精品解析：江苏省常州市武进区洛阳高级中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段测试数学试题

常州市武进区洛阳高级中学2027届高二 第一次阶段测试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线与圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 6. 已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为－1 D. 点关于直线的对称点坐标为 11. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若直线与圆相切于点，则 C. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 D. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过点作圆的切线，则切线方程为________________. 13. 在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为___________. 14. 已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求点到直线的距离； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程. 16. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 18. 已知圆过，，三点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 19. 在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点、的坐标； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市武进区洛阳高级中学2027届高二 第一次阶段测试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参. 【详解】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：D. 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程即可求解. 【详解】由可得，所以在轴上的截距为， 故选：B 3. 以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两点的中点坐标即为圆心，再求出两点间的距离即为直径，从而求出圆的方程. 【详解】和为一条直径的两个端点，两点的中点即为圆的圆心， 又两点间的距离，圆的半径为， 则所求圆的方程为，即. 故选：D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5. 直线与圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论． 【详解】解：圆方程可整理为，则圆心，半径，直线恒过点 因为在圆内，所以直线与圆相交 故选：A 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题. 6. 已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为. 根据中点坐标公式，已知，则有，. 由此可得，. 点在上，将，代入圆方程可得： ，即， 两边同时除以得. 故选：C. 7. 设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的斜率、直线与直线的位置关系分析运算即可得解. 【详解】解： 如上图，直线过定点，斜率为，且与线段相交， 即过定点，斜率为的直线绕点从逆时针旋转到， 中间经过轴，则或， ∵，， ∴则或，即的取值范围是. 故选：D. 8. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 【答案】AC 【解析】 【分析】 中，由直线过第一、二、四象限得出、的取值范围，判断点所在象限； 中，倾斜角为时斜率不存在； 中，由点斜式方程写出对应的直线方程； 中，在，时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大. 【详解】解：对于，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项正确； 对于，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为时斜率不存在，所以选项错误； 对于，由点斜式方程知，过点斜率为的点斜式方程为，所以选项正确； 对于，在，内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在，时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项错误. 故选：. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为－1 D. 点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用两条直线平行的公式求出的值，利用两平行线间的距离公式求解；对于B，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件的定义求解；对于C，求出直线恒过的定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，利用两条直线垂直的斜率公式求解；对于D，求出过且与直线垂直的直线方程，两条直线方程联立方程组，求出交点坐标，设点关于直线对称点为，利用中点坐标公式求出的坐标. 【详解】解：对于A，由题可得：，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由题可得，，解得或， 则“” 是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 选项B错误； 对于C，直线，即为， 由得，则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时， 点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，与直线垂直的直线方程的斜率为， 又过， 则过且与直线垂直的直线方程为，即， 联立两直线，解得， 设点关于直线对称点为， 则有，解得，故选项D错误. 故选：AC. 11. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若直线与圆相切于点，则 C. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 D. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线过圆心，再结合直线的点斜式方程即可判断A，由勾股定理代入计算，即可判断B，分切线的斜率存在于不存在代入计算，结合列方程计算，即可判断C. 由的最大值为，即可判断D， 【详解】对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，若直线与圆相切于点，， 则，，所以B正确； 对于C中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以C正确. 对于D中，由于，则的最大值为，所以D错误； 故选：ABC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】解：先判断出点在圆上，利用斜率公式求出圆心和连线的斜率，利用两条直线垂直得到过圆上点的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】解：将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 13. 在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点后可求的直线方程，从而可求的坐标. 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线， 故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即. 故答案为：. 14. 已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】设，，则直线的方程为，依题意可得，再由基本不等式求出面积最小值，即可得解. 【详解】依题意设，，则直线的方程为， 直线过点，，， ， 当且仅当，即时，， 此时，则直线的方程为，即. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求点到直线的距离； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【小问1详解】 ，，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； 【小问2详解】 设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 16. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出交点坐标，再根据两直线平行关系设直线方程，代点即可计算即可. （2）分两种情况：横纵截距均为0时以及横纵截距均不为零时，分别求出直线的方程即可. （3）根据两直线垂直关系求出直线的方程，进而求出三角形的周长即可. 【小问1详解】 由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 18. 已知圆过，，三点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出、的中垂线的交点即为圆心，再求半径即可得解； （2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可. 【小问1详解】 由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 联立，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，弦长为成立； 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 则弦长为，解得， 即直线； 综上所述，直线的方程为或. 19. 在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点、的坐标； （3）求的面积. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. 【小问2详解】 设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . 【小问3详解】 是的中点，，到的距离， 又点到的距离，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $