精品解析：浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第六次周考数学试题

泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第六次周考 数学学科试题 本试题卷考查范围：选必一～选必二等差数列 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知是空间向量的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. 若是单位正交基底，且，则 B. 存在唯一有序实数对中，使得 C. 若，且，则 D. 也一定能构成空间向量的一个基底 10. 已知数列的通项公式，前项和为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 数列单调递减 D. 数列的最小项是 11. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则中点到轴的距离为4 B. 弦的中点的轨迹为抛物线 C. 若，则直线的斜率 D. 的最小值等于9 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，则______. 13. 已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 17. 在数列 中， ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第六次周考 数学学科试题 本试题卷考查范围：选必一～选必二等差数列 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】先由直线方程求解直线斜率，由斜率和倾斜角的关系，即得解 【详解】设直线的倾斜角为， 则 由， 又，所以. 故选：A 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解. 【详解】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 3. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 5. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，求出的比值，再根据渐近线方程求解即可. 【详解】已知双曲线的离心率，即， 所以，所以， 所以其渐近线方程为. 故选：D 7. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据椭圆定义表示，，再根据勾股定理建立关系，解得离心率. 【详解】由，可得， 设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知是空间向量的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. 若是单位正交基底，且，则 B. 存在唯一有序实数对中，使得 C. 若，且，则 D. 也一定能构成空间向量的一个基底 【答案】AD 【解析】 【分析】由模长公式可判断A；由空间向量基本定理可判断BD，由空间向量垂直的条件可判断C. 【详解】若是单位正交基底，则，且， 所以，故A正确； 是空间向量的一个基底，则不共面， 所以不存在唯一的有序实数对，使得，故B错误； 若，则或或与既不平行也不垂直，故C错误； 设，则有，方程组无解， 所以不存在，， 所以不共面，能构成空间向量的一个基底，故D正确. 故选：AD 10. 已知数列的通项公式，前项和为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 数列单调递减 D. 数列的最小项是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知当时，，当时，，并分析出数列的单调性，可判断ABC选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，当时，，则， 此时数列单调递减， 当时，，则，此时数列单调递减， 故， 故数列最大项为，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列最小项为， 故的最大值为，B对； 对于C选项，由A选项可知，数列不单调，C错； 对于D选项，令，可得， 所以当时，，故数列的最小项是，D对. 故选：ABD. 11. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则中点到轴的距离为4 B. 弦的中点的轨迹为抛物线 C. 若，则直线的斜率 D. 的最小值等于9 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，依题意，，解得， 线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误； 对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：， 由消去x得，， 则，，， 设线段中点坐标为，则，消去可得， 因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确； 对于C，显然，由，得，， 由选项B知，有，又，则，， 因此直线的斜率，C正确； 对于D，由选项B知，， 则， 因此， 当且仅当，即时取得等号，D正确. 故选：BCD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用即可求出，并验证是否满足，即可写出数列的通项公式. 【详解】， ， ， 当时，，不满足条件， 所以. 故答案为： 13. 已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程. 【详解】，直线的方程为， 由解得，设， 依题意，的平分线为直线， 由正弦定理得， 由于，由此整理得, 则，设， 则， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 直线的方程为. 故答案为： 14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围. 【详解】因为 ， 设，，，令， 则， 又易知，点在圆上，如图所示， 则，又，故的最大值为， 因为存在实数使得 所以 ，即 ， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键是构造两点间的距离公式，转化几何意义求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 16. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 17. 在数列 中， ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到 ，由累乘法得到 ； （2）设 ， 的前 项和为 ，求出 ，当 时， ；当 时， ，从而得到答案. 【小问1详解】 由数列 中， ，且 ， 所以 (符合首项)， 所以 ； 【小问2详解】 其中 ， 设 ， 的前 项和为 ，其中 ， 故 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 综上所述， 18. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为在中，，且， 所以，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知且都在面内， 所以平面； （2） （3） 存在；的长度为0 【解析】 【分析】（1）通过证明、证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的大小. （3）假设在线段上存在点符合题意，根据平面与平面成角余弦值列方程，由此求得，进而求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，， 故， ， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，故平面的一个法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则有，所以， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中，设，其中，则， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，故平面的法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得，解得或（舍去），即与重合，， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为， 此时的长度为0． 19. 已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由面积可得，再结合，即可得出答案. （2）直线的方程为，联立方程解出，进而可求面积； （3）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 【小问1详解】 依题意可知， 当为短轴顶点时，取到最大值， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线， 联立方程，消去可得，解得或， 所以的面积. 【小问3详解】 由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 不妨设，因为三点共线，则， 可得，则， 因为三点共线，则， 可得，则， 可得， 则，可得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $