精品解析：天津市西青区当城中学2025-2026学年高三上学期12月学习质量检测(第二次月考)数学试题

当城中学2025-2026学年第一学期12月学习质量检测 高三年级数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 若数列满足，且，则其前17项和（ ） A. 136 B. 119 C. 102 D. 85 7. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C. 若，则 D. 若，∥，则 8. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 9. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知是虚数单位，化简的结果为__________. 11. 在的展开式中，的系数是__________. 12. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 15. 设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）求，. 19. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，，求数列的前项和； （3）记，，求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当城中学2025-2026学年第一学期12月学习质量检测 高三年级数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断AB，根据指数函数的性质判断C，由正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A，由幂函数的性质知在区间上单调递增，故在区间上单调递减，故A错误； 对于B，由幂函数性质知在上单调递减，故B错误； 对于C，令，则，又，所以函数为奇函数， 由指数函数的单调性知，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意，故C正确； 对于D，由正弦函数性质可知为奇函数，但在区间上不单调，故D错误. 故选：C 4. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性及中间值比大小. 【详解】因为，，在定义域上单调递减， 故，，， 所以. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可. 【详解】因为,所以， . 故选:B. 6. 若数列满足，且，则其前17项和（ ） A. 136 B. 119 C. 102 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可知数列是公差为2的等差数列，根据等差数列性质以及前项和公式计算即可求得结果. 【详解】根据可得，所以数列是公差为2的等差数列， 利用等差数列性质由可得； 所以其前17项和. 故选：B 7. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C. 若，则 D. 若，∥，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，与平行或；对于D，与相交、平行或． 【详解】设是直线，，是两个不同的平面， 对于A，若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则内存在直线，因为， 所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确； 对于C，若，，则与平行或，故C错误； 对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 8. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称， 所以 ，解得， 因为，所以，因此， ①将的图象向右平移个单位长度后函数解析式为， 由，得，所以其对称中心为：，故①错； ②由，解得，即函数的对称中心为；令，则，故②正确； ③由，故③错； ④由，得， 即函数的增区间为，因此在区间上单调递增，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得三棱柱外接球表面积与四棱锥体积即可解决. 【详解】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接 则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径. 由，可得， 则 则三棱柱外接球表面积为 延长交与，则为四棱锥的高 则 则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为 故选：A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知是虚数单位，化简的结果为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】在二项展开式的通项公式：， .令，，所以的系数为. 故答案为：. 12. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 【点睛】结论点睛：若，则三点共线. 15. 设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，等价于函数的图象与的图象恰有一个交点.作出函数的图象，通过抛物线的切线求出切线的的值，数形结合分析即得解. 【详解】设. 由得， 所以函数的图象与的图象恰有一个交点. 作出函数的图象，如图所示. 抛物线的顶点的横坐标为纵坐标为，所以. 当时，所以点是抛物线和对数函数图象的交点. 设抛物线的切点坐标为，. 所以切点坐标为，所以. 所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点. 由题得直线AB的斜率为. 当时，，所以. 当时，. 所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点. 综上，当或时，函数的图象与的图象恰有一个交点. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题有两个关键，其一，是作出函数的图象；其二，是要通过数形结合分析得到参数的取值范围. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可； （2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可； （3）应用二倍角公式求对应函数值，再由差角正弦公式求值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， ∴， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）知：， 由正弦定理，得. 【小问3详解】 由，且， ∵，即，∴， ∴. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 方法一： . . 平面 平面. （证明中两组均可） 方法二：设是平面的一个法向量 取，得. ，即， 平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明线面垂直； （2）用空间向量法求二面角； （3）假设点存在，设，由求线面角的空间向量法求得值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， ，令，则， . 由（1）可知是平面的一个法向量.（用均可） 设平面与平面的夹角为 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在点满足题意，设， 设直线与平面所成角为，则 解得. 又，得，所以的值为. 所以存在点满足题意且． 18. 已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）求，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列基本量运算可得的通项公式，由等差数列的基本量运算结合条件可得的通项公式； （2）利用错位相减法及等比数列求和公式结合条件即得； （3）利用裂项相消法即得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，数列的公差为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以，即，解得， 所以， 又，即， 解得（舍）或， 所以 【小问2详解】 因为，所以 则， 所以， ， 【小问3详解】 由，可得， 所以 19. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，，求数列的前项和； （3）记，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式； （2）先求出，再利用分组求和法进行求解： （3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和. 【小问1详解】 因为是公差为2的等差数列，且， 所以，解得， 所以； 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则 则 【小问3详解】 由（1）得 ， 则 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 因为导函数在区间上存在零点，则， 由（2）可知在上单调递减，在单调递增， 所以在上的最小值为， 设，，， 令，因为， 所以，在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又因为， 所以，即， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解； （2）对进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性； （3）由题可得，进而可得函数的最小值为，再构造函数，通过导数证明即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，可得， ∴， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， ①当时，令，解得或， 令，解得. 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ②当时，，所以，函数的单调递增区间为， ③当时，令，解得或， 令，解得， 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，，把问题转化为证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $