2025-2026学年七年级上学期1月期末 数学试卷

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年七年级上学期1月期末 数学试卷 （试卷分值120分，考试时间100分钟，命题范围 七上+七下第7章） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的定义，有理数包括分数和整数，据此分析即可． 【详解】解：A：是分数形式，分子和分母均为整数，是有理数，不符合题意； B：是圆周率，是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，是无理数，符合题意； C：可化为，分子和分母均为整数，是有理数，不符合题意； D：可化为，分子和分母均为整数，是有理数，不符合题意． 故选B． 2．小明年龄的3倍还比老师的年龄小5岁．若设小明的年龄为，则老师的年龄可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题用代数式表示数，根据题意，小明年龄的3倍比老师年龄小5岁，因此老师的年龄等于小明年龄的3倍加5． 【详解】解：设小明的年龄为， 故老师的年龄可表示为， 故选C． 3．已知是关于的方程的解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是将解代入方程． 将代入方程，求解的值． 【详解】是关于的方程的解， ，即， ． 故选：． 4．如图是正方体的一种展开图，在原正方体中，与“丽”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．美 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可求解，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“中”与“美”是相对面，“爱”与“国”是相对面， ∴“丽”字所在面相对的面上的汉字是“我”， 故选：． 5．在下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数的最高次数为2，不是一次方程，故A不符合题意； B．中含有两个未知数，不是一元方程，故B不符合题意； C．不是方程，故C不符合题意； D．只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程，故D符合题意． 故选：D． 6．下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【答案】D 【分析】本题考查作图尺规作图的定义，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题．解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量． 【详解】解：直线无法测量，故选项A错误； 射线本身是以点为端点，向着方向延伸，故选项B错误； 射线无法测量，故选项C错误； 延长线断到，使得是正确的，故选项D正确． 故选：D． 7．已知，则的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法，进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．下列各式中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，根据合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9．比较两数大小： 填“”、“”或“” 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：由于和都是负数，且，，，因此． 故答案为：． 10．若a，b互为倒数，c，d互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，相反数的定义，已知式子的值求代数式的值，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据倒数与相反数的定义，得出和，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴． ∵c，d互为相反数， ∴． ∴ ． 故答案为：． 11．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是 ． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，解题的关键是通过数轴上数的位置，直接与 对比大小． 根据数轴上、、、与的位置关系，判断出小于的数． 【详解】解：由数轴位置可知，在左侧，、、均在右侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，故小于的数是． 故答案为：． 12．首届苏超进行了包括常规赛和淘汰赛共85场比赛，总现场观众达243万人次．用科学记数法将数据243万表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法（形式为，其中，为整数），解题的关键是将“万”换算为普通整数，再确定与的值． 将243万转化为2430000，根据科学记数法的形式，确定，，进而写出表示形式． 【详解】解：243万， 将2430000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得数轴负半轴上的数字（整数）从开始（按从大到小的顺序），每4个数字为一个循环，分别对应圆周上的数轴0，3，2，1，据此求出2011除以4的余数即可得到答案． 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度， ∴把数轴绕圆一圈需要4个单位长度， ∴数轴负半轴上的数字（整数）从开始（按从大到小的顺序），每4个数字为一个循环，分别对应圆周上的数字0，3，2，1， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示数字2的点重合， 故答案为：2． 14．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 【答案】，，， 【分析】此题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解是解本题的关键．表示出方程的解，由为整数，方程的解为正整数求出的值即可． 【详解】解：方程移项合并得：， 解得：， 由为整数，且方程的解为正整数，得到，，，， 解得：，，，． 故答案为：，，，． 15．若等式是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，因此． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程，所以x的指数， 解得． 故答案为：3． 16．如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为 ． 【答案】69 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为9，10，11，12，13，14或8，9，10，11，12，13，然后分析是否符合题意即可． 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为9，10，11，12，13，14或8，9，10，11，12，13； 且每个相对面上的两个数之和相等， ，，， ，，（9与12相邻，不合题意，舍去） 故可能为9，10，11，12，13，14其和为69． 故答案为：． 17．如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 18．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：两个平面镜是平行的， ， ， ． 故答案为：． 3、 解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤） 19.（本题满分9分） 已知：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值及无关型问题，非负数的性质，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据非负数的性质分别求出x、y，代入（1）的化简结果计算即可； （3）先合并关于y的同类项，再根据与y的取值无关列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴ ； （3）解：， ∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：． 20.（本题满分8分） 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． （1）先移项，再合并同类项即可． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：，     合并同类项得：； （2）， 去分母，得，         去括号，得，         移项，得， 合并同类项，得 系数化为1得到， 21.（本题满分9分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 22.（本题满分8分） 阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 23.（本题满分8分） 社会发展了，人们生活富裕了，老百姓钱包鼓起来了．某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高（结果用科学记数法表示）？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)高大约为 (2)点钞机大约要点25天 【分析】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数． （1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）解：10亿 ， 亿元的总张数为张， （厘米）； 答：高大约为厘米； （2）解：， ， （天）． 答：点钞机大约要点25天． 24.（本题满分6分） 阅读材料，完成下列问题： 材料一：类词语是汉语中一种特殊的重叠形式，其核心特征在于‌第一字与第三字相同，第二字与第四字相同‌，形成对称结构．这种结构不仅强化了语言的节奏感，还通过重复突出动作、状态或情感，使表达更具生动性和强调性．例如，尝试尝试、体验体验、轻松轻松等．数学中若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“孪生数”，例如1212、5757都是“孪生数”．把“孪生数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的孪生数m'，记为“孪生数”m的“共生数”． 例：孪生数，则共生数． 解答下列问题： (1) ； (2)试说明任意“孪生数”一定为101的倍数； (3)若一个“孪生数”m的“共生数”能被15整除，求“孪生数”m的最大值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)9696 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 对于（1），根据题意可得，进而得即可； 对于（2），设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，根据题意得“孪生数”，可得答案； 对于（3），先设“孪生数”是可得新的“孪生数”是，进而得出“共生数”，再根据“共生数”既能被15整除，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴． 故答案为：6； （2）解：设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，根据题意，得 这个“孪生数”是， 所以“孪生数”一定是101的倍数； （3）解：设“孪生数”是，则新的“孪生数”是，“共生数”为 可知“共生数”既能被15整除，且2与15互质， 所以能被15整除． 因为a，b为1到9的正整数， 所以，即， 当时或时，，能被3整除， 当时或时，，能被3整除， 要使“孪生数”最大，可知a的值最大即可，此时， 所以“孪生数”的最大值为9696． 25.（本题满分8分） “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两等同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)当秒或秒时，两灯的光束互相平行 (3)和关系不会变化，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 26.（本题满分10分） 【提出问题】 小涵把长方体纸盒展开，得到图1，可以看成由长方形纸片和长方形纸片按照一定要求．拼接成的“”型图．小涵尝试了反向思考，对“两长方形纸片需满足什么条件，拼接成的“”型图可以是长方体的展开图．”进行了思考． 【探索问题】 探索一：两张相同长方形纸片拼接成的“”型图． 经过尝试，发现两张相同长方形纸片拼接成的“”型图都是长方体的展开图． （1）如图2，当长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是时，求的长． （2）现有一张长为，宽为的长方形纸片，如果将它先剪成两个相同长方形，再拼接成“”型图，则该展开图折叠成的长方体的体积是_____． 探索二：两张不同长方形纸片拼接成的“”型图 再次尝试，发现两张不同长方形纸片拼接成的“”型图不一定是长方体的展开图，两长方形的长和宽需满足某种条件． （3）如图1，若长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，设，，，，，则、、、之间满足的关系是_____． 【结论应用】 对于（3）中的结论，反之亦成立，请解决下面的问题． （4）甲、乙两张长方形纸片的宽分别是和，拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图，求甲长方形纸片的长． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用， （1）根据题意，得：，，，设，则，求解即可； （2）分两种情况求解：①剪成长为，宽为的两个长方形；②剪成长为，宽为的两个长方形； （3）根据题意，得：，，继而得到，代入数据可得结论； （4）利用（3）的结论：设甲长方形纸片的长为，则乙长方形纸片的长为，根据“拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图”列出方程求解即可； 掌握长方体的展开图是解题的关键． 【详解】解：（1）如图2， ∵两张相同长方形纸片拼接成的“”型图是长方体的展开图，且长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是， ∴，，， 设，则， 依题意，得：， 解得：， ∴， 即的长为； （2）①剪成长为，宽为的两个长方形，拼成“”型图如下图， 此时长方体的体积为：； ②剪成长为，宽为的两个长方形，拼成“”型图如下图， 此时长方体的体积为：； 综上所述，该展开图折叠成的长方体的体积是或， 故答案为：或； （3）∵长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，且，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （4）设甲长方形纸片的长为，则乙长方形纸片的长为， 依题意，得：， 解得：， ∴甲长方形纸片的长为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年七年级上学期1月期末 数学试卷 （试卷分值120分，考试时间100分钟，命题范围 七上+七下第7章） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．小明年龄的3倍还比老师的年龄小5岁．若设小明的年龄为，则老师的年龄可表示为（　　） A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图是正方体的一种展开图，在原正方体中，与“丽”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．美 5．在下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 6．下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 7．已知，则的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 8．下列各式中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9．比较两数大小： 填“”、“”或“” 10．若a，b互为倒数，c，d互为相反数，则的值是 ． 11．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是 ． 12．首届苏超进行了包括常规赛和淘汰赛共85场比赛，总现场观众达243万人次．用科学记数法将数据243万表示为 ． 13．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 14．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 15．若等式是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 16．如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为 ． 17．如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 18．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤） 19.（本题满分9分） 已知：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 20.（本题满分8分） 解方程： (1)； (2)． 21.（本题满分9分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 22.（本题满分8分） 阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 23.（本题满分8分） 社会发展了，人们生活富裕了，老百姓钱包鼓起来了．某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高（结果用科学记数法表示）？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 24.（本题满分6分） 阅读材料，完成下列问题： 材料一：类词语是汉语中一种特殊的重叠形式，其核心特征在于‌第一字与第三字相同，第二字与第四字相同‌，形成对称结构．这种结构不仅强化了语言的节奏感，还通过重复突出动作、状态或情感，使表达更具生动性和强调性．例如，尝试尝试、体验体验、轻松轻松等．数学中若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“孪生数”，例如1212、5757都是“孪生数”．把“孪生数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的孪生数m'，记为“孪生数”m的“共生数”． 例：孪生数，则共生数． 解答下列问题： (1) ； (2)试说明任意“孪生数”一定为101的倍数； (3)若一个“孪生数”m的“共生数”能被15整除，求“孪生数”m的最大值． 25.（本题满分8分） “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两等同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 26.（本题满分10分） 【提出问题】 小涵把长方体纸盒展开，得到图1，可以看成由长方形纸片和长方形纸片按照一定要求．拼接成的“”型图．小涵尝试了反向思考，对“两长方形纸片需满足什么条件，拼接成的“”型图可以是长方体的展开图．”进行了思考． 【探索问题】 探索一：两张相同长方形纸片拼接成的“”型图． 经过尝试，发现两张相同长方形纸片拼接成的“”型图都是长方体的展开图． （1）如图2，当长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是时，求的长． （2）现有一张长为，宽为的长方形纸片，如果将它先剪成两个相同长方形，再拼接成“”型图，则该展开图折叠成的长方体的体积是_____． 探索二：两张不同长方形纸片拼接成的“”型图 再次尝试，发现两张不同长方形纸片拼接成的“”型图不一定是长方体的展开图，两长方形的长和宽需满足某种条件． （3）如图1，若长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，设，，，，，则、、、之间满足的关系是_____． 【结论应用】 对于（3）中的结论，反之亦成立，请解决下面的问题． （4）甲、乙两张长方形纸片的宽分别是和，拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图，求甲长方形纸片的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $