精品解析：河北省秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

秦皇岛市实验中学2025-2026学年第一学期高二年级月考 数学试卷 命题人：郑铮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆焦点在轴上,再根据基本量之间的关系求解即可. 【详解】由题,,又焦点在轴上,故焦点坐标为. 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量与基本概念,属于基础题. 2. 已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线过点 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的斜率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，求出斜率及倾斜角判断AD；验证判断B；求出方向向量判断C. 【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角为，A错误，正确； 对于B，，直线不过点，B错误； 对于C，直线的一个方向向量为，C错误. 故选： 3. 过点的直线与圆相切，则切线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长. 【详解】因为点到圆C的圆心的距离为，所以切线长为. 故选：C 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式，属于基础题. 4. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆的方程，化为标准方程，分析可得其焦点坐标，进而可以设所求椭圆方程为，分析可得b、c的值，即可得答案. 【详解】椭圆可化为， 可知焦点在轴上，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为，则， 又，即， 所以， 所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 5. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 6. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合法进行求解. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或. 即. 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：B． 7. 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由点在抛物线上，求得参数，焦点到其准线的距离即为. 【详解】由点在抛物线上，易知，，故焦点到其准线的距离为. 故选：B. 8. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆：： ，则下列结论正确的是（     ） A. 两圆相交 B. 公共弦方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 公共弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，比较圆心距与两半径的关系可得两圆相交，有两条公切线，可知AC正确，将两圆方程相减可得公共弦方程为，可知B错误，利用弦长公式计算可得D正确. 【详解】易知圆的圆心是，半径为；圆的圆心是，半径为， 对于选项AC，两圆的圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得公共弦方程为，故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确． 故选：ACD 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的焦距为6 B. 存在点，使得为钝角 C. 的周长为16 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：将椭圆方程化成标准方程，得到，再求出，得出焦距；对于B：利用向量的数量积判断夹角的大小；对于C：根据椭圆定义得到，进而求出焦点三角形的周长；对于D：根据余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求解. 【详解】将椭圆化成标准方程， 所以，所以， 对于A：焦距为，故A正确； 对于B：由A可知， 因为是上任意一点，所以设， 则 所以 ， 因为，所以恒成立，所以为锐角，故B错误； 对于C：根据椭圆定义可知， 所以的周长为，故C正确； 对于D：由C可知，所以，① 根据余弦定理可知：， 即，② 由①②可得，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD 11. 设抛物线：，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C. 若，则的最小值为4 D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两点间距离判断A、B；利用抛物线定义判断C，D. 【详解】解：因为抛物线的方程为，焦点， 对于选项：若，此时，故选项正确； 对于选项：设，，， 的坐标为，故选项错误； 对于选项C：过点作抛物线准线的垂线， 由抛物线的定义可得， 所以， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 则的最小值为，故选项C正确； 对于选项：易知过焦点作斜率为的直线方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以，故选项错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是______． 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知，则P到准线的距离也为5，即，即可求出x． 【详解】解：抛物线， ， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ， ， 故答案为4． 【点睛】考查了抛物线的定义、焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题. 13. 过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，设与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为，将点代入，即可求出，进而求出结果. 【详解】根据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又过点，代入方程可得，因此双曲线方程为. 故答案为:. 14. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案； （2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案.. 【小问1详解】 当直线斜率存在时，设直线， 即， 圆心到直线的距离为， 解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或. 【小问2详解】 记圆心到直线的距离为，则， 又弦长为，圆的半径为2，则， 解得，所以. 16. 已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由基本量求解椭圆方程即可. （2）求出直线与椭圆的交点坐标，再求解三角形面积即可. 【小问1详解】 由题设知，所以， 于是椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意，直线的方程为，设， 联立，解得或， 所以的面积 . 17. 设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线经过焦点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义以及中点横坐标计算可得，可求出抛物线的标准方程； （2）联立抛物线和直线方程，再由韦达定理求出直线斜率可得直线方程. 【小问1详解】 设,， 线段的中点的横坐标为，， 由抛物线定义可得，解得， 抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点为， 当直线的斜率不存在时，可知，不合题意， 故可设直线的方程为，， 由得, 由可得， 直线的方程为. 18. 已知一动圆与圆C1：（x+2）+y2=1､圆C2：（x-2）+y2=9都外切. （1）求动圆圆心Р的轨迹方程C； （2）若直线y=kx-1与（1）中所得曲线C交于M､N两点，且.求k的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用外切得半径得关系式，再利用双曲线定义求解即可（2）直线与双曲线联立利用弦长公式列方程求解即可 【小问1详解】 由题意设动圆半径为r,则 ，故圆心Р的轨迹是以为焦点的双曲线的左支（去掉顶点），其方程为 【小问2详解】 直线y=kx-1与得易知，设 则故 = 得 或 （舍去）即 19. 直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P(2,1)，直线与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分. ①求直线的斜率；②若，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率公式和点满足椭圆方程，以及，联立方程求解即可得答案； （2）①由题意，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求出中点的坐标，代入直线方程，即可得直线的斜率； ②运用向量数量积的坐标表示，化简整理，解方程求出，即可得直线的方程． 【小问1详解】 解：因为椭圆C的离心率为，所以， 因为椭圆C过点，所以，又， 联立方程求解可得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 解：①由题意，直线的斜率存在，设方程为， 代入椭圆，可得， 设，，，，则，， 所以线段的中点横坐标为，纵坐标为，即， 由线段被直线平分，可得，解得， 所以直线的斜率为； ②若，即，，， 因为，， 所以， 即，解得， 所以直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市实验中学2025-2026学年第一学期高二年级月考 数学试卷 命题人：郑铮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线过点 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的斜率为 3. 过点的直线与圆相切，则切线长为（ ） A. B. C. D. 4. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆：： ，则下列结论正确的是（     ） A. 两圆相交 B. 公共弦方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 公共弦长为 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的焦距为6 B. 存在点，使得为钝角 C. 的周长为16 D. 若，则 11. 设抛物线：，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C. 若，则的最小值为4 D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是______． 13. 过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为______. 14. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 16. 已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 17. 设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线经过焦点，求直线的方程. 18. 已知一动圆与圆C1：（x+2）+y2=1､圆C2：（x-2）+y2=9都外切. （1）求动圆圆心Р的轨迹方程C； （2）若直线y=kx-1与（1）中所得曲线C交于M､N两点，且.求k的值 19. 直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P(2,1)，直线与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分. ①求直线的斜率；②若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $