精品解析：湖南省长沙市长郡滨江中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率，再由求解倾斜角. 【详解】直线的斜率， 所以，解得 故选：B. 2. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先写成抛物线的标准方程，再求准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为，开口向上，准线方程为. 故选：D. 3. 已知正项等比数列 的前 项和为 254，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得首项和公比，即可由求和公式求解. 【详解】由于为正项数列，故，公比， 由可得， 由则，故公比为， 因此，故，解得， 故选：C 4. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率. 【详解】化为， 则，因为双曲线 的渐近线方程为 ， 故，故双曲线的离心率为. 故选：D. 5. 在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作图，利用空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】根据题意，作图， . 故选：C 6. 数列满足 ，其前项的积为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求数列的周期，再求乘积. 【详解】，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以. 故选：A 7. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 8. 在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共面 B. C. 在上的投影向量为 D. 与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 10. 已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的最小项为 C. D. 能使时的最大值为15 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再结合单调性及前项和公式逐项判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 对于A，，A错误； 对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为，B正确； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若上存在点，使得，则的取值范围为 D. 若为上一点，为左焦点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A，根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B，将存在点使，转化为以为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若，则，，则的周长为，故A正确； B. 直线恒过定点，若直线与恒有公共点， 则且，故B错误； C. 若上存在点，使得，则， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得：， 综上可知，的取值范围为，故C正确； D.，椭圆方程为，，，， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，当三点共线，且，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知 ，且 ，则 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】由 可得数量积为零，从而可求出的值. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ，解得 ， 故答案为： . 13. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 14. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现有这样一列数: 1， ，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ， . 后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”. 记 为“斐波那契数列” 的前 项和，若 ，则 _____. (结果用 表示) 【答案】 【解析】 【分析】由题意得当 时， ，据此可证得 ，再结合已知条件可求得结果. 【详解】由题意知 ， 所以 ，则， ， ， ，即 ①， 由题意得当 时， ，则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ② ， 所以由①②可得 . 故答案为： 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，． （1）证明：的纵坐标之积为定值； （2）若，求此时直线的方程． 【答案】（1）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0， 抛物线的焦点为， 设直线， 由消去，得， 所以，即的纵坐标之积为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）先判断直线的斜率不为0，可设直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可得的纵坐标之积为定值； （2）若，则，可得，结合韦达定理求出，即可求此时直线的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 若，则，即， 所以，即， 即解得， 所以直线的方程为即． 16. 如图，在直三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：连接交于，连接，则为的中点， 因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果； （2）根据条件建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是直三棱柱，且，故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则． 设平面的法向量为， 由，得，令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则． 17. 已知数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据和与项的关系结合等比数列的通项公式即可求解； （2）（i）根据题意可得，从而可求； （ii）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，，即. 又 所以数列是1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 （i）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则为新数列的第1项，为新数列的第项， 即，即； （ii）①， ②， ①一②得，， ， ， 所以. 18. 设椭圆的离心率为，且过点，右焦点为． （1）求的方程； （2）若直线与交于不同的两点，证明，直线和的倾斜角互补． 【答案】（1） （2） 由(1) 可知椭圆的方程为，则， 联立方程组消去并整理得， 设， 所以． 所以， 因为， 所以，则直线和的倾斜角互补． 【解析】 【分析】(1)利用离心率及得出，，再将点带入椭圆方程即可求解； (2)联立椭圆与直线的方程，借助韦达定理，证明即可得证. 【小问1详解】 设椭圆的左焦点为，且， 因为，所以， 又因为，所以， 所以椭圆的方程为，即， 将代入得，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知数列的前项和满足，且. （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值； 【答案】（1）证明： 由， 当时，， 两式相减得，，即， 当时，， 所以， 可得，所以为等差数列， 又，得，又，所以公差， 则. （2）13 【解析】 【分析】（1）由题设结合与的关系可得，，进而得到，，可得，即可求证，再求解通项公式即可； （2）先得到，再利用裂项相消法求出，进而解不等式即可. 【小问1详解】 证明略，通项公式为； 【小问2详解】 由 ， 则 ， 要使，即，解得，所以最小正整数的值为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 2. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列 的前 项和为 254，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足 ，其前项的积为 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 8. 在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共面 B. C. 在上的投影向量为 D. 与夹角的余弦值为 10. 已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的最小项为 C. D. 能使时的最大值为15 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若上存在点，使得，则的取值范围为 D. 若为上一点，为左焦点，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知 ，且 ，则 _____. 13. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 14. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现有这样一列数: 1， ，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ， . 后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”. 记 为“斐波那契数列” 的前 项和，若 ，则 _____. (结果用 表示) 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，． （1）证明：的纵坐标之积为定值； （2）若，求此时直线的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 18. 设椭圆的离心率为，且过点，右焦点为． （1）求的方程； （2）若直线与交于不同的两点，证明，直线和的倾斜角互补． 19. 已知数列的前项和满足，且. （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $