2.2 一元一次不等式 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式及其解法 1 素养目标 1.通过解决实际问题，理解一元一次不等式的概念，培养抽象概括能力，发展数学模型思想． 2.通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培养知识迁移能力，发展类比推理能力． 3.会在数轴上表示一元一次不等式的解集，继续渗透数形结合思想，发展几何直观． 2 教学重难点 重点：解一元一次不等式的步骤，把解集表示在数轴上． 难点：正确运用不等式的性质解一元一次不等式． 3 导入新课 什么是一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么? 在一个方程中,只含有一个未知数,且方程中的代数式都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程. 解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 4 新知探究 活动一:理解一元一次不等式的概念 观察下列不等式: x+6>10 x-1≤2x 3x>27,它们有什么共同特点? 不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的次数是1. 5 新知探究 活动一:理解一元一次不等式的概念 类比我们学过的一元一次方程,你能否尝试归纳一元一次不等式的概念? 不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的不等式,叫作一元一次不等式. 概念中的关键词是什么? 一是未知数只能有一个,二是次数必须是1,三是不等式的左右两边都是整式. 6 一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 未知数的个数 未知数的次数 式子特点 不同点 表示关系 左、右两边均为整式 1 1 不等关系 相等关系 例1 下列各式哪些是一元一次不等式? 8>1；(2) 6y-24<4；(3) <9 ；(4) 6x-7<2y-7；(5) y+1=6. 解：(1) 不是，不含未知数； (2) 是，符合一元一次不等式的定义； (3) 不是，左边不是整式； (4) 不是，含有两个未知数； (5) 不是，不含不等号. 1.[2024北京顺义区月考]下列是一元一次不等式的有( ) ，，，，， 。 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 ，未知数的次数是 ，不是一元一次不等式； ，含有两个未知数，不是一元一次不等式； ，是等式， 不是一元一次不等式； ，未知数的次数是2，不是一元一次不等 式。和 是一元一次不等式。 跟踪练习 9 2. 若（m－2）x－7＜5是关于x的一元一次不等式，则m的取 值范围是 ⁠. [变式1]若xm－1－1≥2是关于x的一元一次不等式，则m的值 为 ⁠. [变式2] 若（m＋1）x｜m｜＋2＞0是关于x的一元一次不等式， 则m的值为 ⁠. m≠2　 2　 1　 新知探究 活动二:解一元一次不等式 解一元一次不等式和解一元一次方程类似吗? 解一元一次方程,要根据等式的基本性质,将方程逐步化为“x=a”的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的基本性质,将不等式逐步化为“x >a(x≥a)”或“x<a(x≤a)”的形式. 11 还记得解一元一次方程的一般步骤是什么吗? 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. 去括号：注意括号前的系数与符号. 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项时注意要改变符号. 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式. 系数化为1：方程两边同时除以x的系数，得x=m的形式. 解：两边都加 -2x，得 3 - x - 2x < 2x + 6 - 2x。 合并同类项，得 3 - 3x < 6。 两边都加-3，得 3- 3x - 3 < 6–3。 合并同类项，得 -3x < 3。 两边都除以-3，得 x > -1。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 例2 解不等式 3 - x < 2x + 6，并把它的解集表示在数轴上。 解方程的移项变形对于解不等式同样适用。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不等号的方向不变. 注意： (1) 所移的项要改变符号，不移的项不变号； (2) 移项时，不等号的方向不改变. 你能总结出一元一次不等式的解题步骤吗? 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 新知探究 例3 解不等式≥，并把它的解集表示在数轴上. 解：去分母，得3(x-2)≥2(7-x). 去括号，得3x-6≥14-2x. 移项、合并同类项，得5x≥20. 两边都除以 5，得x≥4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 4 5 3 2 1 0 活动三:巩固练习，实际应用 你能归纳出解一元一次不等式的基本步骤吗？ 步骤 依据 具体方法 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 不等式的基本法则2或3 同时乘分母的最小公倍数 去括号法则 利用法则把括号都去掉 不等式的基本法则1 含未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边 合并同类项法则 不等号两边同时合并同类项 不等式的基本法则2或3 两边同时除以未知数的系数 系数是负数时，不等号的方向要改变！ 一元一次方程 一元一次不等式 解法步骤 依据 解的个数 解(集)的形式 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. (对于解不等式，在去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)一个负数，则不等号的方向改变). 等式的基本性质 不等式的基本性质 只有一个解 一般有无数个解 x=m x<m(x≤m)或x>m(x≥m) 解一元一次方程与解一元一次不等式的相同点和不同点 1. 解下列不等式，并把它们的解 集分别表示在数轴上. （1）8x－2＞6x＋4； 解：移项，得8x－6x＞4＋2. 合并同类项，得2x＞6. 两边都除以2，得x＞3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 跟踪练习 （2）5x－12≤2（4x－3）； 解：去括号，得5x－12≤8x－6. 移项，得5x－8x≤－6＋12. 合并同类项，得－3x≤6. 两边都除以－3，得x≥－2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （3） ＜ ； 解：去分母，得2（5x－1）＜3（x＋1）. 去括号，得10x－2＜3x＋3. 移项、合并同类项，得7x＜5. 两边都除以7，得x＜ . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （4）2x≥ . 解：去分母，得6x≥7x－4. 移项、合并同类项，得－x≥－4. 两边都除以－1，得x≤4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 你认为解一元一次不等式有哪些需要注意的事项？与同伴进行交流。 思考交流 去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时括号外的因数要与括号内的每一项相乘. 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　B　） A. 4＞1 B. 3x－8＜4 C. ＜2 D. 4x－3＜2y－7 B 2.[2024内江中考]不等式 的解集是( ) A A. B. C. D. 【解析】 移项，得。合并同类项，得 。两边都除以 2，得 。 3. （2025·福建）不等式 x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的 是（　C　） C 4.[2025孝感期末]不等式 的正整数解的个数为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 移项，得。合并同类项，得 。两边 都除以，得。所以不等式 的正整数解为1，2，3， 4，共4个。 26 5. 关于x，y的方程组 的解中x与y的和不 小于5，则k的取值范围为（　A　） A. k≥8 B. k＞8 C. k≤8 D. k＜8 [变式] 若将第8题中的“x与y的和不小于5”改为“x与y的差 小于1”，则k的取值范围为 ⁠. A k＜2　 6.[2025驻马店四中月考]已知不等式是关于 的一元一 次不等式，则 的值为____。 【解析】 不等式是关于 的一元一次不等式， 且， 。 7.[2025上海位育中学月考]若不等式 的最小整 数解为方程的解，则 的值为___。 6 【解析】 解不等式，得 ，所以该不等 式的最小整数解为，所以 ，即 ，解得 。 28 （1） x＋8＜4x－1； 解：移项，得x－4x＜－1－8. 合并同类项，得－3x＜－9. 系数化为1，得x＞3. 解集在数轴上表示出来如图所示 8. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. （2） 2x＋9≥－3（x＋2）； 解：去括号，得2x＋9≥－3x－6. 移项，得2x＋3x≥－6－9. 合并同类项，得5x≥－15. 系数化为1，得x≥－3. 解集在数轴上表示出来如图所示 8. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. （3） ＋1＞2x； 解：去分母，得4x－5＋3＞6x. 移项，得4x－6x＞5－3. 合并同类项，得－2x＞2. 系数化为1，得x＜－1. 解集在数轴上表示出来如图③所示 8. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. （1） 若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围； 解：（1） ∵ x－a－1＝0，∴ x＝a＋1.∵ 该方程的解满足x≤2，∴ a＋1≤2，解得a≤1 （2） 若该方程的解是不等式1－ ＜ 的负整数解，求a的值. 解：（2） 解不等式1－ ＜ ，得x＞－2，∴ 该不等式的负整数解为－1.∵ 该方程的解是不等式1－ ＜ 的负整数解，∴ a＋1＝－1，解得a＝－2 9. 已知关于x的方程x－a－1＝0. 课堂总结 1.什么叫作一元一次不等式? 2.解一元一次不等式的一般步骤是什么? 3.你还有什么疑惑? 33 一元一次不等式 特点 1.不等式的两边都是整式 2.只含有一个未知数 解一元一次不等式 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 3.未知数的次数是 1 注：系数化为 1 时，两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向改变。 课堂总结 $