天津市西青区当城中学2025-2026学年高三上学期12月学习质量检测(第二次月考)数学试题

当城中学2025-2026学年第一学期12月学习质量检测 高三年级数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 若数列满足，且，则其前17项和（ ） A. 136 B. 119 C. 102 D. 85 7. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C. 若，则 D. 若，∥，则 8. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 9. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知是虚数单位，化简的结果为__________. 11. 在的展开式中，的系数是__________. 12. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 15. 设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）求，. 19. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，，求数列的前项和； （3）记，，求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 当城中学2025-2026学年第一学期12月学习质量检测 高三年级数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 方法一： . . 平面 平面. （证明中两组均可） 方法二：设是平面的一个法向量 取，得. ，即， 平面. （2） （3）存在，. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 因为导函数在区间上存在零点，则， 由（2）可知在上单调递减，在单调递增， 所以在上的最小值为， 设，，， 令，因为， 所以，在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又因为， 所以，即， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $