精品解析：山西省太原市古交市第一中学2025-2026学年高一上学期一月月考数学试题

2025-2026学年高一上学期数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合和集合，根据交集的定义求出. 【详解】由题意知，，，所以. 故选：C. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解. 【详解】命题， 则的否定为. 故选：C 3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件得到函数定义域为，代入，得到函数为奇函数，判断函数为定义域上增函数，再结合题目条件正数满足得到，代入目标函数使用基本不等式求出最小值. 【详解】已知，定义域为， ，故是奇函数， 令，则，因随增大而增大， 且随增大而增大，故在上单调递增， 由条件得：，利用奇函数性质，于是， 由于单调递增，必有，即， 已知，求的最小值： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故， 当时，，符合条件，故最小值为. 故选：A 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性排除B；由可得排除D；利用函数单调性定义确定在上的单调性排除C即可. 【详解】函数的定义域为R， ， 则函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，，排除D； 任取，则，， ，而，因此， 即，则函数在上单调递增，排除C，A符合题意. 故选：A 5. 关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的有界性可判断①；利用三角函数图象变换可判断②；利用正弦型函数的单调性可判断③；利用正弦型函数的对称性可判断④. 【详解】对于①， ， 所以，①错； 对于②，将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 可得到函数的图象，②错； 对于③，当时，， 所以函数在上单调递增，③对； 对于④，由可得， 因此函数的图象的对称中心为，④错. 故选：A. 6. 若函数，且的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选 ：B 7. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明图象关于直线对称，求出在上单调递增，再根据对称性和单调性比较大小即可. 【详解】因为函数，定义域为，而且， 所以关于直线对称， 因为时，在上单调递增， ， ， 因为， 所以， 即，所以. 故选：C. 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得函数的图象与的图象有3个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以时，， 又因为对任意的，都有， 所以，即， 又因为，即， 所以，所以，即函数以4为周期， 又由方程恰有3个不同的实数根， 得函数的图象与的图象有3个不同的交点， ， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 综上， 故选：D 二､多选题：本愿共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据，由的单调性判断；B.作差判断；C.由，判断；D.由和的单调性判断. 【详解】因为， 所以 ，又在上递增，所以 ，故A正确； ，故B正确； 所以，，所以，故C错误； 所以，在上递增，则，又在上递增， 则 ，所以，故D正确， 故选：ABD 10. 已知，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；B选项，计算出，展开后代入求解；C选项，得到，结合角的范围得到；D选项，在C基础上，得到，结合求出. 【详解】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 11. 函数满足：，且时，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：赋值得到方程，得到或，排除，得到；B选项，，时不合要求，，故；C选项，设，则，得到，故C正确；D选项，由单调性得到，解不等式得到D错误； 方法二：令，变形得到，不妨令，则，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】方法一：对于A：当时，，解得或， 若，当，令得， 代入，解得， 但当时，，不合要求，舍去， 若，令得， 即，恒成立，满足要求，，选项A错误； 对于B：， 时，若，则，与已知矛盾，； 又时，，所以，选项B正确； 对于C：设，则， ， 所以 ， 由B知，，故， 故， ，故在上单调递增，选项C正确； 对于D：由C知，在上单调递增， 故等价于， ， ， ，或， ，或，选项D错误. 方法二：， 即，令， 则， 不妨令，则， 满足时，，当时，， A选项，，A错误； B选项，恒成立，B正确； C选项，在上单调递增，C正确； D选项，等价于， ， ， ，或， ，或，D选项错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据 ，可推断在上单调递减，又由于是偶函数，可知在单调递增．分区间判断的取值情况，可得不等式的解集． 【详解】定义在上的偶函数满足对任意的，都有， 所以在上单调递减， 根据偶函数的对称性可得，在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 当或或时，， 则不等式可得或， 所以或. 故答案为：或. 13. 已知，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 14. 水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称A位于的“大距点”.如图2，初始时刻A位于，位于以为始边的角的终边上. （1）若，当A第一次位于的“大距点”时，A的坐标为______； （2）在内，A位于“大距点”的次数最多有______次 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】根据题意可得，，可得，结合倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题，结合图象分析求解. 【详解】（1）当时，经过时间，，， 当A位于的“大距点”时，与小圆相切， 此时为直角三角形，所以， 因为，所以， 因为A是第一次位于的“大距点”，可知，则， 所以，， 即A的坐标为； （2）经过时间，，， 对于任意，当A位于的“大距点”时， A，两点坐标满足，即， 当时，求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题. 若与有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期， 共长度等于36，因为，所以内不可能有7个交点. 又当时， 如图所示，与有6个交点，故A最多有6次位于的“大距点”. 故答案为：；6. 【点睛】方法点睛：数形结合求交点个数：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 16. 在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式直接计算即可求解； （2）设地面长，则，从而有，然后利用基本不等式求解最小值即可； （3）由题意时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二报价为29700元， 所以，解得， 所以的值为18. 【小问2详解】 设地面长为，， 所以墙面面积为， 所以， 因为，当时取等， 所以，最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 17. 已知定义域为的函数的解析式为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）由题知，进而得，，记在上的值域为，即可将问题转化为，再根据，利用集合的包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，， 因为方程在区间有两个不同的实数解， 所以与，图象有两个不同的交点， ，图象如图：    方程有两个不同的解，由图象可知. 所以实数的取值范围为 【小问3详解】 当时，，则， 当，，则， ，记在上的值域为， 因为若对任意的，总存在，使得成立， 所以，显然当时，不满足题意； 当时，，故， 则，解得，所以； 当时，，故， 则，解得，所以； 综上所述，． 18. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）证明：在上单调递增； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性以及对数运算性质即可求解； （2）先表示出函数的解析式，化简得出，令，利用定义证明在上的单调性，然后根据对数函数的单调性以及复合函数单调性判断即可； （3）利用函数奇偶性结合单调性等价出不等式解出即可. 【小问1详解】 由， 所以 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 即， 因为，所以. 【小问2详解】 证明：由（1）得：， 即 ， 令， 对，规定， 由 因为函数在单调递增，且， 所以，且， 即， 所以， 所以函数在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 【小问3详解】 因为函数是上单调递增的偶函数， 所以， 所以的解集等价于： ， 所以有：， 令，则， 所以， 解得：或， 即或， 解得：或， 所以不等式的解集为：. 19. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， （1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， （2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到或，的定义域为，所以或，从而求出区间长度； （2）（ⅰ）不等式解集为或，设的两个根为，的两个根为，求出，其中，即，解得或，故或，所以或，结合正弦和差公式得到答案； （ⅱ）由（ⅰ）可得，平方后，结合同角三角函数关系，基本不等式得到，所以，所以，故，所以，故的最大值为. 【小问1详解】 时，， ，故或， 的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； 【小问2详解】 （ⅰ），， 其中，故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即，， 又，解得或，故或， 所以 或 ； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 则， 即， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以或， 由于，故， 所以，舍去， 故， 所以， 因为，所以， 由可知，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A B. C. D. 3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数的四个结论： ①最大值； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 若函数，且的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本愿共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，若，，则（ ） A B. C. D. 11. 函数满足：，且时，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 13. 已知，，则_______． 14. 水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称A位于的“大距点”.如图2，初始时刻A位于，位于以为始边的角的终边上. （1）若，当A第一次位于的“大距点”时，A的坐标为______； （2）在内，A位于的“大距点”的次数最多有______次 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 16. 在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 17. 已知定义域为的函数的解析式为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）证明：在上单调递增； （3）若，求x的取值范围． 19. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， （1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， （2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $