2.1 不等式及其基本性质 第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 1 不等式及其基本性质 第3课时 不等式的基本性质 1 素养目标 1.通过活动探究和实例操作，经历观察、分析，理解并掌握不等式的基本性质，培养自主学习的习惯和观察推理能力． 2.会用不等式的基本性质解简单的不等式，培养学生的应用意识；在解题的过程中发展数感和运算能力，渗透数形结合思想． 2 教学重难点 重点：理解并掌握不等式的基本性质． 难点：会运用不等式的基本性质解简单不等式． 3 还记得等式的基本性质吗？ 基本性质 文字语言 符号语言 基本性质1 基本性质2 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 如果a=b，那么a±c=b±c 如果a=b，那么ac=bc，a÷c=b÷c (c≠0) 知识回顾 导入新课 我们已经掌握了等式的基本性质,知道等式两边进行加、减、乘、除(除数不为0)运算时,等式始终成立.那不等式是否有类似规律呢?比如,已知7>5,两边都加2,得9>7;两边都乘3,得21>15;但如果两边都乘-3,得-21和-15,此时-21<-15.不等号方向为什么会改变?这节课我们就来探究不等式的基本性质. 5 新知探究 任务一:探究不等式的基本性质 问题1:已知2<3,计算2+3与3+3,2-5与3-5的大小,不等号的方向是否发生了变化? 2+3=5<3+3=6; 2-5=-3<3-5=-2. 不等号的方向不变. 问题2:再举例验证,比如,5>-1,两边都加-2,结果是3>-3,不等号的方向仍不变.谁能总结这个规律? 6 不等式的基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变． 用字母表示： 如果a < b，那么a + c < b + c，a – c < b - c. 如果a > b，那么a + c > b + c，a – c > b - c. 新知探究 已知2<3,第一组计算2×4与3×4,2÷2 与3÷2; 第二组计算2×(-4)与3×(-4),2÷(-2)与3÷(-2),观察不等号方向的变化情况. 8<12,1<1.5, 不等号的方向不变; -8>-12,-1>-1.5,不等号的方向改变. 再用-5>-7验证,两边都乘3或除以3,得-15>-21,- >-(不等号的方向不变).两边都乘-1或除以-1,得5<7(不等号的方向改变).由此能得出不等式的什么性质呢? 8 用字母表示： 如果a > b，并且c > 0，那么ac > bc，＞. 如果a < b，那么ac < bc，. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用字母表示： 如果a < b，并且c < 0，那么ac > bc，＞. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果a > b，并且c < 0，那么ac < bc，. 注意：两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0； 两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 思考 在前面的学习中，我们猜想，无论绳长l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即.你相信这个结论吗?你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗? 相信. 易知>0，根据不等式的基本性质2，不等式两边都除以， 得. 根据不等式的基本性质2，不等式两边都乘16π，得4>π，成立. 1.已知x＞y，请用“＞”或“＜” 填空： （1）x－3 y－3； （2）x＋a y＋a； （3）－3x －3y； （4） ； （5）－ ＋3 － ＋3. ＞　 ＞　 ＜　 ＞　 ＜　 跟踪练习 例1 根据不等式的基本性质解不等式，并将解集表示在数轴上： (1) x-5>-1； (2) -2x≥3. 任务二:例题讲解 解未知数为x的不等式 化为x＞a或x＜a的形式 目标 思路： 依据：不等式的基本性质 例1 根据不等式的基本性质解不等式，并将解集表示在数轴上： (1) x-5>-1； (2) -2x≥3. 解：(1) 根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x>-1+5， 即 x>4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　 0 1 2 3 4 5 6 -1 任务二:例题讲解 新知探究 例1 根据不等式的基本性质解不等式，并将解集表示在数轴上： (1) x-5>-1； (2) -2x≥3. 解：(2) 根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 x≤-， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 - 除以负数,不等号必须改变方向,要避免漏变不等号方向的错误. 1.根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在 数轴上： （1）x＋1＜－2； 解：两边都减1，得x＜－3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 跟踪练习 （2）4x＞16； 解：两边都除以4，得x＞4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （3）－ x＞2； 解：两边都乘－3，得x＜－6. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （4）8x≥5x＋1. 解：两边都减5x，得3x≥1.两边都除以3，得x≥ . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 新知探究 任务三:思考交流，对比提升 比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同? 类别 不同点 相同点 不等式 等式 两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立. (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立. 19 1.[2025广西中考]有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有克水、 克水， ，都加入 克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小 关系的是( ) A A. B. C. D. 2.[2025广州番禺区二模]若，且，则 的值可能是( ) B A.0 B.1 C. D. 【解析】 根据不等式的基本性质2“不等式的两边都乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变”，得，则 的值可能是1。 课堂练习 20 3.[2025陕西师大附中期中]若 ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 4.[2025唐山期末]已知，则一定有，“ ”中应填的符号是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 根据不等式的基本性质3“不等式的两边都乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变”，得 。 21 5.[2025渭南期末]如果， ，那么下列不等式成立的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 A项，， ，不符合题意；B项， ，，，不符合题意；C项， ， ，，不符合题意；D项，，，又 ， ，符合题意。 22 6.新考法 跨学科·物理 [2025朝阳期末]根据物体的沉浮条件，物体在同 一液体中受到的浮力与物体重力的关系决定物体的状态:当 时，物体上浮；当时，物体悬浮或漂浮； 时，物体下沉。 不等式 做如下变化时，依据不等式的基本性质，该物体一定仍然 上浮的是( ) B A. B. C. D. 23 【解析】 对于不等式，两边都加上，得 ，无 法确定与 的大小关系，则A项不符合题意；对于不等式 ，两边都乘2，再都加，得 ，则B项符合题意； 对于不等式，两边都减，得，无法确定 与的大小关系，则C项不符合题意；对于不等式 ，两边都 乘2，再都减，得，无法确定与 的大 小关系，则D项不符合题意。 24 7. 解不等式－2x≤4时，根据不等式的基本性质 ，在不 等式两边都 ，或都 ，解得 ⁠. 3　 除以－2　 乘－ 　 x≥－2　 8. 如果不等式（1＋a）x＜1＋a可变形为x＜1，那么a必须 满足 ⁠. [变式]已知关于x的不等式（1－a）x＞2，两边都除以1－a， 得x＜ . （1）a的取值范围是 ⁠； （2）化简｜a－1｜＋｜a＋2｜的结果为 ⁠. a＞－1　 a＞1　 2a＋1　 9. （新考法·阅读理解）阅读下面的解题过程，并解答问题. 已知a＞b，试比较－2026a＋1与－2026b＋1的大小. 解：∵ a＞b①， ∴ －2026a＞－2026b②. ∴ －2026a＋1＞－2026b＋1③. （1） 上述解题过程中，从 　②　开始出现错误（填序号）； （2） 错误的原因是 　不等式的两边都乘同一个负数有改变　————————————————； （3） 请写出正确且完整的解题过程. 解：∵ a＞b，∴ －2026a＜－2026b.∴ －2026a＋1＜－2026b＋1 ②　 不等式的两边都乘同一个负数， 不等号的方向没有改变　 10.[2025宿州月考]根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在 数轴上。 （1） ； 解:根据不等式的基本性质3，两边都乘，得 。 这个不等式的解集在数轴上表示如图所示。 27 （2） 。 解：根据不等式的基本性质1，两边都减，得 ， 即 ， 根据不等式的基本性质3，两边都除以，得 。 这个不等式的解集在数轴上表示如图所示。 28 课堂总结 1.回顾不等式的三条基本性质. 2.梳理解题步骤: 解不等式时,先判断用不等式的哪条基本性质,再确定是否改变不等号的方向;用数轴表示不等式的解集时,区分实心圆点或空心圆圈、左右方向. 3.还有哪些地方容易出错? 29 基本性质 文字语言 符号语言 基本性质1 基本性质2 基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变。 如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc， a÷c＞b÷c 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc， a÷c＜b÷c 课堂总结 $