. 【详解】因为角终边过点，所以， . 所以. 故选：A. 3. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别利用正弦函数，指数函数和对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故BC错误； 又因为，则，故D错误； 故选：A. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得的关系，根据，可得的关系，根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，则或， 若，则或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切函数对称中心的通式，结合函数内部的线性变换和平移量，求出对称中心的横、纵坐标表达式，再通过取整参数验证选项是否符合通式。 【详解】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 7. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 二、多选题 9. 下列命题正确的有（     ） A. 若是第一象限角，则一定是锐角 B. “”是“”的充分不必要条件． C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据象限角及锐角的概念即可判断出选项A；根据三角函数的求值及充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断出选项B；根据诱导公式即可判断出选项C；根据扇形弧长公式和面积公式即可判断出选项D. 【详解】选项A：第一象限角的范围为，.如是第一象限角，但不是锐角，A错误； 选项B：充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 选项C：因为，所以，C正确； 选项D：设扇形的半径为，则，所以， 所以该扇形的面积为，D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图像，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图像，函数，所以， 因为阴影部分的面积为，可得，所以，所以A正确； 对于B，由，可得，所以， 将点代入，可得，即， 因为，所以，所以， 令，可得， 取，可得，对称中心为； 取，可得，对称中心为， 所以点不是曲线的对称中心，所以B错误； 对于C，由，可得， 取，可得，所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，函数在区间内单调递增， 因为，所以函数在区间上单调递增，所以D错误． 故选：AC． 11. 对于函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 该函数的值域是 B. 当且仅当时，函数取得最大值1 C. 该函数最小正周期为 D. 当且仅当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象即可逐项判断得到答案． 【详解】作出函数的图象如图所示， 选项A：则该函数的值域是，故A正确； 选项B：函数取得最大值1时，或，故B错误； 选项C：函数的最小正周期为，故C正确； 选项D：当且仅当时，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设，则在严格递增，又， 所以，即，故. ， 故：， 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数，故实数m的最小值为, 则正实数的取值范围是 故答案为： 13. 若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的平移及对数函数的单调性及函数值列式得到答案. 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： 14. 设函数，的图象如图所示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象求得，进而根据函数周期性求解即可. 【详解】由图可知，，周期满足：，， 所以，，，即， 所以， 所以， 所以, 所以 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围 （3）若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知对任意的，，结合二次不等式恒成立求解即可； （2）分析可知函数的值域包含，结合二次函数的基本性质求解即可； （3）按照、和分类讨论，结合二次函数性质和对数函数性质，利用复合函数单调性法则列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意知对任意的恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得． 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 若的值域为，则函数的值域包含， 当时，，符合题意， 当时，则，解得. 综上所述，若值域为，则的取值范围为； 【小问3详解】 由和复合而成， 显然在定义域上单调递减，所以要使在区间上单调递减， 则在区间上单调递增，且在区间上恒成立， 当时，函数在区间上单调递增，且，符合题意； 当时，由题意，所以； 当时，由题意，所以． 综上，a取值范围是. 16. 解决下列问题： （1）已知为第二象限角，化简： （2）已知：，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据同角三角函数关系化简求解即可； （2）根据同角三角函数关系得，再结合诱导公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为为第二象限角，所以， 所以 【小问2详解】 解：因为，所以，， 因为，所以 因为， 所以. 17. 已知函数（，）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称． （1）求不等式的解集； （2）求方程根的个数． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质求得函数解析式，再解三角不等式即可； （2）通过分析函数与的图象交点的个数来确定方程根的个数. 【小问1详解】 解：因为函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离为 所以函数的最小正周期为，即， 因为的图象关于点对称， 所以，即， 又因为，所以， 所以， 所以，即， 所以，即 所以不等式的解集为 【小问2详解】 解：求方程根的个数，等价于求方程根的个数， 等价于求的图象与的图象交点的个数， 在同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象，如图， 观察图象可知，函数图象与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个根. 18. 已知，函数，其中． （1）设，求t的取值范围； （2）求函数的最大值（可以用a表示）； （3）若对区间内的任意实数x，总有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的最大值是；当时，的最大值是；当时，的最大值是． （3） 【解析】 【分析】（1）令，再两边平方并结合范围求解即可； （2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得； （3）问题转化，再结合（2）分类讨论可得． 【小问1详解】 解：由已知可得， 又因为，所以， 从而，所以． 又因为，所以， 【小问2详解】 解：因为， 所以，． 所以函数的最大值即求，的最大值． ，对称轴为． 又因为 所以，当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，的最大值是； 当时，的最大值是； 当时，的最大值是． 【小问3详解】 解：由题意知函数在上的最大值， 由（2）知当时，的最大值是． 所以，即且，所以 当时，的最大值是； 此时，即，所以，此时 当时，的最大值是；即恒成立 综上所述，实数a的取值范围为． 19. 已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. （1）求和的值； （2）用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （3）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别可得函数的最大值及最小值，进而可得a的值，再由函数为奇函数可得，进而得b的值； （2）根据定义直接证明函数是增函数； （3）直接将函数的零点转化为方程有两个不同的根，再令，进而将方程转化为有两个不同的正根，再根据对勾函数的性质可得所求值的范围. 【小问1详解】 因为函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6， 当时，函数在上单调递减，， 解得(舍去)或（舍去），均不符合题意. 当时，函数在上单调递增，， 解得或（舍去）.所以. 又有函数是奇函数，且定义域为R，所以，解得. 经检验，符合题意， 故，. 【小问2详解】 设，且，由（1）得，所以，. ， 由，在R上单调递增，所以，即，且，所以. 所以，即，所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为由（1）可得，， 所以. 令，所以. 又因为函数恰有两个不同的零点， 所以方程，即有两个不同的正根， 而由对勾函数，当且仅当时等号成立，且函数在单调递减，在上单调递增，. 所以方程即有两个不同的正根，即与有两个不同的交点，得.如图： 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则、、大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点是函数图象的一个对称中心，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的有（     ） A. 若第一象限角，则一定是锐角 B. “”是“”的充分不必要条件． C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 10. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数区间上单调递减 11. 对于函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 该函数的值域是 B. 当且仅当时，函数取得最大值1 C. 该函数的最小正周期为 D. 当且仅当时， 三、填空题 12. 已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 13. 若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 14. 设函数，的图象如图所示，则________． 四、解答题 15. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围 （3）若在区间上单调递减，求的取值范围． 16. 解决下列问题： （1）已知为第二象限角，化简： （2）已知：，且，求的值． 17. 已知函数（，）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称． （1）求不等式的解集； （2）求方程根的个数． 18. 已知，函数，其中． （1）设，求t的取值范围； （2）求函数最大值（可以用a表示）； （3）若对区间内的任意实数x，总有，求实数a的取值范围． 19. 已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. （1）求和的值； （2）用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （3）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $