广东深圳外国语学校2026-2027学年高二上学期学科练习（六）数学试题

深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习六 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角． 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 故选：D． 2．若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】双曲线：（），得双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以，，所以，. 3．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 4．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式，根据直线与圆相交，推得，再利用两点间距离公式理解点的运动轨迹，即可判断结论. 【详解】因直线与圆相交， 则圆心到的距离，化简得， 即动点的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆的外部（不含圆弧）， 故点在圆的外面. 故选：B. 5．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 6．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 8．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项中椭圆或双曲线的、的值，假设点存在，根据以及椭圆或双曲线的定义求出，结合焦半径的取值范围即可得出结论. 【详解】对于A选项，，、，，所以，， 到焦点距离的最小值为，最大值为， 假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意， 所以A选项中的椭圆不存在“点”； 对于B选项，，、，，所以，， 到焦点距离的最小值为，最大值为， 假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意， 所以B选项中的椭圆不存在“点”； 对于C选项，双曲线的方程为，则双曲线的两个焦点为、，，， 若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为， 则，可得， 即双曲线存在“点”； 对于D选项，双曲线的标准方程为，则，，、，所以，， 若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为， 则，解得， 所以D选项中的双曲线不存在“点”. 故选：C. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．过点作圆的切线，则的方程为 C．圆上存在两个点到直线的距离为2 D．若圆与圆有唯一公切线，则 【答案】AC 【分析】A选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值. 【详解】直线变形为过定点，A正确； 当切线斜率不存在时，是圆的切线，当切线斜率存在时，设为，圆心到切线距离，解得：，此时的方程为，故的方程为或，B错误； 圆心到直线的距离，故圆上的点到直线距离最大值为，最小值为，故存在两个点到直线的距离为2，C正确； 圆的圆心为，半径为2，圆圆心为，半径为，要想两圆有唯一的公切线，则两圆内切，因为两圆圆心距为，所以，解得：，D错误. 故选：AC 10．已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为12 C．面积的最大值为4 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，，所以A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，所以C错误； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 11．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________． 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由题可得，，则，故， 因为在双曲线上，所以，即或， 又，所以. 故答案为：6. 13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 14．已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理及两角和的正弦公式得到，进而即可求解； （2）先根据题意及正弦定理得到，再结合（1）由余弦定理得到，整理这两式得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）因为，则由正弦定理得， 又在中，，且，则， 所以， 整理得， 又，得，则． （2）若，则由正弦定理得，所以，， 又，所以，所以， 又结合（1）由余弦定理得，所以， 所以，解得（负解舍）， 所以． 16．（本题15分）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）由线面角得到，故，证明出，得到⊥平面，，从而平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）证明：平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，. 平面，平面，. ，，平面， 平面， ∵平面，， 又，平面， 平面， ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面. （2）平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，即 取，则，， ，， 点到平面的距离. 18．（本题17分）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②略 ②证明： 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 19．（本题17分）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）略 （ⅱ）是，定点 【分析】（1）根据双曲线的实轴长求出的值，再结合顶点到渐近线的距离求出的值，进而得到双曲线的方程； （2）（ⅰ）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到A，B两点横坐标的关系，再通过计算直线、的斜率之和为0，即可证得结果； （ⅱ）设出x轴上的定点，根据向量垂直的性质得到，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，所以，解得1． 双曲线的渐近线方程为，即，右顶点坐标为． 所以右顶点到渐近线的距离为，即， 两边平方可得，解得． 将，代入双曲线方程， 可得双曲线的方程为． （2） （ⅰ）由（1）可知双曲线的右焦点， 设直线的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程， 消去可得，即． 由韦达定理可得，． 已知， 则 ， 即， 所以直线、的倾斜角互补，即． （ⅱ）设轴上的定点，则，． 因为以为直径的圆恒过轴上的定点， 所以，即． 当斜率不为0时，将，代入上式可得： ， 展开可得． 将，代入上式可得： ， 整理可得， 即， 合并同类项可得． 因为上式对任意都成立，所以， 解得，即， 则以AB为直径的圆恒过x轴上的定点． 当斜率为时，直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程， 易得，， 此时以为直径的圆恒过轴上的定点． 综上，以为直径的圆恒过轴上的定点． 试卷第14页（共14页） 试卷第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习六 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 4．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 5．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．过点作圆的切线，则的方程为 C．圆上存在两个点到直线的距离为2 D．若圆与圆有唯一公切线，则 10．已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为12 C．面积的最大值为4 D．的取值范围是 11．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________． 13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 14．已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 四、解答题（本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，且，求的面积． 16．（本题15分）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 18．（本题17分）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19．（本题17分）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $