2.1 不等式及其基本性质 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 1 不等式及其基本性质 第2课时 不等式的解集 1 素养目标 1.理解并掌握不等式的解和解集的概念． 2.学会用数轴表示不等式的解集． 3.能够结合数轴理解不等式的解、解集及解不等式，在表达中渗透数形结合的思想，培养数感，发展几何直观的能力． 2 教学重难点 重点、难点：学会用数轴表示不等式的解集． 3 一般地，用符号“＜”(或“≤”)， 1．(1)不等式是指_______________________________ ． (2)方程是指__________________，解方程是指__________________，方程的解是指_______________________________________． “＞”(或“≥”)连接的式子 含有未知数的等式 求方程解的过程 使方程左、右两边的值相等的未知数的值 知识回顾 导入新课 通过测量一棵树的树围(树干的周长) 可以估算出它的树龄. 通常规定以树干离地面1.5 m的地方为测量部位. 某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约1 cm,设经过x年后这棵树的树围超过10 cm,请你列出x满足的关系式. 如果经过x年后这棵树的树围刚好达到10 cm,那么你能列出x满足的关系式吗? 6+x>10 6+x=10 5 新知探究 任务一:类比旧知，引出概念 对于不等式6+x>10,你能找到满足这个不等式的x的一些值吗? 你能否类比方程解的概念得到不等式解的概念? 在一个含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫作不等式的解. x 3 4 5 5.5 6+x 6+x＞10能否成立 9 10 11 11.5 不能 不能 能 能 6 新知探究 任务二:合作探究，深化概念 问题1:想一想. (1)x=3,4,5,7.2是x>4的解吗? 解:x=3,4不是; x=5,7.2是. (2)你还能找出x>4的一些解吗? 无法列举所有的解. 7 新知探究 问题2:将不等式的所有解收集在一起,形成一个集体,你能否给它起个合适的名字? 一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集. 判断正误. (1)5是不等式6+x>10的一个解,4.2,6,7,8也是它的解; ( ) (2)不等式x+1>5的解集是x>4; ( ) (3)不等式x2>0的解集是所有非零实数. ( ) 求不等式解集的作解不等式. √ √ √ 8 新知探究 总结: (1)在一个含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫作不等式的解. (2)一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集. (3)求不等式的解集的过程叫作解不等式. (4)不等式的解与不等式的解集的区别与联系如下表: 9 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 使不等式成立的 未知数的某个值 使不等式成立的未知数的所有值 特点 个体 全体 形式 如：78是 x＞50 的一个解 如：x＞75是 x＞50 的解集 联系 某个解一定是解集中的一员 解集一定包括了 某个解 例1 [2025贵阳期末]下列各数中，能使不等式成立的 的值是( ) D A. B.0 C.2 D.3 用这个数代替不等式中的未知数,看不等式是否成立,若成立,则该数是 不等式的一个解；若不成立,则该数不是不等式的解。 11 1.[2025广州铁一中三模]若 是某不等式的解，则该不等式可以是 ( ) C A. B. C. D. 跟踪练习 2. 有下列说法：① 1是3x－5＜4的解；② 不是2x－1＞0的解； ③ x＋1＜0的解集是x＜－1；④ x＞4中的任何一个数能使x－1＞0成立，因而x＞4是x－1＞0的解集.其中，正确的是 　①②③　（填序号）. ①②③　 12 3. （教材变式）下列不等式后面括号内的数是该不等式的解吗？为什么？ （1） 5－x≥3（－4，2）； 解：（1） 把x＝－4代入不等式，左边5－（－4）＝9，能使不等式成立；把x＝2代入不等式，左边5－2＝3，能使不等式成立.∴ －4，2都是该不等式的解 （2） 2x＋5＞3（－1，0）； 解：（2） 把x＝－1代入不等式，左边2×（－1）＋5＝3，不能使不等式成立；把x＝0代入不等式，左边2×0＋5＝5，能使不等式成立.∴ －1不是该不等式的解，0是该不等式的解 如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？ 先在数轴上标出表示2的点A 则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2. 因此可以像图这样表示不等式的解集x>2. 0 1 2 3 4 5 6 -1 A 把表示2的点A画成空心圆圈，表示解集不包括2. 任务三:小试牛刀，表述概念 新知探究 不等式6+x>10的解集是什么?你有哪些方式可以表示不等式的解集? x>4. 文字语言描述:大于4的所有实数. 将解集在数轴上直观地表示出来. 在数轴上表示不等式解集的方法:大于(>)或大于等于(≥),线向右;小于(<)或小于等于(≤),线向左. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在数轴上表示4的点的位置画空心圆圈，表示4不在这个解集内。 15 不等式 x -1≤2 的解集又该如何表示呢？ -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 不等式 x -1≤2 的解集是 x ≤3。 在数轴上表示3的点的位置画实心圆点，表示3在这个解集内。 在数轴上表示不等式解集的步骤： 包含界点用实心，不包含用空心； ①画数轴 标出原点，正方向，长度； ②定界点 ③定方向 左小右大。 用数轴表示不等式解集的四种情况： x ＞ a a x ＜ a a x ≥ a a x ≤ a a 例2 [2024河北师大附属实验中学期中]在4，3，2，1，0， ，中，能使不等式 成立的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 在4，3，2，1，0，，中，能使不等式 成立 的有4，3，2，共3个。 例3 [2024贵州中考]不等式 的解集在数轴上表示正确的是( ) C A. B. C. D. 19 跟踪练习 1. 如图，将不等式x■－2的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（　D　） A. ≥ B. ≤ C. ＞ D. ＜ D 20 2. 写出如图①②③④所示的各数轴上所表示的关于x的不等式的解集： 解：① x＜3　② x＞ 　③ x≥－2　④ x≤ 3. 将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x＜1；　 （2）x≥－5； 解：（1）如图所示. 解： （2）如图所示. （3）x＞－1.5；　 （4）x≤ . 解：（3）如图所示. 解： （4）如图所示. 1. 下列各数中，是不等式x＜－1的解的是（　A　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 A 2.[2025淄博博山区期末]下列解集中，包括2的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 A项， 表示比2小的数，不包含2，不符合题意；B项， 表示比3大或与3相等的数，不包含2，不符合题意；C项， 表示 比3小或与3相等的数，包含2，符合题意；D项， 表示比2大的数， 不包含2，不符合题意。 课堂练习 3.[2025张家口宣化区期末]某不等式的解集是 ，下列表述不正确的 是( ) C A.0是这个不等式的解 B. 不是这个不等式的解 C.大于 的数都是这个不等式的解 D.小于 的数都不是这个不等式的解 不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念,它们反映了个体与总 体的关系,不等式的解集是由不等式的所有解组成的一个集合,而不等式的 解则是这个集合中的元素。 24 4.[2025徐州期末]若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的 ( ) A A.最小整数解是0 B.最小整数解是 C.最大整数解是0 D.最大整数解是 【解析】 由题中数轴可知， ，所以该不等式的最小整数解是0。 25 5. （新考法·新定义题）定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集.例如：不等式P：x＞4是不等式Q：x＞2的子集.请写出不等式x＜－2的一个子集： 　x＜－3　.（答案不唯一） 6. 如图所示为某个表示在数轴（不完整）上的不等式的解集.若x＝m＋6是该不等式的一个解，则m的取值范围是 　m＞－5　. x＜－3 （答案不唯一） m＞－5　 6. 将下列不等式的解集分别在数轴上表示出来。 （1） ； 解： （2） ； 解： （3） 。 解： 27 7. 已知不等式2－x≤5. （1）该不等式有多少个解？请写出3个. （1）该不等式有无数个解，如：0，1，2（答案不唯一）. （2）该不等式有多少个负整数解？请全部写出来. 解：该不等式的解集为x≥－3. （2）该不等式有3个负整数解，分别为－3，－2，－1. 解：该不等式的解集为x≥－3. 课堂总结 不等式的解集 在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式的解集： 29 $