2.2 一元一次不等式 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 2 一元一次不等式 第2课时 一元一次不等式的应用 1 教学重难点 1.会在实际问题中寻找数量关系，列出一元一次不等式并求解． 2.在利用一元一次不等式解决实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维． 2 素养目标 重点：会列一元一次不等式解决实际问题． 难点：会在实际问题中寻找数量关系． 3 应用一元一次方程解决问题的步骤： 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解 (一元一次方程的解) 寻找等量关系 抽象 解方程 验证 解释 知识回顾 导入新课 在日常生活中我们经常会遇到类似“超过”“不足”“至少”“最多”这样的词汇.它们描述的不是一种相等的关系,而是一种不等的关系.之前我们学习过一元一次方程,它可以解决很多相等关系的问题.那么,面对这些“不等”的问题,我们该如何用数学工具来解决呢? 5 新知探究 活动一:基础建模——打折销售问题 问题1:某种商品的进价为200元,标价300元销售,商场规定可以打折销售,但利润率不能低于5%.请你帮助售货员计算一下,这种商品最多可以打几折? “利润率不能低于5%”,这句话意味着什么? 利润率最低为5%. “不低于”如何用不等号表示? 大于等于(≥). 利润率如何表示? 利润率=×100%. 6 新知探究 问题1:某种商品的进价为200元,标价300元销售,商场规定可以打折销售,但利润率不能低于5%.请你帮助售货员计算一下,这种商品最多可以打几折? 利润又如何表示? 售价×折扣-进价或利润率÷100%×进价. 折扣是什么?可以用未知数x表示吗? 折扣是商家为促销或回馈顾客,在原价基础上按一定比例减价的行为,通常以“几折”表示(如八折即原价80%).可以用未知数x表示,比如,此题可以设这种商品可以打x折. 7 问题1:某种商品的进价为200元,标价300元销售,商场规定可以打折销售,但利润率不能低于5%.请你帮助售货员计算一下,这种商品最多可以打几折? 解：设这种商品可以按 x 折销售，则商品的售价为 元，根据题意得 设： 列： 解： 答： ≥ 200×5%。 解这个不等式，得 x ≥ 7。 这种商品最多可以打七折。 新知探究 问题2:某文具店搞促销活动,一款书包的原价为120元,现在打八折出售.李老师想用200元班费购买若干个这样的书包作为奖品,最多能买多少个? “最多能买多少个”,这句话意味着什么? 总花费不能超过200元. 最多能买的书包的个数如何表示? 可以设未知数x. 每个书包的实际价格是多少?总花费如何表示? 每个书包的实际价格是120×0.8=96(元);那么总花费就是96x元. 9 新知探究 问题2:某文具店搞促销活动,一款书包的原价为120元,现在打八折出售.李老师想用200元班费购买若干个这样的书包作为奖品,最多能买多少个? “总花费不能超过200元”用不等式怎么表示? 96x≤200→x≤≈2.083. x≈2.083,那么x最大能取几?为什么? 因为书包个数应为正整数,所以x最大能取2. 如果答案是x=3,那么对吗?为什么? 不对.因为3×96=288>200,不符合实际. 10 新知探究 问题2:某文具店搞促销活动,一款书包的原价为120元,现在打八折出售.李老师想用200元班费购买若干个这样的书包作为奖品,最多能买多少个? 解:设最多能买x个. 根据题意,得120×0.8x≤200. 解这个不等式,得x≤≈2.083. 因为书包个数应为正整数,所以x最大能取2. 所以最多能买2个. 11 注意：在利用一元一次不等式解决实际问题时一定根据实际情况取值． 新知探究 活动二:深化理解——分段计费问题 问题:某地自来水收费实行阶梯水价.每月用水量不超过20吨,按每吨2元收费;超过20吨的部分,按每吨2.8元收费.如果小明家某月的水费超过50元,那么他家这个月的用水量至少是多少吨? 水费超过50元,说明用水量可能处于哪个阶段? 如果全部按2元/吨算,50元可用25吨;但实际是分段收费,所以实际用水量很可能超过了20吨的基准. 设超过20吨的部分为x吨,那么总用水量如何表示? 总用水量为(x+20)吨. 总水费如何计算? 20×2+2.8x. 13 新知探究 问题:某地自来水收费实行阶梯水价.每月用水量不超过20吨,按每吨2元收费;超过20吨的部分,按每吨2.8元收费.如果小明家某月的水费超过50元,那么他家这个月的用水量至少是多少吨? 水费“超过50元”用不等式怎么表示? 20×2+2.8x>50. 解得x>≈3.57. 因为x是超过的吨数,通常按吨计,所以x至少是4. 那么总用水量至少是多少吨? 20+4=24(吨). 14 新知探究 问题:某地自来水收费实行阶梯水价.每月用水量不超过20吨,按每吨2元收费;超过20吨的部分,按每吨2.8元收费.如果小明家某月的水费超过50元,那么他家这个月的用水量至少是多少吨? 解:设超过20吨的部分为x吨,根据题意,得20×2+2.8x>50. 解得x>≈3.57. 因为x是超过的吨数,通常按吨计,所以x至少是4. 所以他家这个月的用水量至少是20+4=24(吨). 15 新知探究 问题:某地自来水收费实行阶梯水价.每月用水量不超过20吨,按每吨2元收费;超过20吨的部分,按每吨2.8元收费.如果小明家某月的水费超过50元,那么他家这个月的用水量至少是多少吨? 如果直接设总用水量为x吨,不等式该怎么列? 解:设他家这个月的用水量是x吨,根据题意,得 20×2+2.8(x -20)>50,且x >20. 解得x>+20≈23.57. 所以他家这个月的用水量至少是24吨. 16 新知探究 活动三:应用举例——知识竞赛问题 例 某班举行环保知识竞赛,规则如下:每位选手有基础分20分,需回答20道题,每答对一道题得4分,每答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中,小明被评为优秀选手(85分或85分以上),小明至少答对了几道题? 等量关系：答对的题+答错或不答的题=20道题 不等关系：基础分+答对得分-答错或不答扣分≥85 17 新知探究 活动三:应用举例——知识竞赛问题 例 某班举行环保知识竞赛,规则如下:每位选手有基础分20分,需回答20道题,每答对一道题得4分,每答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中,小明被评为优秀选手(85分或85分以上),小明至少答对了几道题? 解:设小明答对了x道题,则他答错和不答的共有(20-x)道题. 根据题意,得20+4x-1×(20-x)≥85. 解这个不等式,得x≥17. 所以,小明至少答对了17道题. 18 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤： ① 审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. ② 设：设出适当的未知数. ③ 列：根据题中的不等关系列出不等式. ④ 解：解不等式，求出其解集. ⑤ 验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意. ⑥ 答：写出答案. 对比一元一次不等式与一元一次方程的学习过程，你有哪些感悟?积累了哪些经验? 一元一次不等式的学习建立在一元一次方程的基础上： 定义上都强调“一元一次”(未知数个数、次数)，解法上都遵循“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”的步骤， 应用上都需要从实际问题中抽象出数量关系. 数学知识不是孤立的，而是通过“类比、迁移、辨析”形成的体系；学习数学不仅要掌握解题方法，更要理解知识背后的逻辑本质. 1. （2025·长沙雨花区期末）为落实某市教育局关于义务教育 阶段学校实行每天一节体育课的通知要求，某学校决定开设篮 球和足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球.学校的预算 经费是5 400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90 元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买 x个足球，则下列不等式正确的是（　D　） D A. 90×30＋120x＜5 400 B. 90×30＋120x≤5 400 C. 120×30＋90x＜5 400 D. 120×30＋90x≤5 400 2. （2025·宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共 有20道题，对于每一道题的给分规则为答对得10分，答错或不 答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他 至少要答对题目（　C　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 C 3.教材习题变式 为解决部分家长在放学时间不能按时接孩子的问题，我 市许多学校都启动了“课后服务”工作。某学校为了开展好课后服务，计划 用不超过10 000元的资金购买足球、篮球和排球用于球类兴趣班，已知足 球、篮球、排球的单价分别为100元、80元、60元，且根据参加球类兴趣 班的学生数了解到以下信息：①篮球的数量必须比足球多10个；②排球的 数量必须是足球的3倍。学校最多能购买足球的个数是( ) B A.10 B.25 C.26 D.30 【解析】 设购买足球个，则购买篮球个，购买排球 个。 由 题意,得，解得， 为正整 数， 最大取25。故学校最多能购买足球的个数是25。 23 4.新情境 教材习题变式 [2025朔州模拟]执行“国补”政策以来，家电销售 市场回暖，某品牌一级能效空调进价为每台2 000元，标价为每台2 750元。 五一期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不 低于 ，则最多可打( ) C A.六折 B.七折 C.八折 D.九折 【解析】 设可以打 折出售。根据题意，得 ，解得 ，所以最多可打八折。 24 5.新趋势·传统文化 [2025咸阳期末]端午节是我国四大传统节日之一，有 赛龙舟、吃粽子等风俗活动。某超市购进咸味粽和甜味粽共80盒，已知咸 味粽每盒利润为10元，甜味粽每盒利润为15元。若购进的粽子全部销售完， 所得总利润不低于1 050元，则最多能购进咸味粽____盒。 30 【解析】 设购进盒咸味粽，则购进 盒甜味粽。根据题意，得 ，解得 ，所以最多能购进咸味粽30盒。 25 6. （教材P66习题T6变式）王老板以每件80元的价格购进了一 批哪吒主题的卫衣，标价为每件110元，为了尽快减少库存， 王老板准备打折销售，但要使利润率不低于10％，则该卫衣至 多可以打几折？设该卫衣打x折销售，则可列不等式 为 ，至多可以打 折. [变式] 某种商品的进价为320元/件.为了吸引顾客，商店决定将 该种商品按标价的八折出售，这时仍至少赢利25％，则这种商 品的标价至少是 元/件. 110× －80≥80×10％　 八　 500　 7. （2025·辽宁）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化 夜市”上进行销售.已知A种文创产品每件的进价比B种文创产 品每件的进价多3元，且购进2件A种文创产品和3件B种文创产 品需花费26元. （1）求B种文创产品每件的进价； 解：（1）设B种文创产品每件的进价为x元，则A种文创产品 每件的进价为（x＋3）元. 根据题意，得2（x＋3）＋3x＝26，解得x＝4. 答：B种文创产品每件的进价为4元. 7. （2025·辽宁）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化 夜市”上进行销售.已知A种文创产品每件的进价比B种文创产 品每件的进价多3元，且购进2件A种文创产品和3件B种文创产 品需花费26元. （2）如果小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总 费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创 产品？ 解：（2）设小张购进m件A种文创产品，则购进（100－m） 件B种文创产品. 由（1）可知，A种文创产品每件的进价为 4＋3＝7（元）. 根据题意，得7m＋4（100－m）≤550， 解得m≤50. 答：小张最多可以购进50件A种文创产品. 8.[2025黄冈期末]某超市销售，两种型号的篮球，已知采购3个 型篮 球和2个型篮球需要220元，采购1个型篮球和4个 型篮球需要290元。 （1）该超市采购1个型篮球和1个 型篮球分别需要多少元？ 解:设该超市采购1个型篮球需要元，1个型篮球需要 元。 根据题意，得解得 所以该超市采购1个型篮球需要30元，1个 型篮球需要65元。 30 （2）若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2 550元， 则最多可采购 型篮球多少个？ 解：设采购型篮球个，则采购型篮球 个。 根据题意，得 ， 整理，得，解得 ， 所以 的最大值为30， 所以最多可采购 型篮球30个。 31 （3）在（2）的条件下，若该超市以每个型篮球58元和每个 型篮球98 元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1 540元的目标？若能， 请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。 解：根据题意，得 ， 解得 。 因为，且为正整数，所以 可取28，29，30， 所以能实现利润不少于1 540元的目标，该超市共有3种采购方案。 方案1:采购型篮球22个， 型篮球28个； 方案2:采购型篮球21个， 型篮球29个； 方案3:采购型篮球20个， 型篮球30个。 32 课堂总结 1.本节课你学到了什么知识?体会到了什么数学方法和数学思想? 2.利用一元一次不等式解决实际问题的关键是什么? 33 检验 设未知数 列不等式 数学问题 (一元一次不等式) 实际问题 (包含不等关系) 数学问题的解 (不等式的解集) 实际问题的答案 解不等式 课堂总结 $